精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年重庆一中初2026届初三上期阶段性消化作业 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题： 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念、特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握无理数的概念．先化简各数，根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】解：A、是有限的小数，不是无理数，故A不符合题意； B、是整数，不是无理数，故B不符合题意； C、是无理数，故C符合题意； D、为整数，不是无理数，故D不符合题意； 故选：C． 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，正确理解二次函数的定义是解题的关． 【详解】解：、，等式右边含分式，不是二次函数，原选项不符合题意； 、，是二次函数，原选项符合题意； 、，不是二次函数，原选项不符合题意； 、在中，因为没有限定，所以不一定是二次函数，原选项不符合题意； 故选：． 3. 下列字母中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，A、B、C选项的图形都是轴对称图形，D选项图形不是轴对称图形， 故选：D． 4. 如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形，相似图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为与是以点为位似中心的位似图形，所以，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵与位似，且以点为位似中心， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的周长比为． 故选：A． 5. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 6. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通过估算无理数的大小的方法解答即可，解题的关键在于掌握二次根式的运算方法以及估算无理数大小的方法． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 7. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设每天的平均增长率为x，根据“第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人”，可得出方程． 【详解】解：设每天的平均增长率为x，那么依题意得， 故选：D． 8. 若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的解析式． 先根据和求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， 则， ， 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为， ， 故抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 故抛物线不经过，故B错误； 抛物线对称轴为直线， 在时，在顶点处取最小值，为，故C正确； 当时，随增大而增大，故D错误， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，平分．过点作于点，连接，过点作的角平分线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交的延长线于，可证，所以，由已知条件可证，则，因为平分，则由等腰三角形三线合一证明，结合平分，可证明四边形为菱形，通过角度的代换可得，则度数都可求，由直角三角形性质可知，则可证，题目可解． 【详解】解：延长交的延长线于， ∵在平行四边形中，点为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识并能综合灵活应用是解决问题的关键． 10. 已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，读懂题意，理解题中的操作方式是解题的关键，根据题中提供的操作方式对①计算四个整式第一次操作后的结果并求和；②分析是否存在使四个结果之和为0；③验证每次操作后的结果是否满足递推关系． 【详解】解：①：由题可得：，，，，四个整式为，0，3，7， ∴第一次操作结果： 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， ∴， ∴①正确； ②：∵四个整式为，4，3，， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 则第一次操作结果之和为：， 当时，和为， 对于，， ∴方程无实根； 当时，和为， 对于，解得，但矛盾， ∴方程无解， ∴②错误； ③：∵， ∴四个整式为，，，， ∵二次函数的对称轴在轴右侧， ∴，即， ∴第一次操作结果为，，，； 第二次操作结果为，，，； 以此类推，第次结果为，，，， ∴③正确； 结论：①③正确， 故选：C． 二、填空题 11. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】八（或8） 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 12. 现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用树状图或列表格求概率，掌握相关知识是解决问题的关键.利用树状图列出所有结果，然后根据概率公式求出概率即可. 【详解】解：设摸到图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三种邮票的事件分别为, 共有6种等可能性的结果，其中摸到图案为磁器口的有4种，所以摸到图案为磁器口的概率为. 故答案为：. 13. 如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．：作交轴于，由该菱形的周长为和面积为，可求菱形边长和高，利用勾股定理可求，则B点坐标可求，进而解析式可求． 【详解】解：作交轴于， ∵菱形的周长为， ∴， ∵菱形面积为， ∴， ， ∴， ， ∴，代入反比例函数， ． 故答案为：． 14. 已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是___________．（用“＜”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，利用函数的对称性和增减性解决即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当和时函数值相同， 故抛物线过， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在边长为的正方形中，点E是的中点，连接，，过点E作交延长线于点G，连接．点F为对角线上一点，连接，点K为延长线上一点，连接交于点H，且满足．若，则___________；____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，利用勾股定理求出的长度进而得到的长度，再用线段的等量关系求出的长度，最后再用勾股定理求出的长度即可；过点F作，分别交，于点M，P，过点H作交于点N，过点H作交于点Q，设，，得到，证明得到，再证明得到，，此时可推出，，，利用，证明，随即证明，得出的方程并求解，解得x的值后分别代入之前设未知数的线段，利用勾股定理求出和的值，根据求出的值，最后可求得的值． 【详解】解：∵四边形是以边长为的正方形，E为的中点， ∴，， 又∵，， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 如图，过点F作，分别交，于点M，P，过点H作交于点N，过点H作交于点Q， ∵， ∴设，， ∵为正方形的对角线， ∴，即为等腰直角三角形， ∴设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，则，， ∴，即， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理． 16. 一个四位正整数各个数位数字均不为0，若除以千位数字的余数为3，且满足千位数字与百位数字之差等于十位数字，则称这个正整数为“光彩数”．例如：四位数，因为，且，所以是“光彩数”．按照这个规定，最大的“光彩数”是_________；一个“光彩数”，取其千位数字与百位数字组成两位数，取其十位数字与个位数字组成两位数，若与的差除以的余数为8．且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，，根据题意可得需满足余数为3，因为要求最大的“光彩数”，故取开始推导即可；因为与的差除以的余数为8，可推出需满足余数为8，故，根据题意还需满足是整数，故从的最大数和最小数分别推导，求出满足题意的最大和最小“光彩数”，求其差值即可． 【详解】解：由题意，，代入得： ， ， ∵除以千位数字的余数为3， ， 故需满足余数为3， ∵求最大的“光彩数”， ∴从最大数字开始试， 当时， ∵，且各数字皆为小于9的正整数， ∴b最大取8，此时， 此时，， 故需满足余数为3， ∴， ∴最大的“光彩数”是； 由题意 且， ∴， ， ， ， ∵与的差除以的余数为8， ∵ ∴需满足余数为8 故， ∵除以千位数字的余数为3， ， 故需满足余数为3， 先从最大数开始试， 当时， 满足余数为3的要求， 此时， ∵是整数， 即是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，是整数， ∴满足上述条件的最大取5，此时， ∴满足上述条件的最大“光彩数”是， 再对从最小数开始试， 当时，满足，且是整数， 即是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 当时，不是整数， 故当时，没有满足题意的“光彩数”， 当时，满足，且要取满足条件的最小“光彩数”， ∴取, 此时是整数且的余数为3，均满足题目要求， ∴满足上述条件的最小“光彩数”是， ∴最大值与最小值的差为． 故答案为：，． 三、解答题． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握算理是解决问题的关键．先分别解出每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分即不等式组的解集，从中找出整数解求和即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为， 则整数解有， 则所有整数解的和为． 18. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：四边形是矩形 ，， ， 平分， ① ， ， ， ② ， ， ， ， ， 在和中， ． ， 四边形是④． ， 四边形是菱形． 【答案】（1） （2），平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）通过证明，得，又因为，所以可证四边形是平行四边形，因为平分，，可证得，则， 所以可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：画法：以E为圆心任意长为半径画弧，交于，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于一点，连接此点和点E，交于点，交于点，连接，则． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图作已知直线的垂线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，实数的混合运算，掌握算理是解决问题的关键．利用整式的混合运算，分式的混合运算，实数的混合运算的运算法则分别进行计算，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入得：原式． 20. 列方程解应用题： 国庆节期间，“魅力重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小依和小钟相约在无人机最佳观赏地南滨路摆摊卖气球．已知售卖3个水母气球和5个爱心气球共105元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小依和小钟两人计划国庆节当天13点到达南滨路开始售卖，23点前结束，已知小依平均每小时售卖的数量比小钟平均每小时售卖数量的1.5倍少3个，若两人各卖144个气球，小依比小钟少用2小时，求小依、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 【答案】（1）水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元 （2）小依、小钟两个人平均每小时各卖出24个、18个气球 【解析】 【分析】考查二元一次方程组和分式方程的应用．解题思想是通过设未知数，根据题目中的等量关系建立方程（组）求解．解题关键是准确找出等量关系，如总价 = 单价×数量、时间 = 总量÷效率．易错点：解分式方程时忘记检验；设未知数或列方程时等量关系找错． （1）已知两种气球不同数量的售卖总价，设水母气球单价为x元，爱心气球单价为y元．根据“3个水母气球和5个爱心气球共105元”“7个水母气球比8个爱心气球多9元”，列出二元一次方程组，再用消元法求解． （2）设小钟平均每小时卖m个，小依每小时卖个．根据“两人各卖144个气球，小依比小钟少用2小时”，结合时间 = 总量÷效率，列出分式方程，求解后检验分母不为0，又“计划国庆节当天13点到达南滨路开始售卖，23点前结束”售卖时间需小于10小时，检验两人的时间，选择符合题意的解． 【小问1详解】 设水母气球的单价为x元，爱心气球的单价为y元． 根据题意，得， 解得． 所以，水母气球的单价为15元，爱心气球的单价为12元． 【小问2详解】 设小钟平均每小时卖出m个气球，则小依平均每小时卖出个气球． 根据题意，得 方程两边同时乘以， ，解得或． 检验：当或时，， 或为原分式方程的解， 又由题意得，售卖时间需小于10小时，当时，小钟用时为小时，超过10小时，应舍去；当时，小钟用时为小时，小依用时为6小时，符合题意． 当时，， 所以，小依、小钟两个人平均每小时各卖出24个、18个气球． 21. 如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2） 如图所示，即为所求； 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）当点P在线段上，，当点P在线段上，，据此求出关于x的函数关系式即可；由勾股定理可得，则，过点D作于E，解直角三角形可得的长，则根据可得值，再求出矩形的面积即可求出关于x的函数关系式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再求出对应的函数性质即可； （3）求出两函数的交点横坐标，再结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当点P在线段上时，此时，， ∴； 当点P在线段上时，此时，则， ∴； 综上所述，； 如图，过点D作于E， 在中，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：联立得：，即， 解得：或（舍去）； 联立得：，即， 解得：或（舍去）； ∴由函数图象可得，当时，x的取值范围为． 22. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． （1）求的长度（结果保留整数）； （2）小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 【解析】 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【小问1详解】 解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交x轴，y轴于点C、点D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，点是反比例函数在第一象限图象上的一点且位于直线下方，的面积为45，在直线上有一点，在轴上有一动点，当最小时，求出的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，则在双曲线上是否存在点，直线交轴于点，使．若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M为或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，求反比例函数图象与一次函数图象交点坐标，求一次函数图象与坐标轴交点坐标，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）将A、B坐标代入反比例函数解析式中求出B点坐标，再由待定系数法求直线表达式即可； （2）根据反比例函数解析式设出点，然后利用割补法求出的面积，利用的面积为45，建立方程可求出，再利用的面积为45得出，从而根据角平分线的判定定理得出平分，再求出直线的函数表达式，进而求出，利用，可得，进而，最后得出最小值为点F到直线的距离即为，再根据角平分线的性质定理得； （3）由（2）得平分，点可将转化为，从而得出，利用三角形相似可求出N点坐标，求出直线解析式，最后求出与反比例函数图象交点M的坐标. 【小问1详解】 解：将点代入得，解得， ∴反比例函数为 将代入得，解得 ∴B点坐标为 设直线的函数表达式为 将，代入得 解得 ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过E点作，轴，过A点作交延长线于I， ∵点是反比例函数在第一象限图象上的一点且位于直线下方， ∴设点 ∵直线的函数表达式为 ∴点C坐标为，点D坐标为 又∵ ∴，，，，， ∴ ∴ 即解得或（舍去） ∴点，即， ∵ ∴ ∴ ∴平分 设直线的函数表达式为，将点，代入得 解得 ∴的函数表达式为 将代入得解得 ∴ 过F点作轴，则，交y轴于P点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小值为点F到直线的距离即为 ∵平分 ∴ 故最小值为； 【小问3详解】 解：存在，点M为或，理由如下： 如图所示，直线与相交于点R 由（2）得平分 ∴ ∵ ∴平分 ∴ ∵ ∴ 即 ∴此时，即 设直线表达式为，将，代入得 解得 ∴直线表达式为 ∴点K为 ∵， ∴ 又 ∴ ∴即 解得 ∴点N为 设直线解析式为将点，代入得 解得 ∴直线解析式为 又∵反比例函数为 令解得， 当时， ∴点M为 当时， ∴点M为 综上：点M为或. 24. 在中，，，点为上一点，点为上一点． （1）如图1，若点为中点，，，，求的面积； （2）如图2，过点作交于点且，连接，，连接并延长交于点，交于点，若点是的中点，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以，为边构造平行四边形．若点在直线上运动，点为中点，，，在直线上有一动点，连接，将沿翻折到平行四边形所在平面内，得．当取最大值时，将点绕点逆时针旋转90°得点，连接．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）解：； 证明：过点作，过点作交延长线于点，在上取点，使，连接， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，先得出，再利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出，，再利用三角函数求出，可得，再利用等腰三角形的性质得出，，再求出，即可求解； （2）过点作，过点作交延长线于点，在上取点，使，连接，设，求出，，，则，再证，可得，利用中位线得出，，则，得，证明，得，即可证明； （3）先求出，在上取一点，使，则，又由，得，则，则，当且仅当、、三点共线时，取得最大值，此时，过点作于点，过点作于点，求出，，利用，得出，设，则，设与交于点，过点作于点，证明，则，求出，则，过点作，使，作直线，连接，可知点的轨迹为定直线，当垂直于定直线时取最小值，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵，点为中点， ∴, ∵将沿翻折到平行四边形所在平面内，得， ∴， 如图，在上取一点，使， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时，取得最大值， 此时如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由翻折得 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 设与交于点，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在等腰直角中， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 过点作，使，作直线，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将点绕点逆时针旋转90°得点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ， ∴， ， ∴直线是定直线， ∴点的轨迹为定直线， ∴当垂直于定直线时取最小值，此时如图， ∵， ∴点、、共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握这些判定与性质，并能根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2026届初三上期阶段性消化作业 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卷一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题： 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列字母中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 9. 如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，平分．过点作于点，连接，过点作的角平分线交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是__________． 12. 现有图案分别为重庆磁器口，洪崖洞，李子坝三个不同旅游景点的邮票，除正面图案外完全相同，现将三枚邮票背面朝上放置，随机抽取一枚邮票不放回，从剩下的邮票中再次抽取一枚，则抽中的两枚邮票中其中一枚邮票的图案为磁器口的概率是___________． 13. 如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为__________． 14. 已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是___________．（用“＜”表示） 15. 如图，在边长为的正方形中，点E是的中点，连接，，过点E作交延长线于点G，连接．点F为对角线上一点，连接，点K为延长线上一点，连接交于点H，且满足．若，则___________；____________． 16. 一个四位正整数各个数位数字均不为0，若除以千位数字的余数为3，且满足千位数字与百位数字之差等于十位数字，则称这个正整数为“光彩数”．例如：四位数，因为，且，所以是“光彩数”．按照这个规定，最大的“光彩数”是_________；一个“光彩数”，取其千位数字与百位数字组成两位数，取其十位数字与个位数字组成两位数，若与的差除以的余数为8．且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题． 17. 求不等式组：的所有整数解的和． 18. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：四边形是矩形 ，， ， 平分， ① ， ， ， ② ， ， ， ， ， 在和中， ． ， 四边形是④． ， 四边形是菱形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 列方程解应用题： 国庆节期间，“魅力重庆”无人机灯光秀吸引了大批游客前来观看，小依和小钟相约在无人机最佳观赏地南滨路摆摊卖气球．已知售卖3个水母气球和5个爱心气球共105元，售卖7个水母气球比8个爱心气球多9元． （1）求水母气球和爱心气球的单价分别是多少元？ （2）小依和小钟两人计划国庆节当天13点到达南滨路开始售卖，23点前结束，已知小依平均每小时售卖的数量比小钟平均每小时售卖数量的1.5倍少3个，若两人各卖144个气球，小依比小钟少用2小时，求小依、小钟两个人平均每小时各卖出多少个气球？ 21. 如图，在矩形ABCD中，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→B→C的方向运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发沿射线CA方向运动，当点P运动到点C时两点同时停止运动，设运动时间为x秒（），记的面积为，矩形ABCD与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中，画出函数，图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． （1）求的长度（结果保留整数）； （2）小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交x轴，y轴于点C、点D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，点是反比例函数在第一象限图象上的一点且位于直线下方，的面积为45，在直线上有一点，在轴上有一动点，当最小时，求出的最小值； （3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长交轴于点，则在双曲线上是否存在点，直线交轴于点，使．若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在中，，，点为上一点，点为上一点． （1）如图1，若点为中点，，，，求的面积； （2）如图2，过点作交于点且，连接，，连接并延长交于点，交于点，若点是的中点，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以，为边构造平行四边形．若点在直线上运动，点为中点，，，在直线上有一动点，连接，将沿翻折到平行四边形所在平面内，得．当取最大值时，将点绕点逆时针旋转90°得点，连接．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $