第14章 专题七 全等三角形的常见辅助线作法+信息技术应用 判定三角形全等时为什么没有“SSA”-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

专题七全等三角形的常见辅助线作法（答案P22) 类型1)倍长中线法 类型2)截长补短法 1.(芜湖镜湖区期中)如图所示，在△ABC中， 3.几何直观如图所示，AD∥BC,BE平分 AD为BC边上的中线，已知AB=5,AC=3, ∠ABC交CD于点E,连接AE,AE⊥BE. 求线段AD的长的取值范围， 求证：AD+BC=AB. 4.(淮南潘集区月考)如图所示，AB∥CD,BE, CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E 2.如图所示，AD是△ABC的中线，点E在BC 在AD上.求证：BC=AB+CD. 的延长线上，CE=AB,∠BAC=∠BCA. 求证：AE=2AD, 90 △ 类型3》连接公共边证两个三角形全等 :7.如图所示，∠BAC=90°，AB=AC,BD是 5.模型观念如图所示，AC与BD相交于点O, ∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长 且AB=DC,AC=DB,求证：∠A=∠D. 线于点E.求证：BD=2CE. 8.如图所示，AD是∠BAC的平分线，∠B= 类型4》以三角形角平分线为公共边构造全 ∠EAC,ED⊥AD于点D.求证：ED平 等三角形 分∠AEB. 6.几何直观如图所示，OP平分∠AOB,C,D 分别在OA,OB上，若∠PCO+∠PDO=180°. 求证：PC=PD △八年级·上册·数学.1n 91 信息技术应用判定三角形全等时为什么没有“SSA”(答案P23) 【提出问题】 在本学期的学习中，我们已经知道了三角形全等的判定方法(SAS,ASA,AAS,SSS)和直角三角形全 等的判定方法(HL),数学兴趣小组组长小唐带领小组成员继续对“两边分别相等且其中一组等边的 对角相等的两个三角形(SSA)”的情形进行探究. 【探索研究】成员小凡根据三角形的分类提出以下探索路径： 已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,∠B=∠E. (1)如图①所示，当∠B=∠E=90时，可知Rt△ABC≌Rt△DEF,判定全等的方法是 (2)如图②所示，当∠B=∠E<90°时，请用直尺和圆规作出△DEF,通过作图，可知△ABC与 △DEF 全等.（填“一定”或“不一定”） (3)如图③所示，当∠B=∠E>90°时，△ABC与△DEF是否全等？若全等，请加以证明；若不全等， 请举出反例 【归纳总结】成员悦悦对以上探索进行总结： (4)如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是 时，这两 个三角形一定全等.（填序号） ①锐角②直角③钝角 【结论应用】智多星小崔根据以上探究结果，提出以下问题： (5)如图④所示，△ABC为等边三角形(AB=AC=BC,∠B=∠BAC=∠BCA=60°)，CD是外角 ∠ACG的平分线，点E在边BC上，点F在CD上，且AE=EF,求∠AEF的度数. A人/ 92专题七全等三角形的常见辅助线作法 1.解：延长AD到点E,使AD= DE,连接BE,如图所示. ,AD是△ABC的中线， ..BD=CD. 在△ADC和△EDB中， CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD-ED. .△ADC≌△EDB(SAS), ∴.EB=AC=3.根据三角形的三边关系，得 5-3<AE<5+3, .1AD4. 故线段AD的长的取值范围为1<AD<4. 2.证明：如图所示，延长AD至点 M,使DM=AD,连接CM. ,AD是△ABC的中线， ∴.DB=CD. D 在△ABD和△MCD中， BD=CD, ∠ADB=∠MDC, AD-MD, ∴.△ABD≌△MCD(SAS), ∴.MC=AB,∠B=∠MCD, .AB=CE,∴.CM=CE. ,∠BAC=∠BCA,.∠B+∠BAC=∠ACB+ ∠MCD, 即∠ACM=∠ACE AC=AC, 在△ACE和△ACM中，{∠ACE=∠ACM, CE=CM, .△ACE≌△ACM(SAS),.AE=AM. .AM=2AD,..AE=2AD. 3.证明：如图所示，延长AE,BC交于点H. ,AE⊥BE, ∴.∠AEB=∠HEB=90°. .BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE. 在△ABE和△HBE中， I∠AEB=∠HEB, BE=BE. ∠ABE=∠HBE, ∴.△ABE≌△HBE(ASA), .'.AB=BH.AE=EH. ,AD∥BC,.∠D=∠DCH |∠D=∠ECH, 在△ADE和△HCE中，{∠AED=∠HEC, AE-HE, ∴.△ADE≌△HCE(AAS),∴AD=CH, ..AB=BH=BC+CH=BC+AD, 即AD+BC=AB. 4.证明：在BC上取点F,使BF=AB,连接EF .BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线， ∴.∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE. ,AB∥CD,∴.∠A+∠D=180°. AB=FB. 在△ABE和△FBE中，{∠ABE=∠FBE, BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE(SAS),∴∠A=∠BFE, ∴.∠BFE+∠D=180. .∠BFE+∠EFC=180°，∴.∠EFC=∠D. I∠EFC=∠D, 在△EFC和△EDC中，{∠FCE=∠DCE, CE=CE, ∴.△EFC≌△EDC(AAS),∴.CF=CD, .BC=BF+CF,..BC=AB+CD. 5.证明：如图所示，连接BC, 在△ABC和△DCB中， AB=CD, 0 AC=DB, BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(SSS), ∠A=∠D. 6.证明：过点P作PE⊥OA于点 E,过点P作PF⊥OB于点F, 如图所示，则∠PEO=∠PFO= ∠PFD=90°. .'OP平分∠AOB,∴.∠1=∠2. PO=PO,∴.△PEO≌0 △PFO(AAS), ..PE=PF. ,'∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE= 180°，∴.∠PCE=∠PDF. I∠PEC=∠PFD, 在△PCE和△PDF中，{∠PCE=∠PDF, PE=PF. ∴.△PCE≌△PDF(AAS), ∴.PC=PD 7.证明：如图所示，延长CE,BA交 于点F. .∠BAC=90°，CE⊥BD, .∠EBF+∠F=90°，∠ACF+ ∠F=90°， B∠ .∠EBF=∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， .△ABD≌△ACF(ASA), ∴BD=CF. ,BD是∠ABC的平分线，.∠EBC=∠EBF I∠EBC=∠EBF, 在△BCE和△BFE中，BE=BE, ∠CEB=∠FEB=90°， ∴.△BCE≌△BFE(ASA),∴.CE=EF, .CF=2CE,∴.BD=CF=2CE 8.证明：延长AD交BC于点F, 如图所示. AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠CAD. B ,∠DFE=∠B十∠BAD,∠DAE=∠EAC+ ∠CAD,∠B=∠EAC,∴.∠DFE=∠DAE. 又，ED⊥AD,∠ADE=∠FDE=90. 2 ∠DAE=∠DFE, 在△ADE和△FDE中， ∠ADE=∠FDE, DE=DE .△ADE≌△FDE(AAS),∴.∠DEA=∠DEF, .ED平分∠AEB. 信息技术应用 判定三角形全等时 为什么没有“SSA” 解：(1)HL (2)如图①所示，△DEF即为所求. ①少 不一定 (3)△ABC≌△DEF.证明：过点A,点D作BC,EF 的垂线，垂足分别为点G和点H,如图②所示. DH⊥EF,AG⊥BC, .∠H=∠G=90°. ,∠DEF=∠ABC>90°， .∠DEH=∠ABG. 在Rt△ABG和Rt△DEH中， ∠ABG=∠DEH, ∠G=∠H, AB=DE, .△ABG≌△DEH(AAS), ..AG=DH 在Rt△ACG和Rt△DFH中， (AC=DF, AG=DH, ∴.Rt△ACG≌Rt△DFH(HL), ∴.∠F=∠C. .在△ABC和△DEF中， 1∠C=∠F, ∠ABC=∠DEF, AB=DE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS). 1 D (4)②③ (5)过点E作EM∥AB交AC于点M,作EQ⊥DC,交 DC的延长线于点Q,过点E作EP⊥AC于点P,如图 ③所示. ,CD是△ABC的外角∠ACG的平分线，△ABC为 等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°，∠ACD=∠GCD= 2∠ACG=60°. ∴.∠ECQ=60. ,EQ⊥DC,EP⊥AC, ∴.∠EPC=∠EQC=90° I∠EPC=∠EQC, 在△EPC和△EQC中，{∠ECP=∠ECQ, EC=EC, ∴.△EPC=∠EQC(AAS), ∴.EP=EQ. 在Rt△AEP和Rt△FEQ中， EP=EQ, AE=EF. .Rt△AEP≌Rt△FEQ(HL), .∠EAM=∠EFC ,EM∥AB, ∴.∠B=∠MEC=60°， ∠AME=180°-∠BAC=120°. ,∠ACB=∠ACD=60°， .∠FCE=120°. 在△AME和△FCE中， I∠EAM=∠EFC, ∠AME=∠FCE, AE=EF, .△AME≌△FCE(AAS), ∴.∠AEM=∠FEC, ∴.∠AEF=∠AEM+∠MEF=∠FEC+∠MEF= ∠MEC=60° 0 ③ 本章综合提升 【本章知识归纳】 完全重合的两个图形叫作全等形能够完全重合的两 个三角形叫作全等三角形全等三角形对应边相等， 对应角相等两边及其夹角分别相等的两个三角形全 等，简记为“SAS”两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等，简记为“ASA”三边分别相等的两个三角 形全等，简记为“SSS”两角分别相等且其中一组等角 的对边相等的两个三角形全等，简记为“AAS”斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记 为“HL”线段角线段角的 【思想方法归纳】 【例1】解：甲、乙两个同学的方案都可行.理由： 甲同学的方案： (AO=CO, 在△ABO和△CDO中，{∠AOB=∠COD, BO=DO, ∴.△ABO≌△CDO(SAS),.AB=CD 乙同学的方案： ,DB⊥AC于点B,∴.∠ABD=∠CBD=90°. 在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BD, AD=CD, .Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),.AB=BC. 综上，甲、乙两个同学的方案都可行 【变式训练1】B 【例2】4或8 【变式训练2】 解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. 理由如下：AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90° 3