第12章 专题四 一次函数的应用——最值及优化决策问题-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

专题四一次函数的应用 最值及优化决策问题（答案P10) 类型1〉一次函数的应用一最值 已知老李购进10千克鲢鱼和20千克草鱼需 1.(淮南期末)某茶叶经销商销售每千克A级 要155元，购进20千克鲢鱼和10千克草鱼需 茶、B级茶的利润分别为100元、150元.若该 要130元. 经销商决定购进A,B两种级别的茶叶共200 (1)求a,b的值. 千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总 (2)老李每天购进两种鱼共300千克，并在当 利润为y元 天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80千克且 (1)求y与x之间的函数表达式. 不超过120千克，设每天销售鲢鱼x千克（销 (2)若其中B级别茶叶的进货量不超过A级 售过程中损耗不计) 别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进 ①分别求出每天销售鲢鱼获利y1元，销售草 货方案，使销售总利润最大，并求出总利润的 鱼获利y2元与x的函数表达式，并写出x的 最大值 取值范围。 ②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每 千克降低m元，草鱼售价全部定为7元/千 克，为了保证当天销售这两种鱼总获利的 最小值不少于320元，求的最大值， 2.为了切实保护某河流生态环境，某市政府对 该河段实施全面禁渔.禁渔后，某水库自然生 态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天 从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼 的进价和售价如表所示： 进价/ 品种 售价/（元/千克） (元/千克 鲢鱼 a 5 销量不超过 销量超过 草鱼 b 200千克的部分 200千克的部分 8 7 △八年级·上册·数学.1H 43 类型2》一次函数的应用一优化决策问题 4.(芜湖弋江区期末)暑期来临，八年级某中队 3.应用意识工厂计划购进一种标价为20元kg 从甲、乙两商店购买了若干杯奶茶，慰问位于 的原料xkg,目前此原料促销，有两种优惠方 A,B两地辛勤劳作的环卫工人.已知在甲商 式可供选择.方式一：购买总费用y1元关于 店购买了100杯奶茶，在乙商店购买了80杯 xkg的函数图象如图中OA所示，其中点A 奶茶，A地有70名环卫工人，B地有110名环 的坐标为(80,1440)；方式二：若购买此原料 卫工人.与某外卖平台协商后，得到两商店到 不超过40kg,则按标价销售，若超过40kg,则 两地的路程和每杯每千米的运费如下表： 超出部分按八折销售.设选择方式二购买 路程/km 运费/儿元/（杯·km)] 地区 xkg时的总费用为y2元. 甲商店 乙商店 甲商店 乙商店 (1)求y2关于x的函数表达式 A地 2 1.5 0.6 0.6 (2)在图中画出y2关于x的函数图象.结合 B地 2.5 2 0.5 0.4 图象回答：为了使购买总费用较少，如何选择 (1)设甲商店运往A地奶茶x杯，求总运费y 优惠方式？请直接写出结果 关于x的函数表达式， +/元 1760 (2)当甲、乙两商店各运往A、B两地多少杯奶 1600-1- 1440 茶时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 1280 1120 -1- 800 960F 640- 480 320 160 204060 80100/kg 44当x>9时，y1>y2,选方案二费用较少 (3)当3≤x<9时，18x+54=288,解得x=13,不满 足x<9. 当x>9时，14.4x十86.4=288，解得x=14,满足题意， 所以学生有14人. 5.解：(1)设每盒肉棕和每盒豆沙粽的进价分别为a元 和(a一10)元 根据题意，得2500-200 -a-10,解得a=50,经检验， a=50是所列方程的解，且符合题意。 所以a-10=40. 所以每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元、 40元. (2)①根据题意，得y1=0.8×40x=32x. 当0<x≤25时，y2=40x; 当x>25时，y2=25×40+0.7×40(x-25)= 28.x+300. 40x(0x25), 综上，y1=32.xy2 28.x+300(x>25). ②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x,则 32.x=28.x十300，解得x=75. 根据函数图象可知：当0<x<75时，y1<y2;当x= 75时，y1=y2;当x>75时，y2<y1. 所以该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从 A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个 厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比 较划算. 7 6.解：(1)(2000-x-y) -3x+2000 (2)运往A地的总费用为40x, 运往B地的总费用为20y=20(-3x+2000) 、140 x+40000, 运往C地的总费用为40.x, 100 w=40x+40x+130z+40000号 3x十 40000. 7 (3)根据题意，得-3x十2000≤x, 解得x≥600. 由(2)如总费用的函数表达式为w=19”+400 1000, 31 w随x的增大而增大 当x=600时，总费用心有最小值，最小值为m血= 3×600+40000=60000(元). 100、 答：最少可运往A地商品600件才能使总运费最少， 最少为60000元. 专题四 一次函数的应用一最值及 优化决策问题 1.解：(1)由题意，得 y=100.x+150(200-x)=-50.x+30000, 即y与x的函数表达式为y=-50x+30000. (2)因为B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的 4倍，所以200一x4x,解得x≥40. 因为y=-50x+30000,所以当x=40时，y取得 最大值，此时y=28000,200一x=160,即当进货方 案是A级别茶叶40千克，B级别茶叶160千克时， 销售总利润最大，总利润的最大值是28000元. 2.解：(1)根据题意，得 10a士206-155解得=8.5， 20a+10b=130, b=6. (2)①由题意，得y1=(5-3.5)x=1.5.x(80≤x≤ 120). 当300-x≤200时，100≤x≤120，y2=(8-6)× (300-x)=-2.x+600: 当300-x>200时，80≤x<100,y2=(8-6)× 200+(7-6)×(300-x-200)=-x+500: -x十500(80x100), 故y2=《 -2.x+600(100.x120). ②由题意，得=(5-m-3.5)x+(7-6)×(300- x)=(0.5-m)x十300，其中80≤x≤120. 因为当0.5-m≤0时，0=(0.5-m)x+300≤ 300,不合题意， 所以0.5一>0，所以®随x的增大而增大， 所以当x=80时，心的值最小， 由题意，得(0.5一m)×80十300≥320， 解得m≤0.25，所以m的最大值为0.25. 3.解：(1)当0≤x≤40时，y2=20x; 当x>40时，y2=20×40+20×0.8(x-40)= 120x(0x40), 16x+160,故y2= 16x+160(x>40). (2)图象如图所示. +y/ 1760 -7-T-T-7f-1 1600-1------.. 1440- 1280t分 1120 960-...1. 800---9---- 640- 320- -+-1----- 160- 20406080100xkg 当购买的原料少于80kg时，选择方式一总费用较 少；当购买的原料等于80kg时，两种方式总费用一 样多；当购买的原料多于80kg时，选择方式二总费 用较少. 4.解：(1)设甲商店运往A地x杯奶茶，则甲商店运往 B地(100一x)杯奶茶，乙商店运往A地(70-x)杯 奶茶，乙商店运往B地[80-(70-x)]=(10+x)杯 奶茶， 根据题意，得y=2×0.6.x十2.5×0.5(100-x)十 1.5×0.6×(70-x)+2×0.4(10+x)=-0.15x+ 196(0≤x≤70)，所以总运费y关于x的函数表达 式为y=-0.15.x+196(0≤x≤70). (2)因为一次函数y=-0.15x+196中， k=-0.15<0, 所以y的值随x值的增大而减小， 所以当x=70时，总运费y最省，最省的总运费为 -0.15×70+196=185.5(元)， 所以从甲商店运70杯到A地，运30杯到B地，从乙 商店运0杯到A地，运80杯到B地，总运费最省，最 省的总运费是185.5元 特色素养专题（一） 新定义题型专题 1.A2.C3.D4.C 5.解：(1)y=-2.x+4 (2)y=-bx+2 (3)1因为b=6, 所以两函数表达式分别为y=2x-6,y=一6.x十2， 对于y=2x一6，当x=0时，y=一6， 对于y=一6.x十2，当x=0时，y=2, 所以两函数图象与y轴的交点坐标分别为(0，一6)， (0,2),所以(2)中两个函数图象与y轴围成的三角 形的面积为2×1×(2+6)=4： 6.解：1(-o) (2)x轴 b y=kx+b, (3)由 少=一一解得 = y=0, 所以这对和谐函数y=k.x十b与y=一k.x一b(其中 k,b为常数，k≠0)图象交于x轴上一点. 将x=0代入y=kx十b,则y=b, 所以直线y=k.x十b与y轴的交点为(0，b). 将x=0代入y=一kx一b,则y=一b, 所以直线y=一k.x一b与y轴的交点为(0，一b). 因为点(0，b)与点(0，一b)关于x轴对称，且这对和 谐函数图象的交点华标是（冬o),在x情上。 所以一对和谐函数y=kx十b与y=一k.x一b(其中 k,b为常数，k≠0)图象“成轴对称”. 特色素养专题（二）传统文化专题 1.A2.B 3.y=8.x+44.2505.(2,-1) 本章综合提升 【本章知识归纳】 列表法解析法图象法一、三增大二、四 减小k≠0增大减小 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)因为直线y=k.x+b与直线y=x十1平 行，所以k=1, 所以y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x十 b=0, 解得x三一6，所以2618，解得6=士6 所以直线的函数表达式为y=x十6或y=x一6. (2)设直线与x轴的交点到原点的距离为a, 则2×a×6=18,解得a=6, 所以直线与x轴的交点坐标为(6,0)或（一6,0）.因为 直线与y轴的交点坐标为(0,6)， 所以直线的函数表达式为y=x十6，把(6,0)代入，得 k=-1,把（一6,0）代入，得k=1, 所以直线的函数表达式为y=一x十6或y=x+6. 【变式训练1】 解：设平移后的直线为y=一x十m,当x=0时， y=m;当x=m时，y=0. 所以该直线与坐标轴交于(0，n)和(m,0), 则2m·m=18, 即m2=36,解得m=士6. 所以直线y=-x+m与x轴交于(6,0)或(-6,0)， 原直线y=一x十3与x轴交于(3,0)， 所以将直线y=一x+3沿x轴向右平移3个单位长 度，或向左平移9个单位长度. 【例21=-9x+6 【变式训练2】 解：(1)设y=k(x十2)， 把x=-3,y=3代入，得3=k×(-3+2), 解得k=一3， 所以y与x的函数表达式为y=一3x一6. y=一3x一6·解得 x=-2, (2)由y=2x+4, y=0, 所以点A的坐标为（一2,0）. 【例3】解：(1)令x=0,则y=4,所以 点A的坐标为(0,4). 令y=0,则-2.x十4=0，解得x=2. 所以点B的坐标为(2,0). (2)如图所示，因为点A的坐标为 (0,4),点B的坐标为(2,0). 所以OA=4,OB=2, 所以△AB0的面积是号×4X2-4 因为△ABC的面积是△ABO面积的2倍，所以 △ABC的面积是8，所以2AC·OB=8,所以 AC=8,