第14章 全等三角形 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

则最小的外角为2×40°=80°， 则最大的内角为180°一80°=100°. 2.证明：，BP,CP是△ABC的外角的平分线， ∴∠PCB=∠MB,∠PBC=号∠NBC :∠MCB=∠A+∠ABC,∠NBC=∠A+ ∠ACB, ∠PCB+∠PBC=(∠A+∠ABC+∠A十 ∠ACB)=2(180+∠A)=90+2∠A, .∠P=180°-（∠PCB+∠PBC)=180°-（90°+ 3∠A）=90-2∠A 第4课时三角形的外角(4) 解：(1)'BD,BE分别为∠ABC,∠CBF的平分线， ∴∠DBG=∠ABC,∠EBG=号∠CBF. ∴∠DBE=∠DBG+∠EBG-X(∠ABC+∠CBF)= 90°. (2).∠ACG是△ABC的外角， ∴.∠ACG-∠ABC=∠A=70 .BD,CD分别为∠ABC,∠ACG的平分线， :∠DBG=2∠ABC,∠DCG=2∠ACG, 1 ∠D=∠DCG-∠DBG=2X(∠ACG-∠ABC)=35. 14.21.两边及其夹角分别相等的 两个三角形(1) AE=DE, 1.证明：在△ABE和△DCE中，{∠AEB=∠DEC, BE=CE, ∴.△ABE≌△DCE(SAS). 2.证明：AB∥DE,.∠B=∠DEF. .BE=CF,..BE+EC=FC+EC, 即BC=EF AB=DE, 在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形(2) 1.解：(1)证明：，CA平分∠DCB, ∴.∠ACB=∠ACD, 在△ABC和△ADC中， (CB=CD, ∠ACB=∠ACD, AC-AC. .△ABC≌△ADC(SAS). (2)∠EAC=45°， ∴.∠DAC=180°-∠EAC=180°-45°=135°， 由(1)得△ABC≌△ADC, ∴.∠BAC=∠DAC=135°， .∠BAE=∠BAC-∠EAC=135°-45°=90°， 2.解：(1)证明：，BE,AD是△ABC的高， .∠1+∠BCA=90°，∠2+∠BCA=90°， .∠1=∠2. (2)相等.理由如下： (AP=BC, 在△APC和△BCQ中，，∠2=∠1， AC=BQ, .△APC≌△BCQ(SAS),∴.CP=CQ. 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(1) 1.证明：，∠1=∠2， ∴.∠1+∠EBD=∠2+∠EBD, .∠ABD=∠EBC. I∠ABD=∠EBC, 在△ABD和△EBC中，{BD=BC, ∠D=∠C, .△ABD≌△EBC(ASA). 2.证明：，AB⊥BE,DE⊥AD, .∠B=∠D=90°. I∠B=∠D, 在△ABO和△EDO中，{OB=OD, ∠AOB=∠EOD, .△ABO≌△EDO(ASA). 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(2) 1.证明：.AB∥DE, .∠CAB=∠E. 1∠CAB=∠E, 在△ABC和△EAD中，AB=AE, (∠ABC=∠DAE, .△ABC≌△EAD(ASA),.AC=DE. AE=AC+CE,..AE=DE+CE. 2.解：(1)证明：.'∠BAD=∠CAE, ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， I∠B=∠D, AB-AD. ∠BAC=∠DAE, .△BAC≌△DAE(ASA), ..AC=AE. (2).∠B=25°，∠APC=65°， ∴.∠BAP=∠APC-∠B=65°-25°=40°. 又.∠BAD=∠CAE, .∠CAE=40°， 由(1)知AC=AE, .∠E=∠ACE=(180°-∠CAE)÷2=70° 3.三边分别相等的两个三角形(1) 1.证明：BC=DE,∴.BC+CD=DE+CD, 即BD=CE. (AD=FE, 在△ABD和△FCE中，{AB=FC, BD=CE, .△ABD≌△FCE(SSS). 2.解：∠B=∠E.理由如下： AB=AE, 在△ABC和△AED中，(BC=ED, AC=AD, .△ABC≌△AED(SSS),,∴.∠B=∠E. 2 3.三边分别相等的两个三角形(2) 1.解：(1)证明：在△ABC和△ADC中， (AB=AD. AC=AC, BC=DC. .△ABC≌△ADC(SSS). (2).∠1=30°，∠2=50°， ..∠B=180°-∠1-∠2=180°-30°-50°=100°. 由(1)，得△ABC≌△ADC, .∠D=∠B=100°. 2.证明：(1)，BF=CE, BF+FE=CE+EF,即BE=CF AB=DC, 在△ABE和△DCF中，AE=DF, BE=CF, .△ABE≌△DCF(SSS),∴.∠B=∠C. (2)由(1)，得△ABE≌△DCF, .∠AEB=∠DFC,∴.AE∥DF 4.其他判定两个三角形全等的条件(1) 1.证明：，∠1=∠2， ..∠1+∠BAE=∠2+∠BAE, 即∠DAE=∠BAC. I∠DAE=∠BAC, 在△ADE和△ABC中，{∠AED=∠C, AD=AB. ..△ADE2△ABC(AAS). 2.解：(1).∠EGC=∠A+∠AEG=2∠A, ∴.∠A=∠AEG=36° .∠GEF=∠H+∠F=2∠F=2X36°=72°， ,.∠HEF=180°-72°=108°. ∠BEH=∠AEG=36°， ∴.∠BEF=∠HEF-∠BEH=72°. (2)证明：，DG=DE ∴.∠DGE=∠DEG. .∠EGC=2∠A,∠GEF=2∠F, ∠A=∠F 在△ADE与△FDC中， ∠A=∠F, ∠ADE=∠FDC, AE=CF, .△ADE≌△FDC(AAS), ∴AD=DF,DE=CD, ..AD+DC=DF+DE, 即AC=EF. 4.其他判定两个三角形全等的条件(2) 1.证明：AD=BE, ∴AD-BD=BE-BD, .AB=ED.AC∥EF,∴∠A=∠E |∠C=∠F, 在△ABC和△EDF中，∠A=∠E, AB=ED, ..△ABC≌△EDF(AAS),.∴.BC=DF 2.解：(1)证明：，CF∥AB, ∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F. ,AD是BC边上的中线，∴BD=CD, ..△BDE≌△CDF(AAS). (2)由(1)，得△BDE≌△CDF,∴.BE=CF=2, .AB=AE+BE=1+2=3. .AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90 .BD=CD,AD=AD, .△ADB≌△ADC(SAS),.AC=AB=3. 5.第1课时两个直角三角形全等的判定(1) 1.证明：.AC⊥CE,DF⊥CE,∴.∠C=∠DFE=90°. .CF=BE...CB=FE 又AB=DE,.Rt△ACB≌Rt△DFE(HL), .∠A=∠D. 2.解：(1)证明：BE⊥CD, .∠BEC=∠DEA=90° 在Rt△BCE和Rt△DAE中， (BC=DA, BE=DE .Rt△BCE≌Rt△DAE(HL). (2).△BCE≌△DAE,∴.CE=AE, ..CE+AE+AB=CE+DE=CD=11, ∴.2AE+AB=CD,即2AE+3=11, .AE=(11-3)÷2=4. 第1课时两个直角三角形全等的判定(2) 解：(1)证明：，DE⊥AC,BF⊥AC, .∠BFA=∠DEC=90. AE=CF. ∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE 在R△BFA与R△DEC中，AF=CE, AB=CD, .Rt△BFA≌Rt△DEC(HL),.BF=DE (2)DE⊥AC,BFAC, ∴.∠BFA=∠DEC=90 AE=CF,..AE-EF=CF-EF, 即AF=CE. 在R△BFA与R△DEC中，AF=CE, AB=CD, ∴.Rt△BFA≌Rt△DEC(HL), ∴.DE=BF=3cm. 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(1)】 1.解：①②④③（答案不唯一） 在△ABC和△DEF中，点B,E,C,F在同一条直 线上，如果AB=DE,AC=DF,BE=CF,那么 ∠ABC=∠DEF. 证明：，BE=CF,.BE+EC=CF+EC, 即BC=EF. AB=DE. 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, △ABC≌△DEF(SSS), ∴.∠ABC=∠DEF. 2.解：.AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴.∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°， ∠C+∠D=90°，∴.∠A=∠C. ,∠A=∠C,∠CED=∠AFB=90°，AB=CD, .△ABF≌△CDE(AAS), ∴.AF=CE=a,BF=DE=b. EF=c, ..AD=AF+DF=a+(6-c)=a+6-c. 43 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(2) 1.解：探究的结果正确.理由如下： .OA=OC,AB=CD, ,.OB=OD.又∠AOD=∠COB, ∴.△AOD≌△COB(SAS), ∴.∠ADO=∠CBO.又AB=CD, ∠APB=∠CPD, .△APB≌△CPD(AAS), ..AP=CP..OA=OC,OP=OP, .△AOP≌△COP(SSS), ..∠AOP=∠COP, ∴.OP为∠MON的平分线. 2.证明：(1)，AD⊥AB,DH⊥MN,AM⊥BC, .∠BAD=∠AHD=∠AMB=90°， ∴.∠DAH+∠BAM=90°，∠DAH+∠ADH=90°， .∠BAM=∠ADH. .AB=AD,.△ADH≌△BAM(AAS), .'.DH=AM. (2)过点E作EF⊥MN交MN的延长线于点F, 同法可证EF=AM.,DH=AM, ∴.DH=EF. .DH⊥MN,EF⊥MN, ∴.∠DHN=∠EFN=90° 又，∠DNH=∠ENF, ∴.△DNH≌△ENF(AAS),.DN=EN. 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(3) 解：(1)BC=EF. 理由：，EH=DH=2.5米 ∴.ED=5米， .'.AB=DE. 由题意可知四边形CADH为长方形， ,.CA=DH=2.5米 .DF=2.5米， .'.AC=DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE. ∠CAB=∠FDE=90°， AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS), .BC=EF,即BC和EF的长度相等 (2)BC⊥EF. 证明：延长BC交EF于点M,如图所示. B ,∠EDF=90°， ∴.∠DFE+∠DEF=90°. .△ABC≌△DEF, .∠B=∠DEF, ∴.∠B+∠DFE=90, .∠BMF=90°， ∴.BC⊥EF. 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(4) 解：(1)AB=AD+BC.证明如下： 如图①所示，延长AE,BC交于点F. ① .AD∥BC,AE平分∠BAD,.∠BAF=∠DAF, ∠DAF=∠F,∴.∠BAF=∠F=∠DAF, ..AB=BF. 在△ADE和△FCE中， I∠DAE=∠CFE, ∠AED=∠FEC, DE=CE. ∴.△ADE≌△FCE(AAS), ∴.CF=AD. .BF=BC+CF, .AB=BC十AD, (2)不成立，新结论为AB=AD一BC. 证明：延长AE,CB交于点F,如图②所示. B ② .AD∥BC,AE平分∠BAD, .∠F=∠DAF,∠DAF=∠BAF, .∠BAF=∠AFB=∠DAF, ..AB=BF. 在△ADE和△FCE中， I∠DAE=∠CFE, ∠AED=∠FEC, DE=CE, .△ADE≌△FCE(AAS), ..CF=AD. .BEBC=CF. ..AB=AD-BC. 15.2线段的垂直平分线(1) 1.解：，DE是AC的垂直平分线， ..AD=CD,AE=CE=2 cm, ∴.AC=AE+CE=4cm. ,△ABD的周长为8cm,.AB+AD+BD=8cm, .'.AB+BD+CD=8 cm,.'.AB+BC=8 cm, .AB+BC+AC=12cm,.△ABC的周长 为12cm. 2.解：(1)，l1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的 垂直平分线， ∴.AD=BD,AE=CE. ,△ADE的周长为6cm, .'.AD+DE+EA=6 cm, ∴.BD+DE+EC=BC=6cm.即BC的长为6cm. (2),l1是AB边的垂直平分线，l2是AC边的垂直 平分线，∴.OB=OA,OC=OA. ,△OBC的周长为16cm, ∴.OB+OC+BC=16cm, ∴.OB+OC=16-6=10(cm), ∴.OA=OB=OC=5cm. 15.2线段的垂直平分线(2) 解：(1)点E在线段CD的垂直平分线上， .DE=CE.建议用时10分钟，实际用时 分钟 14.21.两边及其夹角分别相等的两个三角形(1)（答案P42) 1.如图所示，已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.求证：△ABE≌△DCE. 2.如图所示，在△ABC和△DEF中，点B,E,C,F在同一直线上，AB=DE,BE=CF,AB∥ DE.求证：△ABC≌△DEF. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形(2)（答案P42) 1.(合肥瑶海区期末)如图所示，CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E. (1)求证：△ABC≌△ADC. (2)若∠EAC=45°，求∠BAE的度数. 2.如图所示，BE,AD是△ABC的高且相交于点P,点Q是BE延长线上的一点. (1)求证：∠1=∠2. (2)若AP=BC,BQ=AC,线段CP与CQ会相等吗？请说明理由」 △八年级·上册.数学.1H 17 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(1)（答案P42) 1.(淮南期中)如图所示，∠1=∠2，∠C=∠D,BC=BD.求证：△ABD≌△EBC. 2.如图所示，AD,BE相交于点O,AB⊥BE,DE⊥AD,垂足分别为点B,D,OB=OD. 求证：△ABO≌△EDO. 建议用时10分钟，实际用时分钟 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形(2)（答案P42) 1.(滁州天长期中)如图所示，AB=AE,AB∥DE,∠ABC=∠DAE.求证：AE=DE+CE. 2.(合肥包河区期末)如图所示，已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B= ∠D,AD与BC交于点P,点C在DE上. (1)求证：AC=AE. (2)若∠B=25°，∠APC=65°，求∠E的度数. 18 A 建议用时10分钟，实际用时分钟 3.三边分别相等的两个三角形(1)（答案P42) 1.如图所示，点B,C,D,E在同一条直线上，AB=F℃，AD=FE,BC=DE. 求证：△ABD≌△FCE. 2.如图所示，已知AB=AE,BC=ED,AC=AD.∠B=∠E吗？为什么？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3.三边分别相等的两个三角形(2)（答案P43) 1.如图所示，已知AB=AD,BC=CD (1)求证：△ABC≌△ADC. (2)若∠1=30°，∠2=50°，求∠D的度数. 2.如图所示，E,F在线段BC上，AB=DC,AE=DF,BF=CE. 求证：(1)∠B=∠C. (2)AE//DF. △八年级·上册·数学.Hr 19 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4.其他判定两个三角形全等的条件(1)（答案P43) 1.如图所示，∠1=∠2，AD=AB,∠AED=∠C.求证：△ADE≌△ABC. 2.(合肥包河区期末)如图所示，在△ABC中，点D是AC上一点，过点D的直线交AB于点 E,交BC的延长线于点F,点G是AD上一点，连接GE并延长交CB的延长线于点H, ∠EGC=2∠A,∠GEF=2∠F, (1)若∠A=∠F=36°，求∠BEF的度数 (2)若AE=CF,DG=DE,求证：AC=EF. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4.其他判定两个三角形全等的条件(2)（答案P43) 1.如图所示，点B,D在线段AE上，AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证：BC=DF 2.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交 ED的延长线于点F, (1)求证：△BDE≌△CDF. (2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时，求AC的长. 20 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5.第1课时两个直角三角形全等的判定(1)（答案P43) 1.如图所示，点C,F,B,E在同一条直线上，AC⊥CE,DF⊥CE,垂足分别为点C,F,且 AB=DE,CF=BE.求证：∠A=∠D. 2.(六安舒城期末)如图所示，BE⊥CD于点E,F为BC上一点，DF交BE,BC于A,F, BE=DE,BC=DA. (1)求证：△BCE≌△DAE, (2)若AB=3,CD=11,求AE的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第1课时两个直角三角形全等的判定(2)（答案P43)》 已知点A,E,F,C在一条直线上，AE=CF,过点E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB= CD,连接BD,交AC于点O. (1)如图①所示，求证：BF=DE. (2)将△DEC沿AC方向平移到如图②所示的位置，其他条件不变，若BF=3cm,求DE 的长. △八年级·上册·数学.1Hr 21 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(1)（答案P43) 1.如图所示，在△ABC和△DEF中，点B,E,C,F在同一直线上，请你在下列4个条件（①~ ④)中选3个条件作为题设，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并证明. ①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF. 题设： :结论： .(填序号) 2.如图所示，AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a, BF=b,EF=c,求AD的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(2)（答案P44) 1.小明同学爱动脑筋，善于探索，经过探究，他认为如下方法就可以作出∠MOV的平分线：如 图所示，先在边OM上取A,B两点，在边ON上取C,D两点，使OA=OC,AB=CD,再连 接AD,BC,交点为P,作射线OP即为∠MON的平分线.你认为他的探究结果正确吗？请 说明理由. 2.如图所示，已知AD=AB,AD⊥AB,AC=AE,AC⊥AE.反向延长△ABC的高AM交DE 于点N,过D作DH⊥MN于点H.求证：(1)DH=AM.(2)DN=EN. 22 A 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(3)（答案P44) (马鞍山含山期中)如图所示，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同(EH=HD), 都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 ①测量出线段FD的长度； 测量步骤 ②测量出线段AB的长度 测量数据 DF=2.5米，AB=5米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由。 (2)猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时灵活运用全等三角形的性质与判定(4)（答案P44) (芜湖无为期中)如图①所示，线段AD∥BC,连接AB,CD,取CD的中点E,连接AE,AE平 分∠BAD, (1)线段AB,AD,BC之间存在怎样的等量关系？请写出并证明你的结论. (2)如图②所示，如果点C在AB的左侧，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？如果成 立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并给予证明. △八年级·上册.数学.|HHH 23