精品解析：江苏省南通市海门中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期十月份学情调研 高一数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 2. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 3. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则__________. 13. 若，则__________. 14. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设全集为实数集，集合，. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 已知， （1）求x的取值范围 （2）求的取值范围 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 19. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学2025-2026学年度第一学期十月份学情调研 高一数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求集合，再确定其真子集的个数. 【详解】依题意，所以集合的真子集的个数为. 故选：B 2. 下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （ ） A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 3. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的定义以及充分条件必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，满足，但是不满足， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则当时，因为，所以， 当， ，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 5. 已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知，故C错误；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证D. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以，故A正确； 由题意，方程的根为，4， 则，， 所以，，所以，故C错误； 不等式，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 不等式等价于， 即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先列出集合的子集，即可得到集合. 【详解】因为集合，集合的子集有：， 所以. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将展开，然后根据多项式相等的性质求出、、的值，最后计算即得. 【详解】由题意，等式右边， 因等式左边为，对照即得： ，解得，则. 故答案为：10. 14. 已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得或，分，，三种情况，结合的解集列不等式求解即可. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足， 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，可知的取值范围为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设全集为实数集，集合，. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 解，得，所以， 当时，， 所以，或， 所以或， 【小问2详解】 由（1）知，，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 16. 已知， （1）求x的取值范围 （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两不等式相加可求x的取值范围； （2）利用待定系数法可得，再根据不等式的性质可求的取值范围. 【小问1详解】 ， 两个不等式相加可得 解得. 【小问2详解】 设， 则，. 即， 又， ， ， 即 的取值范围为. 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1）10米，50平方米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，利用基本不等式即可求解. （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题意得，都为正数， ∴该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， ∴当该菜地的长为10时，该菜地的面积取得最大值，最大值为50平方米. 【小问2详解】 ∵，都为正数，∴ ∴ ， 当且仅当，又， 即时，等号成立， ∴的最小值为. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 19. 已知集合为非空数集.对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合,并说明理由； （2）对(1)中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，是完美自相加集合.理由如下： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为， 所以中的最小元素为， 同理，2次自相加后得到的集合中的最小元素是. 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 因为集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合；所以对， 再进行一次自相加操作，任意两个偶数相加的和还是偶数， 因为任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，故是完美自相加集合. （2）2051； （3）675. 【解析】 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可； （2）连续的正整数组成的集合，在自相加后，形成的新集合中的元素必然是连续的正整数，且得到的新集合的元素的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到新集合的元素的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行11次自相加后集合的元素的最大值和最小值，即可得到集合的11次自相加集合的计算元素个数； （3）由第二问的结论，很容易得到.因为集合由连续自然数组成，所以其自相减集合中的最小数是１，最大数是最大数与最小数的差，即，所以然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行1次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第2次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第3次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第4次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第5次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第6次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第7次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第8次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第9次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第10次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第11次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合的次自相加集合中的元素都是连续的整数， 所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为. 【小问3详解】 因为且，集合 所以 要使，须使，所以， 又因为，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $