第13章 专题五 三角形中有关角度的计算+特色素养专题(三) 跨学科专题-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

.AB∥DE,AC∥DF, ..∠A+∠DGA=180°，∠D=∠DGA, ∴.∠A+∠D=180°. 第3课时三角形的内角 1.C2.B3.D4.B5.B6.75°7.C 8.直角9.A10.B11.60°12.150° 13.证明：.∠ACD+∠ACB=180°， ∠ACD=∠ACB, .∠ACD=∠ACB=90°. .∠AOE=∠COD,∠COD=∠B, ∴.∠AOE=∠B. ,∠BAC+∠B=90°， ∴.∠BAC+∠AOE=90 ∴∠AEO=90°，即△AOE是直角三角形. 14.解：(1)，∠BAC=90°，∠ACB=60°， ∴.∠ABC=30 .BD平分∠ABP,.∠ABD=15. 当AP⊥BC时，∠APB=90°，∴∠BAP=60° AD平分∠BAP,.∠BAD=30°， .∠ADB=180°-15°-30°=135. (2).∠ABD=15°， .∠ADB=180°-15°-∠BAD=165°-∠BAD. ,点P不能与点B重合，∴∠BAD>0°， .∠ADB<165°. ,点P可以与点C重合，当∠BAP=90°时， ∠BAD=45°， 此时∠ADB=120°. 综上，∠ADB的取值范围为120°≤∠ADB< 165°. 15.解：(1)由题意得∠BPC=∠DPE=130°. 在四边形ADPE中，：CE⊥AB,BD⊥AC, ∴.∠AEP=∠ADP=90°， .∠A=360°-∠AEP-∠ADP-∠DPE= 360°-90°-90°-130°=50°. (2)结论：∠BPC=90+号∠A. 理由：，'BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB, ∴.2∠CBD=∠ABC,2∠BCE=∠ACB. .∠A=180°-（∠ABC+∠ACB), ∴.∠A=180°-2（∠CBD+∠BCE), 六∠CBD+∠BCE=9O°- 2∠A. 在△BPC中，∠BPC=180°-（∠DBC+∠BCE)= 180-(90-3∠A）=90+2∠A. 第4课时三角形的外角 1.D2.B3.D4.C5.C6.230°7.A8.B 9.C10.B11.C12.D13.B14.360 15.解：如图所示，延长BD交AC于C 点E. 由三角形外角的性质，可知D ∠DEC=∠A+∠B=90°+ 32°=122°， ∴.∠BDC=∠DEC+∠C= 122°+21°=143°，而检验员量得∠BDC=146°， 故零件不合格. 16.解：(1)100 (2)∠BEC=2∠A+∠B 证明：，AC平分∠DCE, ..∠ACD=∠ACE .∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD, ∠ACD=∠A+∠B, ∴.∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B. 17.解：(1)115°(2)65 (3)∠BEC-2∠BAC, 理由：∠GCE是△BCE的外角， ∴.∠BEC=∠GCE-∠CBE. 点E是∠ABC,∠ACG的平分线的交点， 1 1 ·∠GCE=2∠ACG,∠CBE=2 ∠ABC. ∠BC=号∠ACG-号∠ABC=∠AG ∠AC)=号∠BAC,即∠BBC=∠BAC (4),CE∥AB,∴.∠A=∠ACE=50. .CE平分∠ACG,∴.∠ACG=100. .∠ACB=180°-100°=80°. 专题五三角形中有关角度的计算 1.解：.∠ABC=60°，∠ACB=54°， .∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°- 54°=66. 又BE是AC边上的高，∴.∠AEB=90°， ∴.∠ABE=180°-∠BAC-∠AEB=180°-66°- 90°=24°. 同理，∠ACF=24°， ∴.∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+24°=114°. ,HD是∠BHC的平分线， ∠CHD-2∠BHC-57 2.解：(1)∠B=40°，∠C=70°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70. .AD平分∠BAC,AE⊥BC, ∴.∠DAC=∠DAB=35°，∠AEC=90°， ∴.∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°， .∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-20°=15. (2)由(1)，得∠DAB=∠DAC=35. .∠B=40°， .∴.∠FDE=∠B+∠DAB=40°+35°=75°. ,FE⊥BC,.∠FED=90°， ∴.∠DFE=180°-∠FDE-∠FED=180°-75°- 90°=15°. (3)∠DAE=2∠C-∠B),证明： ,AD平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-∠C, ∠DAC=号180-∠B-∠C)=90-号∠B- 34C. AE⊥BC,∴.∠AEC=90°， ∴.∠EAC=90°-∠C. ∠DAE=∠DAC-∠EAC, ∠DAE=90-号∠B-号∠C-(0-∠C) 3∠C-∠B-2∠C-∠B. 5 3.解：(1)，∠MON=58°， ∴.∠OBA+∠OAB=122° ∴.∠NBA+∠MAB=238. .BC,AC分别为∠NBA,∠MAB的平分线， :∠CBA=∠NBA,∠CAB=号∠MAB. ∠CBA+∠CAB=(∠NBA+∠MAB)=1IS ∴.∠ACB=180°-119°=61°. (2),∠MON=n°， ∴.∠OBA+∠OAB=180°-n°. BD,AD分别为∠OBA,∠OAB的平分线， ∠ABD-3∠OBA,∠BAD=2∠0AB, ·∠ABD+∠BAD=(∠OBA+∠OAB) 2180°-n). ∴∠ADB=180-7180-nm）=90+7 (3)∠F的大小不变，∠F=2,理由如下： .∠NBA-∠BAO=∠MON=a, 又，BE是∠NBA的平分线，AF是∠OAB的平分 线，∠EBA=∠NBA,∠BAF=号∠BAO, ∠F=∠EBA-∠BAF=S(∠NBA-∠BAO) 1 2. 4.解：(1).MN⊥PQ,∴.∠BOA=90°. 在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+ 90°=135°. '∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C, ∠BAC-∠BA0=X45=2.5 ∠FBA=2∠PBA=2×135°=67.5 1 在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5° 22.5°=45°. (2)不会变 理由：∠ACB=∠FBA-∠BAC=2∠PBA G∠BA0=9(∠PBA-∠BAO)=2∠B0A 号×90=45，即∠ACB的度数不会变， 5.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°， ∴.∠CBD=∠A+∠ACB=110°. ,BE是∠CBD的平分线， ∠CBE=2∠CBD=55, (2).∠ACB=80°，∠CBE=55°， ∴.∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25°. .DF∥BE,∴.∠F=∠CEB=25 6.解：(1)①是 ②∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，72°X2十 72°=216>180°， .△BPC内角的度数分别是72°，72°，36°， .∠BCP=36或72°，.∠ACP=54°或18° (2)如图①所示，当△ABC是等腰直角三角形， CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°； 如图②所示，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件， 此时∠BCP=60°； 如图③所示，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条 件，此时∠BCP=50°； 如图④所示，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条 件，此时∠BCP=40°； 如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条 件，此时∠BCP=30°. 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或 45°或50°或60°. 1009 100 特色素养专题（三）跨学科专题 1.C2.A3.C4.A5.155 6.22.5 本章综合提升 【本章知识归纳】 首尾不等边三角形等腰三角形（包含等边三角形） 三角形中任意两边的和大于第三边；三角形中任意两 边的差小于第三边锐角三角形直角三角形钝角 三角形三角形的内角和等于180°平分内角，三条 角平分线交于一点平分对边，三条中线交于一点 垂直于对边，位置与三角形的形状有关条件结论 直角三角形的两锐角互余有两个角互余的三角形是 直角三角形三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和三角形的外角大于与它不相邻的任何一个 内角 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)证明：：∠A十∠D十∠AOD=∠B+ ∠C+∠COB=180°，∠AOD=∠COB, ∴.∠A十∠D=∠B十∠C (2)如图所示， .'∠1=∠B+∠E,∠2=∠A+ ∠D,∠1+∠2+∠C=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180°. 【变式训练1】 解：(1)证明：，点O1是∠ABC与∠ACB的三等分线 的交点， :∠O,BC+∠O,CB=号（∠ABC+∠ACB)= 3180°-∠A)=60°-3∠A, ∠B0,C=180-(6o-5∠A）=120+8∠A. (2)"-1X180°+1∠A 16专题五三角形中有三 类型1)三角形的内角结合角平分线、高 1.如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°， ∠ACB=54°，BE是AC边上的高，CF是 AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD 是∠BHC的平分线，求∠ABE,∠ACF和 ∠CHD的度数. 2.如图①所示，在△ABC中，AD平分∠BAC, AE⊥BC,∠B=40°，∠C=70°. (1)求∠DAE的度数， (2)如图②所示，若把“AE⊥BC”变成“点F 在DA的延长线上，FE⊥BC”,其他条件不 变，求∠DFE的度数. (3)若改变∠B和∠C的度数，但保持∠C≥ ∠B,试猜想图①中的∠DAE与∠C-∠B 的数量关系，并加以证明. B D 66 ∈角度的计算（答案P15) 类型2)三角形的内角平分线、外角平分线夹 角问题 3.探究拓展如图所示，A,B分别是∠MON两 边OM,ON上的动点（均不与点O重合）. (1)如图①所示，当∠MON=58°时，△AOB 的外角∠NBA,∠MAB的平分线交于点C, 求∠ACB的度数. (2)如图②所示，当∠MON=n°时，∠OAB, ∠OBA的平分线交于点D,求∠ADB的度 数.（用含n°的式子表示） (3)如图③所示，当∠MON=a(a为定值， 0°<a<90)时，BE是∠NBA的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F. 随着点A,B的运动，∠F的大小会改变吗？ 如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表 示)；如果会，请说明理由 11143414514144434 4.如图所示，PQ⊥MN,垂足为O,点A,B分别 在射线OM,OP上，直线BF平分∠PBA,且 与∠BAO的平分线交于点C. (1)若∠BAO=45°，求∠ACB的度数. (2)若点A,B分别在射线OM,OP上移动， 试探索∠ACB的大小是否会发生变化？如果 不变，请说明理由；如果变化，请求出变化的 范围. 类型3)与平行线相结合，求相关角的度数 5.如图所示，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB= 80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交 AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数. (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点 F,求∠F的度数. △八年级·上册·数学.lH 类型4)自定义问题 6.阅读理解在一个三角形中，如果一个角是另 一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍 角三角形”.如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90°，点P是线段AB上一点（不与 A,B重合)，连接CP. (1)当∠B=72时， ①若∠CPB=54°，则△ACP (填“是” 或“不是”)“倍角三角形” ②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的 度数 (2)当△ABC,△BPC,△ACP都是“倍角三 角形”时，求∠BCP的度数. 67 特色素养专题（三） 类型1)跨学科·物理 1.在物理学中，过入射点垂直于镜面的直线叫 作法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法 线的夹角和入射光线与法线的夹角相等，如 图所示，两束光线1,12分别从不同方向射向 镜面m,入射点为A和B,n1,n2为法线，l1, l2的反射光线相交于点P.若∠1=30°，∠2 50°，则∠APB的度数是( n B A.70° B.75° C.80° D.85 2.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如 图所示，其中摩擦力的方向OF1∥AC,支持力 的方向OF2⊥OF1,重力的方向OF3⊥AB. 若∠A=a,则∠F,OF3的度数为( ) A.180°-a B.180° 2 C.90°+a D.90°+2a 3.中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早 的潜望镜，西汉初年成书的《准南万毕术》中有这 样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四 邻矣”，如图①所示，其工作方法主要利用了光的 反射原理，如图②所示，AB呈水平状态，AE,CD 为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE=37°， AE⊥AB,则∠B的度数为() 大镜 C镜面 品 包 A.40 B.60° C.45° D.37° 68 跨学科专题（答案P16) 4.如图所示，一条光线AB经平面镜的反射光 线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反 向延长线过凹透镜的一个焦点F1,已知光线 AB的入射角为45°，反射光线BC与折射光 线CD的夹角∠BCD=155°，则光线CD与光 线AB所夹的锐角为( A.65° B.60° C.35 D.25° 5.凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图所 示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射 后，其折射光线与一束经过光心O的光线交 于点P,点F为焦点，若∠1=30°，∠2=55°， 则∠ABP的度数是 类型2)跨学科·语文 6.如图所示，《周礼·冬官·考工记》记载： “…半矩谓之宣(uān),一宣有半谓之橘 (zhú)”意思：“直角的一半的角叫作宣，一宣 半的角叫作烟…，即1宣=2矩，1褐-1 2宜（其中，1矩=90），问：图①为中国古代 强弩图，图②为强弩图部分组件示意图， ∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C= 度 111111111114111141141415