精品解析：陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2025-2026学年八年级上学期数学第一次阶段性作业

2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键； 根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数结合选项即可作出判断. 【详解】解：3.14，，0都是有理数，是无理数； 故选：C. 2. 下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（ ） A. 15 B. 13 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟知勾股定理和勾股数的知识是解题的关键； 根据勾股定理逐项判断即可得到答案. 【详解】解：A、，故15不能与5，12组成一组勾股数； B、，故13能与5，12组成一组勾股数； C、，故12不能与5，12组成一组勾股数； D、，故8不能与5，12组成一组勾股数； 故选：B. 3. 的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是关键； 根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘法与除法，熟练掌握相应的运算法则是解决问题的关键．根据二次根式的加减法和乘法与除法法则分别计算即可判断． 【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 在中，，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 先根据勾股定理得到，再代入求值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 0和负数都没有平方根 B. 正数的平方根是正数 C. 负数的立方根是负数 D. 立方根等于本身的数只有0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关知识点是解题关键； 根据平方根和立方根的定义解题即可． 【详解】解：A、0的平方根为0，故原说法错误，不符合题意； B、正数有两个平方根，一个正数和一个负数，故原说法错误，不符合题意； C、负数的立方根是负数，故原说法正确，符合题意； D、立方根等于本身的数有，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿石柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则石柱上的雕龙长度至少为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键； 先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴的面积为：， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 10. 如图，一棵大树在离地面3米（即米）处断裂，大树顶部落在离大树底部点米的处（即米），已知，大树折断部分的长度是_____米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴， 故答案为： 4． 11. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，解方程即可求出x的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：3． 12. 如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，以直角三角形三边为边长的图形面积，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 根据勾股定理求解． 【详解】解：∵最大正方形和最小正方形的面积分别为，， ∴字母所代表的正方形的边长为， 故答案为：8． 13. 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是于点，且，以点为圆心，为半径在点右侧画弧交数轴于点，则点表示的数是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长． 根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 14. 如图，在中，点在边上，连接，，，，点是边上的动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，求解，，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点是边上的动点， ∴当时，最短， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先去括号，计算除法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：在中，， ， 又，， ． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算出的值，再代入代数式，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 18. 如图，在中，，，点是外一点，连接、，，．是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 先根据勾股定理求得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 【详解】略 19. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数求解出a，再求出的值，进而即可得解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根为3． 20. 据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少？ 【答案】其起跳时的速度应为米/秒 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，将，代入，得，求出的值即可，理解题意，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：将，代入，得， 即， 由题意，得， ， ∴其起跳时的速度应为米/秒． 21. 如图，是正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）的一条线段，点、均为格点，画，使得点在格点上，且． 【答案】 所作如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；因此此题可根据题意及勾股定理进行作图即可． 【详解】略 22. 如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，三角形中线的性质，可证明，得到，再根据题意可得是中线，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分的面积， ∴是中线， ∴， ∴， 答：水渠的准确长度为． 23. 课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． ， ， ． 【小问2详解】 解： ． ， ， ， ． 24. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 25. 现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． （1）原长方形纸片的长为 ，宽为 ； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用以及二次根式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，结合面积为，即可计算正方形纸片B的边长，进一步可得答案． （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，正方形纸片A的边长为； 正方形纸片B的边长为， ∴， 原长方形纸片的长为，宽为． 【小问2详解】 解：∵长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 【小问3详解】 略 26. 【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到勾股定理：． 【问题探究】 （1）如图2，在四边形中，点是边上一点，连接． ①若，借助图中几何图形的面积关系验证勾股定理； ②若，求的长； 【问题解决】 （2）如图3，是某公园的一块空地，现准备对该区域进行绿化改造，通过测量得到．已知于点，绿化改造的价格为50元，求对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用． 【答案】 （1）①证明：∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②； （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的证明以及应用，全等三角形的性质，化为最简二次根式． （1）①证明，，，，，结合，进一步可得结论． ②求解，，，可得． （2）由，可得，可得：，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：（1）①略 ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用为：（元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第一次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 0 2. 下列各数中，能与5，12组成一组勾股数的是（ ） A. 15 B. 13 C. 12 D. 8 3. 的算术平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 无法计算 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 0和负数都没有平方根 B. 正数的平方根是正数 C. 负数的立方根是负数 D. 立方根等于本身的数只有0 7. 如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿石柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则石柱上的雕龙长度至少为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米 8. 如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 108 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 10. 如图，一棵大树在离地面3米（即米）处断裂，大树顶部落在离大树底部点米的处（即米），已知，大树折断部分的长度是_____米． 11. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是______ 12. 如图，最大正方形和最小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为_____． 13. 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是于点，且，以点为圆心，为半径在点右侧画弧交数轴于点，则点表示的数是_____． 14. 如图，在中，点在边上，连接，，，，点是边上的动点，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图，在中，，，，求的长． 17. 已知，求的值． 18. 如图，在中，，，点是外一点，连接、，，．是直角三角形吗？请说明理由． 19. 一个正数的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 20. 据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少？ 21. 如图，是正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）的一条线段，点、均为格点，画，使得点在格点上，且． 22. 如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 23. 课堂上，数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 24. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 25. 现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片． （1）原长方形纸片的长为 ，宽为 ； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 26. 【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得到勾股定理：． 【问题探究】 （1）如图2，在四边形中，点是边上一点，连接． ①若，借助图中几何图形的面积关系验证勾股定理； ②若，求的长； 【问题解决】 （2）如图3，是某公园的一块空地，现准备对该区域进行绿化改造，通过测量得到．已知于点，绿化改造的价格为50元，求对这块空地（即）进行绿化改造所需的总费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $