第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

3.解：(1)，∠MON=58°， ∴.∠OBA+∠OAB=122° ∴.∠NBA+∠MAB=238. .BC,AC分别为∠NBA,∠MAB的平分线， :∠CBA=∠NBA,∠CAB=号∠MAB. ∠CBA+∠CAB=(∠NBA+∠MAB)=1IS ∴.∠ACB=180°-119°=61°. (2),∠MON=n°， ∴.∠OBA+∠OAB=180°-n°. BD,AD分别为∠OBA,∠OAB的平分线， ∠ABD-3∠OBA,∠BAD=2∠0AB, ·∠ABD+∠BAD=(∠OBA+∠OAB) 2180°-n). ∴∠ADB=180-7180-nm）=90+7 (3)∠F的大小不变，∠F=2,理由如下： .∠NBA-∠BAO=∠MON=a, 又，BE是∠NBA的平分线，AF是∠OAB的平分 线，∠EBA=∠NBA,∠BAF=号∠BAO, ∠F=∠EBA-∠BAF=S(∠NBA-∠BAO) 1 2. 4.解：(1).MN⊥PQ,∴.∠BOA=90°. 在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+ 90°=135°. '∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C, ∠BAC-∠BA0=X45=2.5 ∠FBA=2∠PBA=2×135°=67.5 1 在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5° 22.5°=45°. (2)不会变 理由：∠ACB=∠FBA-∠BAC=2∠PBA G∠BA0=9(∠PBA-∠BAO)=2∠B0A 号×90=45，即∠ACB的度数不会变， 5.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=80°， ∴.∠CBD=∠A+∠ACB=110°. ,BE是∠CBD的平分线， ∠CBE=2∠CBD=55, (2).∠ACB=80°，∠CBE=55°， ∴.∠CEB=∠ACB-∠CBE=80°-55°=25°. .DF∥BE,∴.∠F=∠CEB=25 6.解：(1)①是 ②∠B=72°，△BPC是“倍角三角形”，72°X2十 72°=216>180°， .△BPC内角的度数分别是72°，72°，36°， .∠BCP=36或72°，.∠ACP=54°或18° (2)如图①所示，当△ABC是等腰直角三角形， CP⊥AB时，满足条件，此时∠BCP=45°； 如图②所示，当∠A=60°，CP⊥AB时，满足条件， 此时∠BCP=60°； 如图③所示，当∠A=60°，∠BPC=100°时，满足条 件，此时∠BCP=50°； 如图④所示，当∠B=60°，∠APC=100°时，满足条 件，此时∠BCP=40°； 如图⑤所示，当∠B=60°，∠APC=90°时，满足条 件，此时∠BCP=30°. 综上所述，满足条件的∠BCP的度数为30°或40°或 45°或50°或60°. 1009 100 特色素养专题（三）跨学科专题 1.C2.A3.C4.A5.155 6.22.5 本章综合提升 【本章知识归纳】 首尾不等边三角形等腰三角形（包含等边三角形） 三角形中任意两边的和大于第三边；三角形中任意两 边的差小于第三边锐角三角形直角三角形钝角 三角形三角形的内角和等于180°平分内角，三条 角平分线交于一点平分对边，三条中线交于一点 垂直于对边，位置与三角形的形状有关条件结论 直角三角形的两锐角互余有两个角互余的三角形是 直角三角形三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和三角形的外角大于与它不相邻的任何一个 内角 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)证明：：∠A十∠D十∠AOD=∠B+ ∠C+∠COB=180°，∠AOD=∠COB, ∴.∠A十∠D=∠B十∠C (2)如图所示， .'∠1=∠B+∠E,∠2=∠A+ ∠D,∠1+∠2+∠C=180°， .∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180°. 【变式训练1】 解：(1)证明：，点O1是∠ABC与∠ACB的三等分线 的交点， :∠O,BC+∠O,CB=号（∠ABC+∠ACB)= 3180°-∠A)=60°-3∠A, ∠B0,C=180-(6o-5∠A）=120+8∠A. (2)"-1X180°+1∠A 16 【例2】D 【变式训练2】 解：(1)35 (2)30 (3)设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE=∠AED=x, ∠CDE=&,∠BAD=3. A D B DaC ① ② ①如图①所示，当点D在点B的左侧时， ∠ADC=x-a, y=x+a①， “0=x-a十9g②.①-②，得2a-月=0， ∴.2a=3,即2∠CDE=∠BAD； ②如图②所示，当点D在线段BC上时， ∠ADC=x+a, x十a=y十B0,O-②，得2a=B, x=y+a②， 即2∠CDE=∠BAD: ③如图③所示，当点D在点C右侧时， ∠ADC=x-a, ra+y+8=1800. lx+y+a=180°②， ②-①，得2a-B=0,∴.2a=3,即2∠CDE=∠BAD. 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是 2∠CDE=∠BAD. 【例3】C 【变式训练3】7或3 【例4】解：解法1：延长AD交BC于点E,如图①所示， 则根据三角形外角的性质有∠ADC=∠C+∠DEC, ∠DEC=∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C 30°+45°+25°=100° ① ② 解法2：过点D作BC的平行线EF,交AB于点E,如 图②所示，则由平行线的性质知∠FDC=∠C, ∠AED=∠B.又根据三角形外角的性质有∠ADF ∠A+∠AED, ∴.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, ..∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100°， (解法不唯一) 【变式训练4】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+ ∠PCB+∠4=180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180° 67°-25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132° 思路二：，∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92° ,∠1是△CDP的外角， ∴.∠1=∠2+∠4=92°+40°=132° 【通模拟】 1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.6 8.90°或60°9.真 10.解：(1)a,b,c是△ABC的三边， .∴.a+c>b,b+c>a, .∴.a-b+c0,a-b-c<0, ∴.|a-b+c|+a-b-c|=(a-b+c)-(a-b- c)=a-b+c-a+b+c=2c. (2解方程组8十二11解得公-：程搭三角 形的三边关系，得5-2<c<2+5,即3<c<7. .c为偶数，c=4或6， 当c=4时，三角形的三边长分别为2,5,4,2十4> 5,能构成三角形； 当c=6时，三角形的三边长分别为2,5,6,2+5> 6,能构成三角形， ∴.这个三角形的周长为2十5十4=11或2+5十6=13. 11.解：(1).∠ADC是△ABD的一个外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD. 又，∠ADC=80°，∠B=∠BAD, ∠B=2∠ADC=2×80=40. (2)在△ABC中， .∠BAC+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-70°=70°. 【通中考】 12.1 13.解：，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF= 90°，∠E=45°，∠C=30°， ∴.∠B=90°-∠C=60°，∠F=90°-∠E=45°. BC∥EF,.∠MDB=∠F=45°， ,.在△BMD中， ∠BMD=180°-∠B-∠MDB=75°. 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.A2.D3.C 4.解：△ABC≌△AED, 对应边是AB和AE,BC和ED,AC和AD,对应角 是∠C和∠D,∠BAC和∠EAD,∠B和∠E. 5.C6.C7.12 8.解：AECF,AE=CF. 理由：，△ABE≌△CDF, .AE=CF,∠AEB=∠CFD. ,∠AEB+∠AEF=180°，∠CFD+∠CFE=180°， .∠AEF=∠CFE,∴.AECF. 9.A10.A11.C 12.解：(1).△ABE2△ACD, .∠EBA=∠C=42°， ∴.∠EBG=180°-42°=138°. (2).△ABE≌△ACD, ∴.AC=AB=9,AE=AD=6, ∴.CE=AC-AE=9-6=3. 13.解：(1).△ABD≌△ACD,∴.∠B=∠C. 又：∠BAC=90°，.∠B=∠C=45°. (2)AD⊥BC 理由：，△ABD≌△ACD,∴∠BDA=∠CDA. .∠BDA+∠CDA=180°， ∴.∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC.本章综合提升（答案P16) 1111111月 本章知识归纳·/111/1/ 三们形的概念 出不在同·条有线上的三条线段 依次相接所组成的时闭图形 按边分类 边 一边大系： 三角形中的 按角分类 边角关系 角 内角和： 概念：一角形中.个角的平分线与这个前对边相交，顶点与交点之问的线段 角平 性质 分线 三角形中 儿条 概念：一角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 的边角关 重要 中线 性质 系、命题 几何命题 线段 慨念：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段 与证明 高 性质： 命题的组成： 和 假命题（举反例说明） 命题 命题的分类 真命题 定理 命邀与证明 逆命题 :角形内角和定理 及两个推论 证明 推论：二角形外角的性质 思想方法归纳 【例1】如图①所示，线段AB,CD相交于 点O,连接AD,CB,我们把形如图①的图形称 1.整体思想 为“8字形” 整体思想就是将要解决的问题看作一个整 (1)求证：∠A+∠D=∠B+∠C 体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条 (2)如图②所示，求∠A+∠B+∠C+ 件和所求综合考虑后，得出结论.发现问题的整 ∠D十∠E的度数. 体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子 或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进 行有目的、有意识的整体处理， 链接本章) 本章中求三角形角度时通常要把两个 角的和作为一个“整体”，以及将几个角的 和作为整体进行转化. △八年级·上册·数学.1 69 【变式训练1】(1)如图①所示，在△ABC ∠CDE=15°，则∠BAD= 中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,则 (3)当点D在直线BC上（不与点B,C重 ∠B0C=2×180+2∠A=90+2∠A.如图 合)运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关 系，并说明理由. ②所示，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的两条 三等分线分别对应交于O1,O2,求证： ∠B0,C=120+3∠A. (2)如图③所示，当∠ABC,∠ACB被n等 ② 备川图 分时，内部有(n一1)个交点，则∠BO1C与∠A 的关系为：∠BO1C ② 3.分类讨论思想 当面临的问题包含多种可能情况时，就把 2.方程思想 问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后 逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问 链接本章) 本章中求角度时，如果已知角度之间 题的答案，这种解决问题的思想就是分类讨论 的关系而不是具体度数，需要设未知数建 思想 立方程（组）求解. 链接本章 本章中，常见的有(1)等腰三角形的 【例2】如图所示，在△ABC中， 边、角、高等不确定时，需要分类讨论； ∠ABC=∠ACB,点D在AC上，且 (2)动态背景下三角形全等问题的分类讨论： ∠DBC=∠DBA=∠A,则∠A等 【例3】等腰三角形的周长为18cm,其中 于() 边长为5cm,等腰三角形的底边长为( A.30°B.40° C.45 D.36° A.5 cm B.6 cm 【变式训练2】如图所示，在△ABC中， C.5cm或8cm D.8 cm ∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上，点 【变式训练3】若AD是△ABC的高，且 E在射线AC上，且∠ADE=∠AED,连 BD=5,CD=2,则边BC的长为 接DE. 4.转化思想 (1)如图①所示，若∠B=∠C=30°，∠BAD= 在研究数学问题时，我们通常是把未知的 70°，则∠CDE= 知识转化为已知的知识，把复杂的问题转化为 (2)如图②所示，若∠ABC=∠ACB=70°， 简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题， 70 把数学问题转化为实际问题来解决.在本章中， 思路 思路二 辅助线与转化思想是在一起出现的，及时地总 先利用三角形内角和求出先利用三角形外角的性 结辅助线的作法将给以后的解题带来极大的方 ∠PBC+∠PCB的度数， 质求出∠2的度数，再利 便和帮助，“转化”起到了由未知到已知、由难到 再利用三角形内角和求出 用三角形外角的性质求 易、由繁到简的作用 ∠1的度数. 出∠1的度数. 链接本章 三角形内角与外角的转化；在推导多 边形的内角和公式时，通过引多边形的对 角线，把多边形的内角和问题转化为若干 个三角形的内角和问题 通模拟一 【例4】二题多解如图所示，已知∠A=30°， ∠B=45°，∠C=25°，试求∠ADC的度数. 1.(合肥期末)下列命题是真命题的是( A.相等的角是对顶角 B.如果a=b,那么a2=b2 C.内错角相等 D.同旁内角互补 2∠B= 2.(滁州期末)在△ABC中，∠A= 3∠C,则这个三角形是( ) A.含30°角的直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3.(合肥期末)如图所示，AD,BE分别是 △ABC的高线、中线，若S△ABc=8,BC=8, 【变式训练4】一题多解如图所示，P是 则高线AD长为() △ABC内一点，延长BP交AC于点D,连 A.2 B.4 C.6 D.8 接PC. 第3题图 第4题图 (1)∠1，∠2，∠A的大小关系是 4.(合肥模拟)将两块直角三角板按如图所示摆 放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°， (2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉 ∠DCB=45°，若AC,BD相交于点E,则 想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一 ∠AED的大小为( 种帮助嘉嘉完成求解， A.110° B.105°C.95 D.75° △八年级·上册·数学.1H 71 5.(芜湖一模)如图所示，在△ABC中，点E在 为偶数，求这个三角形的周长， CB的延长线上，过点E作ED⊥AB,交AB 于点D,交AC于点F,∠ABE=60°，∠C= 35°，则∠A的度数为( 11.(合肥蜀山区期中)如图所示，D是△ABC B A.35° B.25° C.20° D.15° 的BC边上的一点，∠B=∠BAD, 6.(毫州期中)如图所示，BA1和CA1分别是 ∠ADC=80°，∠BAC=70°. △ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是 (1)求∠B的度数， ∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分 (2)求∠C的度数. 线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是 ∠A2CD的平分线…依此下去，若∠A=a, 则∠A2025为() B. 112024 。 之通中考四 12.(安徽中考)清初数学家梅文鼎 D 在著作《平三角举要》中，对南 第6题图 第7题图 宋数学家秦九韶提出的计算三 B 7.(合肥期末)如图所示，三角形ABC的面积为 角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整 15,AB的长为5，P为直线AB上一动点，连 的证明，证明过程中创造性地设计直角三角 接PC,则线段PC的最小值是 形，得出了一个结论：如图所示，AD是锐角 8.(淮南期末)当三角形中一个内角α是另一个 内角B的两倍时，我们称此三角形为“特征三 △ABC的高，则BD=日 (BC 角形”，其中α称为“特征角”，如果一个直角 三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角” AB_AC).当AB=7,BC=6,AC=5时， BC 的度数是 CD 9.(池州月考)“如果m,n互为相反数，那 13.(安徽中考改编)两个直角三角板按如图所 么m十n=0”的逆命题是 (填“真”或 示摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E “假”)命题. 45°，∠C=30°，AB与DF交于点M.若 10.(池州贵池区期末)已知a,b,c是△ABC的 BC∥EF,求∠BMD的度数， 三边 (1)化简a-b+c+a-b-c1. a+2b=12, (2)若a和b满足方程组 2a-b=-1, 且c 72 14111111414111141141411