第14章 全等三角形 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

本章综合提升（答案P23) /I11/1111 本章知识归纳·/11111// 定义： 性质： 某木事实1： 判定 嘉 基本事实2 全等形 全等三角形 判定一 判定 基木事实3： 定义 定理： 判定 全等的判心 能够 定理： 特行的方法 应用1用米证明等. 等或计算长度，度数 2.实际生活中的应川 思想方法归纳 iiiinllitiif 点A的一点D,连接DA,作DC=DA,交直线 AB于点C,最后测量BC的长即可. 1.转化思想 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由. 链接本章 本章证明线段相等或角相等时需要转 化证明线段或角所在的三角形全等.若所 给相等的线段或角不是待证的三角形的边 D E 或角时也要进行转化.在需要得到不能直 ② 接测量的两点间距离时也可利用全等三角 形进行测量对应边的长度等. 【例1】（淮南田家庵区期中）为了解学生 对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数 学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池 塘两端A,B的距离无法直接测量，请同学们设 计方案测量A,B的距离.甲、乙两位同学分别 设计出了如下两种方案： 【变式训练1】如图所 甲：如图①所示，先在平地上取一个可以直 示，在四边形ABCD中， 接到达点A,B的点O,连接AO并延长到点C, D AB=AD,AC=5,∠DAB= 连接BO并延长到点D,使CO=AO,DO= ∠DCB=90°，则四边形ABCD BO,连接DC,测出DC的长即可； 的面积为() 乙：如图②所示，先确定直线AB,过点B作 A.15 B.12.5 C.14.5 D.17 直线BE⊥AB,在直线BE上找可以直接到达 △八年级·上册·数学.lH 93 2.分类讨论思想 通模拟 链接本章 本章中涉及动点问题判断三角形全等 1.(阜阳太和期中)下列各组图形是全等图形的 或三角形的边用代数式来表示对应边不确 是( 定时要用分类讨论思想。 【例2】几何直观如图所 B 示，在△ABC中，AC⊥BC,AC= B 8cm,BC=4cm,AP⊥AC于点 A,现有两点D,E分别在AC和( AP上运动，运动过程中总有DE=AB,当 AD- cm时，能使△ABC和以A,D, 2.(黄山期中)如图所示，△ABC≌△DEF,则 E为顶点的三角形全等. ∠E的度数为( 【变式训练2】如图①所示，AB=7cm, AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC= 5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点 62° A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动.它 A.80° B.40° 们运动的时间为ts(当点P运动结束时，点Q C.62 D.38 运动随之结束). 3.(黄山休宁期中)下列说法正确的是( A.面积相等的两个三角形全等 B.两边对应相等的两个三角形全等 C.两边一角对应相等的两个三角形全等 D.两角一边对应相等的两个三角形全等 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 4.(芜湖弋江区期中)如图所示，要使五边形木 当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断 架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上 此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说 明理由. )根木条. (2)如图②所示，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为 A.1 B.2 C.3 D.4 “∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s, 其他条件不变，当点P,Q运动到何处时有 △ACP与以B,P,Q为顶点的三角形全等，求 出相应的x的值. 第4题图 第5题图 5.(淮南期中)如图所示，已知AB=AC,添加一 个条件，不能使△ABF≌△ACE的是( A.AE=AF B.∠B=∠C C.∠AEC=∠AFB D.CE=BF 94 △ 6.(安庆太湖期末)如图所示，直角三角形被挡： 11.(六安金安区月考)如图所示，AE与BD相 住了一部分，小明根据所学知识很快就另外 交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=5cm, 画出了一个与原来完全一样的三角形，这两 点P从点A出发，沿A→B方向以2cm/s的 个三角形全等的依据是( ) 速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向 以1cms的速度运动，P,Q两点同时出发. 当点P到达点B时，P,Q两点同时停止运 动.设点P的运动时间为ts. A.SAS B.ASA (1)AP的长为 cm.(用含t的代数 C.AAS D.HL 式表示) 7.(合肥瑶海区期末)根据下列条件能画出唯一 (2)连接PQ,当线段PQ经过点C时，t= △ABC的是() A.∠A=30°，∠B=60°，∠C=90° B.∠A=60°，AB=4cm,AC=3cm C.AB=4cm,BC=3cm,∠A=30° D.AB=3cm,∠A=60 12.(淮南凤台月考)如图所示，点C,D,E,F在 8.(蚌埠期末)数学活动课上，小明在正方形网 同一条直线上，∠A=∠B=90°，AC=BF, 格图中一笔画成如图所示的图形，则∠A十 CD=EF,AE与BD相交于点O. ∠C= 0 (1)求证：EA=DB. (2)若∠C=55°，求∠BOE的度数. 9.(合肥瑶海区期末)如图所示，有两个长度相 同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑 梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等.若DF=6m,DE=8m,AD=4m, 则BF= m. 10.(黄山期中)如图所示，D是AB上一点，DF 交AC于点E,E为DF的中点，FC∥AB,若 BD=3,FC=8,则AB= △八年级·上册·数学.1H 95 13.(合肥包河区月考)如图所示，AD为△ABC 15.推理能力如图所示，在△ABC中，∠ACB 的角平分线，且AD=AC,E为AD延长线 是直角，∠B=60°，AD,CE分别是∠BAC 上的一点，AE=AB,连接BE,CE. 和∠BCA的平分线，AD,CE相交于点F. (1)求证：△ABD≌△AEC; (1)求∠EFA的度数. (2)求证：BE=EC. (2)在(1)的条件下，请判断FE与FD之间 的数量关系，并说明理由. 14.(安庆太湖期末)小丽与爸爸、妈妈在公园里 通中考 荡秋千.如图所示，小丽坐在秋千的起始位 置A处，OA与地面MN垂直，OA延长线 16.(安徽中考)在凸五边形ABCDE中，AB 交MN于点F.她两脚在地面上用力一蹬， AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件 妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处 中，不能推出AF与CD一定垂直的 接住她.已知点B距地面的高度BM= 是() DF=1m,点B,C到OA的水平距离BD, A.∠ABC=∠AED CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°， B.∠BAF=∠EAF 点C距地面的高度CN=EF,求此时CN C.∠BCF=∠EDF 的长 D.∠ABD=∠AEC 17.(安徽中考节选)如图所示，已知四边形ABCD 是长方形，点E在BA的延长线上，AE= - AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于 点F,AF=AB.求证：BD⊥EC. 96∠DAE=∠DFE, 在△ADE和△FDE中， ∠ADE=∠FDE, DE=DE .△ADE≌△FDE(AAS),∴.∠DEA=∠DEF, .ED平分∠AEB. 信息技术应用 判定三角形全等时 为什么没有“SSA” 解：(1)HL (2)如图①所示，△DEF即为所求. ①少 不一定 (3)△ABC≌△DEF.证明：过点A,点D作BC,EF 的垂线，垂足分别为点G和点H,如图②所示. DH⊥EF,AG⊥BC, .∠H=∠G=90°. ,∠DEF=∠ABC>90°， .∠DEH=∠ABG. 在Rt△ABG和Rt△DEH中， ∠ABG=∠DEH, ∠G=∠H, AB=DE, .△ABG≌△DEH(AAS), ..AG=DH 在Rt△ACG和Rt△DFH中， (AC=DF, AG=DH, ∴.Rt△ACG≌Rt△DFH(HL), ∴.∠F=∠C. .在△ABC和△DEF中， 1∠C=∠F, ∠ABC=∠DEF, AB=DE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS). 1 D (4)②③ (5)过点E作EM∥AB交AC于点M,作EQ⊥DC,交 DC的延长线于点Q,过点E作EP⊥AC于点P,如图 ③所示. ,CD是△ABC的外角∠ACG的平分线，△ABC为 等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=60°，∠ACD=∠GCD= 2∠ACG=60°. ∴.∠ECQ=60. ,EQ⊥DC,EP⊥AC, ∴.∠EPC=∠EQC=90° I∠EPC=∠EQC, 在△EPC和△EQC中，{∠ECP=∠ECQ, EC=EC, ∴.△EPC=∠EQC(AAS), ∴.EP=EQ. 在Rt△AEP和Rt△FEQ中， EP=EQ, AE=EF. .Rt△AEP≌Rt△FEQ(HL), .∠EAM=∠EFC ,EM∥AB, ∴.∠B=∠MEC=60°， ∠AME=180°-∠BAC=120°. ,∠ACB=∠ACD=60°， .∠FCE=120°. 在△AME和△FCE中， I∠EAM=∠EFC, ∠AME=∠FCE, AE=EF, .△AME≌△FCE(AAS), ∴.∠AEM=∠FEC, ∴.∠AEF=∠AEM+∠MEF=∠FEC+∠MEF= ∠MEC=60° 0 ③ 本章综合提升 【本章知识归纳】 完全重合的两个图形叫作全等形能够完全重合的两 个三角形叫作全等三角形全等三角形对应边相等， 对应角相等两边及其夹角分别相等的两个三角形全 等，简记为“SAS”两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等，简记为“ASA”三边分别相等的两个三角 形全等，简记为“SSS”两角分别相等且其中一组等角 的对边相等的两个三角形全等，简记为“AAS”斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记 为“HL”线段角线段角的 【思想方法归纳】 【例1】解：甲、乙两个同学的方案都可行.理由： 甲同学的方案： (AO=CO, 在△ABO和△CDO中，{∠AOB=∠COD, BO=DO, ∴.△ABO≌△CDO(SAS),.AB=CD 乙同学的方案： ,DB⊥AC于点B,∴.∠ABD=∠CBD=90°. 在Rt△ABD和Rt△CBD中，BD=BD, AD=CD, .Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),.AB=BC. 综上，甲、乙两个同学的方案都可行 【变式训练1】B 【例2】4或8 【变式训练2】 解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. 理由如下：AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90° 3 .AB=7 cm,AP=BQ=2 cm, .'BP=5 cm, ..BP=AC. 在△ACP和△BPQ中， (AP=BQ, ∠A=∠B, AC=BP. .△ACP≌△BPQ(SAS), .∠C=∠BPQ. .∠C+∠APC=90°， ∴.∠APC+∠BPQ=90°， ∴.∠CPQ=90°， ..PCPQ. (2)①若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ,可得5=7-2t,2t=xt, 解得x=2,t=1; ②若△ACP≌△BQP 则AC=BQ,AP=BP,可得5=xt,2t=7-2t, 207 解得x=7,l=4 综上所述，当△ACP与以B,P,Q为顶点的三角形 等时x的值为2或9。 【通模拟】 1.D2.D3.D4.B5.D6.B7.B 8.459.1810.11 12.解：(1)证明：，CD=EF,.CD+DE=EF+DE 即CE=FD ∠A=∠B=90°， ,∴.△ACE和△BFD都是直角三角形， 在Rt△ACE和R△BFD中，AC=BF, CE=FD. .Rt△ACE≌Rt△BFD(HL),∴.EA=DB (2).'∠A=90°，∠C=55°， .∠AEC=90°-55°=35°， 由(1)得Rt△ACE≌Rt△BFD, ∴.∠AEC=∠BDF=35°， .∴.∠BOE=∠AEC+∠BDF=70° 13.证明：(1)AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠DAC AB=AE, 在△ABD与△AEC中，∠BAD=∠EAC, AD=AC, '.△ABD≌△AEC(SAS). (2).'AD=AC,AE=AB, 六∠ACD-∠ADC= 180°-∠DAC 2 ∠ABE=∠AEB= 180°-∠BAD 2 ∴.∠ACD=∠ADC=∠ABE=∠AEB. :∠BDE=∠ADC,∴.∠BDE=∠BED, .'BD=BE. △ABD≌△AEC,∴.BD=EC,∴.BE=EC. 14.解：由题意可知，∠CEO=∠ODB=90°，OB=O0 BD=1.4m,CE=1.8m. ,∠BOC=90°， ∴.∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°. .∠COE=∠OBD 在△COE和△OBD中， |∠CEO=∠ODB, ∠COE=∠OBD, OC=BO, .△COE≌△OBD(AAS), ..CE=OD=1.8 m,OE=BD=1.4 m, ∴.DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m), ∴.CN=EF=DE+DF=0.4+1=1.4(m) 15.解：(1).∠ACB=90°，∠B=60°，.∠BAC=30°. .AD,CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线， ∠DAC=2∠BAC=15, ∠ECA=号∠ACB=45 .∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°. (2)FE=FD.理由如下： 如图所示，在AC上截取AG=AE,连接FG. 全 AD是∠BAC的平分线，.∠EAF=∠GAF. AE=AG, 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, AF-AF, .△EAF≌△GAF(SAS), ∴.FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°， ∴.∠GFC=180°-60°-60°=60°. 又，∠DFC=∠EFA=60°，.∠DFC=∠GFC I∠DFC=∠GFC, 在△FDC和△FGC中，FC=FC, I∠FCD=∠FCG, ∴.△FDC≌△FGC(ASA), ..FD=FG...FE=FD 【通中考】 16.D 17.证明：，四边形ABCD是长方形，点E在BA的延 长线上， .∴.∠EAF=∠DAB=90°」 又.AE=AD,AF=AB,∴.△AEF≌△ADB(SAS), ∴∠AEF=∠ADB, ∴.∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°， 即∠EGB=90°，故BD⊥EC. 第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 1.C2.C3.A4.A5.② 6.解：所画对称轴如图所示 24