精品解析：湖南省邵阳市邵东市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年九年级（上）第一次学情监测 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数叫做反比例函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故不符合题意； B、不是反比例函数，故不符合题意； C、是反比例函数，故符合题意； D、不是反比例函数，故不符合题意； 故选C． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A. k<2 B. k>2 C. k>1 D. k<1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 3. 方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．在方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即． 故选：C． 5. 如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数与正比例函数的图像都是中心对称图形，则它们的交点关于原点对称． 【详解】解：∵双曲线与直线相交于、两点， ∴点与关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的中心对称性，熟练掌握关于原点中心对称的点的横纵坐标分别互为相反数是解答本题的关键． 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项B正确，选项C错误，选项D错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误； 故选B． 7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 8. 已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握菱形的两个面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，或菱形的面积等于底乘以高．根据菱形的面积公式以及一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设菱形的两条对角线长度为， ∴ ∵菱形的两条对角线长是方程的两个根， ∴ ∴． 故选：A． 9. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用 ，，解答即可. 【详解】解：.∵是方程的两根， ∴，=7， ∴ ∴ =2+7- + = =2+7 =9. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键. 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】让未知数的指数为-1，系数小于0列式求值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴m2-2=-1， 解得m=1或-1， ∵图象在第二、四象限， ∴2m-1＜0， 解得m＜0.5， ∴m=-1， 故答案为-1． 【点睛】考查反比例函数的定义及性质：一般形式为y＝（k≠0）或y=kx-1（k≠0）；图象在二、四象限，比例系数小于0． 12. 若是方程的一个根，则的值为_______ 【答案】2031 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题时要熟悉一元二次方程根的意义．依据题意，由方程根满足方程进而将n代入，可得，再代入所求式子，即可求出结果． 【详解】解：∵n是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 方程的根为________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 开平方得：， 解得：，． 故答案为：，． 14. 若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、、的大小关系． 【详解】解：反比例函数为常数），， 该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小， 点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，会用反比例函数的性质判断函数值的大小关系，注意第三象限内点的纵坐标始终小于第一象限内点的纵坐标． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 16. 若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 17. 如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是m和n，设点P在图象m上，垂直于x轴于点C，交图象n于点A，垂直于y轴于D点，交图象n于点B，则四边形的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．根据函数解析式，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意，， 所以，四边形的面积． 故答案为：4． 18. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数解析式，即可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：（1）把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得； （2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， 关于x的不等式的解集为或， 故答案为：①2；②或． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19、20题各6分,21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解决本题的关键． （1）根据十字相乘法进行求解即可； （2）先移项，再提公因式进行求解即可． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得． 20. 已知反比例函数的图象经过点． （1）试确定m的值； （2）直接回答点，是否在这个函数的图象上． 【答案】（1） （2）D点在函数图象上，E点不在函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图象上，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将坐标点的横坐标代入解析式求值，判断与点的纵坐标是否相等，即可判定点是否在函数图象上． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴在这个函数的图象上，不在这个函数的图象上． 21. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出，然后求解即可； （2）利用（1）的结论，结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，绝对值的性质等知识，掌握一元二次方程的根的判别式时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式以及反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，即可得出答案； （2）然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数， ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：把代入得： ， 答：当时，的值为． 23. 如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点． （1）求反比例函数的表达式及 C 点坐标． （2）求三角形的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为；C点坐标为 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把A点坐标代入一次函数可求得a的值，再代入反比例函数解析式可求得k的值，联立两函数解析式可求得C点的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 ∵A点在一次函数图象上， ∴， ∴A点坐标为， 又∵A点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 联立两函数解析式可得， 解得，或， ∴C点坐标为； 【小问2详解】 设直线与x轴的交点为B， 对于，令，则， ∴点B的坐标为， ∴ ． 24. 在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含，的代数式表示的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 线段的长是一元二次方程的一个正根，理由如下： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，由即可得到答案； （2）设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【小问1详解】 解：，，， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了勾股定理、一元二次方程的根等知识，理解题意，正确计算是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______；（用含的代数式表示） （2）若，求点的坐标； （3）若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得直线的解析式，即可求得B点的坐标特征； （2）延长，交x轴于M，作轴于N，作于F，通过证得，即可得到，由点，得到E，； （3）表示出C、E的坐标，根据反比例函数系数列方程求得t的值，进一步即可求得k的值． 【小问1详解】 解：∵点， 设直线表达式为：， 则， ∴， ∴直线为， ∵点B是线段上的一个动点，点B的横坐标为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长，交x轴于M， ∵轴， ∴轴， 作轴于N，作于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵的面积为3， ∴，即， ∴， ∴ ， 而， ∵点E、C在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，， 解得或（舍） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求正比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确表示出E、C的坐标是解题的关键． 26. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以， 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？ 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵，， ， ， ， ． （3）当时，的面积最大，且最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 当时，，因此有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ， ， 当时，的面积最大，且最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级（上）第一次学情监测 数学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系式中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A. k<2 B. k>2 C. k>1 D. k<1 3. 方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 4. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A. B. C. D. 7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的两条对角线长是方程的两个根，则菱形的面积为（ ） A. 6 B. C. 10 D. 9. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是________． 12. 若是方程的一个根，则的值为_______ 13. 方程的根为________ 14. 若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 16. 若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是______． 17. 如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是m和n，设点P在图象m上，垂直于x轴于点C，交图象n于点A，垂直于y轴于D点，交图象n于点B，则四边形的面积为________． 18. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 三、解答题（本大题共8个小题，其中19、20题各6分,21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，共66分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知反比例函数的图象经过点． （1）试确定m的值； （2）直接回答点，是否在这个函数的图象上． 21. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求当时，的值． 23. 如图，已知一次函数与反比例函数 的图象相交于点C 与点． （1）求反比例函数的表达式及 C 点坐标． （2）求三角形的面积． 24. 在欧几里得的几何原本中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含，的代数式表示的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程的一个正根？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． （1）点的坐标为______；（用含的代数式表示） （2）若，求点的坐标； （3）若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 26. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以， 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $