4.2线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线（2）课件 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“线段的垂直平分线”第2课时，核心内容为过点作已知直线的垂线及最短路径问题。情境导入通过复习性质、作垂直平分线和中点，为新课探究点在直线上或外作垂线搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于运用分类与转化思想，将作垂线转化为作垂直平分线，结合“将军饮马”模型培养几何直观与推理意识。详细作图步骤、跟踪练习及实际问题检测，帮助学生建立空间观念，教师可借助结构化流程提升教学效率。

青岛版八年级数学上册 第 4章 图形的轴对称 4.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线（2） 情 境 导 入 1.线段垂直平分线有哪些性质？ 2.作线段AB的垂直平分线 （只保留作图痕迹,不写作法） A C D B M 3.如何作线段AB的中点呢？ A C D B M 还是作线段的垂直平分线，利用平分的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 新 课 探 究 探究一： 如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线. 这个作图的作图依据是什么？小组交流. 基本步骤： 1.构造线段， 2.作线段的垂直平分线. A B N M 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 探究二： 如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？ 提示：也要设法先在直线l上作出线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等. 做法: 1.任意取一点K，使点K和点C分别在直线的两侧; 2.以点C为圆心，CK的长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B; 3.作线段AB的垂直平分线MN. 直线MN就是过点C的直线的垂线. K A B N M 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 ①点与直线有两种位置关系：点在直线上或点在直线外 ②“作已知直线的垂线”转化为已知的“作一条线段的垂直平分线” “过一点作已知直线的垂线”这一问题，运用了分类、转化 的数学思想． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 直线AB表示一条小河，一牧民在C处放马，现在要到河边饮马，然后回到帐篷点D处（C、D在小河同旁）。问在何处饮马，才能使他所走路程最短？ 探究三： 最短路径问题之“将军饮马” A B D D´ C Ｐ 做法：1、过点D 作直线AB的垂线DE,垂足为E； 2、在DE上截取D´,使DE=D´E； 3、连接CD´，与直线AB交于点P； 点P就是所求作的直线AB上使CP+DP的值最小的点。 E 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 直线上到直线同侧的两点距离之和最小的点,应通过作对称点 再连接而得到． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1.如图,已知钝角∠AOB,点D在射线OB上,按要求作图(不写作法,保留作图痕迹). (1)过点D作直线DE⊥OB,垂足为D; (2)过点D作直线DF⊥OA,垂足为F. 2.如图：四边形ABCD为正方形，M是AB边的一点，请在对角线AC上找一点P,使PM+PB的值最小. A D B C M 跟踪练习 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 确定 目标 情景 在线 2.如图,一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD,则一定有 (　 　) A.PA=PC B.PA=PQ C.PQ=PC D.∠QPC=90° C 1.若点A在直线l上,过点A作直线l的垂线,我们可以先以A为圆心,以　 为半径作弧,交直线l于C,D两点,再作线段CD的　 　即可.  任意长度 垂直平分线 课堂检测 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 新知 探究 二 达标 检测 课堂 小结 4.如图,直线l表示一条河,小马从A处出发,要去河边喝水再回B处的家,请在图中作出小马喝水回家的最短路线,并说明这条路线是最短的. 3．如图,正方形ABCD中,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的值最小时,P的位置在( ) (A)AC的中点 (B)点A处 (C)DE与AC的交点处 (D)点C处 C 4．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l． 解：如图： 答案图 5．(人教8上P63、北师7下P124)如图，已知线段AB，请用直尺和圆规作出线段AB的对称轴． 解：如图，直线EF就是线段AB的对称轴． 答案图 小结：作线段的对称轴，实质是作线段的垂直平分线. 6．如图，指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来． 1条，2条，2条，4条，图略． 8．如图，△ABC与△A'B'C'关于某一直线对称． (1)用尺规作图法作出对称轴； (2)延长各对对应线段，观察它们的交点在什么位置上？从而得到什么结论？ 解：(1)连接其中一对对应点，作所连线段的垂直平分线即为对称轴．图略． (2)图略，交点在对称轴上．结论：关于某一直线对称的两个图形，对应线段如果不平行，那么它们所在的直线的交点在对称轴上． 小结：连接任一对对应点，再作垂直平分线，就可以得到对称轴. 9．如图，△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 解：如图，l即为所求． 答案图 10.作轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴的方法： 首先连接两个 ，然后作所连线段的　 　．  　垂直平分线　 对应点 10．(人教8上P66、北师8下P24)已知公路l的同旁有两个村庄A，B，要在公路旁边建一个公交车站，使车站到两个村庄的距离相等，请确定车站的位置．   解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，则点P为车站的位置．图略． 小结：由实际问题抽象出到两个点相等的问题，运用垂直平分线的性质定理，并作图. 0.50 ★11． (跨学科融合)(人教8上P66、北师8下P30)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 解：如图，发射塔应修建在点P的位置． 答案图 课 堂 小 结 1、用尺规过一点作已知直线的垂线 （1）点在直线上 （2）点在直线外 2、利用对称解决几何最值问题 直线上到直线同侧的两点距离之和最小的点,应通过作对称点再连接而得到． THANK YOU $