精品解析：贵州省铜仁市碧江区贵州省铜仁第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

铜仁市第一中学2025-2026学年高二上学期9月数学测试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 3. 已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值. 【详解】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 4. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据正方体易知，利用线面垂直的判断、性质定理可得，又，故与不垂直；对B：若是交点，连接，则所成角，即为所成角，余弦定理求夹角余弦值，进而求向量在向量上的投影向量；对C：令放在桌面上的顶点为，根据正方体的结构特征，要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大，并确定最大截面的形状，求其面积即可；对D：通过直观想象，有第一层小球为个，第二层小球为，且奇数层均为个，偶数层均为，结合上下两层相邻5球的球心构成几何体为正四棱锥并求高，再确定层数，最后求小球个数. 【详解】对A：由正方体性质知：，， 且、面， 所以面，又面，则， 由，故与不垂直，故A错误； 对B：由题意且，若是交点，连接， 所以， 故为平行四边形，则，， 所以所成角，即为所成角， 由题设，易知， 在中， 即夹角为，所以夹角为， 故向量在向量上的投影向量为： ，故B错误； 对C：令放在桌面上的顶点为， 若桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等， 此时要使容器内水的面积最大，即垂直于的平面截正方体的截面积最大， 根据正方体的对称性，仅当截面过中点时截面积最大， 此时，截面是边长为的正六边形， 故最大面积为，故C正确； 对D：由题意，第一层小球为个，第二层小球为， 且奇数层均为个，偶数层均为， 而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为， 假设共有n层小球，则总高度为，且为正整数， 令，则，而，故小球总共有10层， 由上，相邻的两层小球共有个， 所以正方体一共可以放个小球，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：D选项中，注意分析各层小球最多可放入的个数，结合两层相邻的5个球的球心所成几何体的高，结合正方体棱长求总层数为关键. 5. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】求出点E关于直线以及y轴的对称点的坐标，即可确定当周长最小时的E，F的位置，求出直线的方程，联立即可得E点坐标，令，即可得F点坐标，即得答案. 【详解】设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， C关于y轴的对称点为， 则的周长为， 当点在同一条直线上时，，即的周长最小； 此时的斜率为，故的方程为， 联立，解得，即， 对于，令，则，即， 故选：C 6. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，， 则 ， 故选：D 7. 已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为，， 所以 ，， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为， 故选：B. 8. 如图，在直三棱柱中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系建立空间直角坐标系，结合空间向量的数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意，直线两两垂直，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系； 由，，得，，，， 则，， 所以， 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 10. 已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为钝角 C. 边上的中线所在的直线方程为 D. 边所在的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对； 对于C选项，线段的中点为，则， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对； 对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对. 故选：BCD. 11. 在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在，使得 D. 存在，使得平面 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直及平行计算判断A，B，C，求出法向量法结合位置关系求解判断D. 【详解】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 设底面边长为2， 则， 所以，所以， A. 当时，，，，所以，故A正确； B. 当时，，，，所以不成立，故B错误； C.，，故C错误； D. 因为，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 使得平面，所以，所以，，符合，故D正确； 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，，直线经过线段的中点，且垂直于线段，则直线的斜率为_________；直线的方程为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据两点斜率公式求得；再求出中点坐标，利用两直线垂直，斜率乘积为，求得，最后再写成点斜式方程，化简成一般式即可. 【详解】线段的中点坐标为，即，, 直线垂直于线段，故，故， 所以直线的方程为，化简得. 故答案为：，. 14. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面， 以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 且底面ABCD边长为2，是等边三角形，则， ，则，，则， ，设平面的法向量为， 则，解得，取，则， ，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 【答案】（1），，，， （2） 【解析】 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标； (2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解. 【小问1详解】 由题可知，，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，，， 则， 则. 16. 求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. （1）经过点，且与x轴垂直； （2）斜率为－4，在y轴上的截距为7； （3）经过，两点. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件直接写出直线方程即可. （2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式. （3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式. 【小问1详解】 因为直线经过点，且与x轴垂直， 则直线方程为，即. 【小问2详解】 由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7， 由直线斜截式方程，得，化成一般式为. 【小问3详解】 由题直线经过，两点， 由直线两点式方程得，整理得. 17. （1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标； （2）已知，，，求点的坐标使得； （3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且. 【答案】（1）；（2）；（3）①21，②，③， 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理，建立等量关系，整理方程，可得答案； （2）设出未知点的坐标，利用向量的坐标运算，建立方程，可得答案； （3）根据向量数量积的坐标运算，结合夹角的计算公式，利用垂直向量的数量积，建立方程，可得答案. 【详解】（1）∵与共线，故可设，由得：， 故，∴； （2）设，则，，， ∵， ∴， ∴点坐标为； （3）①， ②∵，，设向量与的夹角为， ∴， ∴与夹角的余弦值为， ③取轴上的单位向量，，依题意， 即，故， 解得，. 18. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1） 连接BD交AC于O，连接ON． 因为，，所以根据相似的性质可得． 因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面， 所以，则，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据相似以及线面平行的性质即可求解， （2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF． 因为△MAD为等边三角形，所以不妨设， 则，． 因为平面平面ABCD，平面平面，平面, 所以平面ABCD，平面ABCD,所以，． 又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以， 而，所以，又，平面MEF, 则平面MEF，平面MEF得， 所以∠MFE是二面角的平面角，即． 设，则，得． 过N作交AD于H，连接CH，由于平面ABCD，所以平面ABCD， 则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即． ，，． 因为，所以， 则． 因为，所以． 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问，根据线面角、二面角定义，应用几何法找到对应平面角，进而找到两角正切值相关边的关系并确定范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点. （1）证明：平面平面； （2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 由题知，， 因为平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以， 又是中点， 所以，又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点坐标，根据和垂直以及在上，即可得到点坐标，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根据平方关系求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知，以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系如图所示， 过作，因为， 所以， 则，设， 则，即， 又，即， 所以， 所以，即， 则， 设平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 则，取，可得， 又，可得， 取，可得， 令平面与平面的夹角为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市第一中学2025-2026学年高二上学期9月数学测试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 5. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）． A. B. 1 C. D. 2 8. 如图，在直三棱柱中，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 平面平面 10. 已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的倾斜角为钝角 C. 边上的中线所在的直线方程为 D. 边所在的直线方程为 11. 在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在，使得 D. 存在，使得平面 三、填空题（本大题共3小题） 12. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 13. 已知，，直线经过线段的中点，且垂直于线段，则直线的斜率为_________；直线的方程为_________. 14. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 16. 求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. （1）经过点，且与x轴垂直； （2）斜率为－4，在y轴上的截距为7； （3）经过，两点. 17. （1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标； （2）已知，，，求点的坐标使得； （3）已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且. 18. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点. （1）证明：平面平面； （2）若异面直线和垂直，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $