精品解析：福建省莆田第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

福建省莆田第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷 命题者：严丽香 审核者：林志鹏 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 2. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】直线的方向向量为，直线的斜率， 直线的方程为，即. 故选：A. 3. 已知，，若//，则λ与μ的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理可设，列方程求. 【详解】因为//，， 故可设， 又，， 所以， 所以或， 故选：A. 4. 若圆与圆有3条公切线，则正数（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 3或3 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得. 【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， ， ∴，又， ∴. 故选：B. 5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图： 以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 7. 同学们都知道平面内直线方程的一般式为，我们可以这样理解：若直线过定点，向量为直线的法向量，设直线上任意一点，则，得直线的方程为，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面过定点，向量为平面的法向量，则平面的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据题意类比即可得结果. 【详解】由题意得平面的方程为，即， 故选：C. 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，， ，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解． 【详解】 圆关于直线对称的曲线 N点关于直线的对称点在圆上， 则有，故 当M，P，三点共线时，距离和最小． 从而转化成求M，两点距离的最小值． 而， 故选：D 【点睛】本题主要考查两圆上点的距离最值问题．由于一个动点在直线上，两圆在直线的一侧，因此把其中一圆关于直线对称，由对称圆来求解最小值． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可． 【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k， 求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或； 综上知，所求的直线方程为、，或． 故选：ABC． 【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题． 10. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线过点， 圆，即①， 圆心为，半径为， 由于，所以在圆内.， 所以，此时，所以A选项正确. 若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误. 设，则，此时三角形是等腰直角三角形， 到直线的距离为，即， 解得或，所以C选项正确. 对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，， 所以的垂直平分线为，则②， 圆的方程为， 整理得③， 直线是圆和圆的交线， 由①-③并整理得， 将代入上式得，④， 由②④解得， 所以直线即直线的斜率为，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可. 【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为， 故这个球的表面积是. 故答案为： 13. 若实数满足，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】条件方程化为，即为圆心为，半径为1的圆，为与连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解 【详解】由题得，，即为圆心为，半径为1的圆， 为与连线的斜率，记为k，如图所示， ∵，∴斜率存在，设过的直线为， 则当直线与圆相切时，有，解得， 由图易得k在直线与圆的两切线斜率之间，故. 故答案为： 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条不同直线：，：． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，列出方程能求出； （2）由，求出，再由两平行线间的距离求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得； 【小问2详解】 当时，有，解得， ∴：，：，即， ∴两直线与的距离为． 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明：菱形中，则为等边三角形， 又O是AC的中点，则， 又平面ABC⊥平面，平面平面，平面， 平面，又面，则面面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理证结论； （2）构建空间直角坐标系，根据面面角的余弦值求，再由柱体体积公式求体积. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，又，O是AC的中点，则， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，设，则，，， 所以，，， 设平面法向量， 则， 令，，得， 设平面法向量，则， 令，，可得， 所以，由，解得， ，， 三棱柱的体积为. 18. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）证明：由直线方程为得， 解得，所以直线过定点， 由，得点在圆内， 所以无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）设点，根据，列出方程，即可求得圆的方程求圆的方程； （2）求出直线过定点，根据定点在圆内可得答案； （3）设，由两点间距离公式计算，再由辅助角公式计算可得答案. 【小问1详解】 设，由，且， 可得， 整理得，所以圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ， 其中， 因为， 所以当时，有最小值为， 当时，有最大值为. 【点睛】 关键点点睛：第三问解题的关键点是设，再由两点间距离公式计算. 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， . 【小问3详解】 设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， . 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省莆田第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷 命题者：严丽香 审核者：林志鹏 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点，且方向向量为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若//，则λ与μ的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若圆与圆有3条公切线，则正数（ ） A. 3 B. 3 C. 5 D. 3或3 5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （    ）． A. B. C. D. 6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 同学们都知道平面内直线方程的一般式为，我们可以这样理解：若直线过定点，向量为直线的法向量，设直线上任意一点，则，得直线的方程为，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面过定点，向量为平面的法向量，则平面的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 若，则或 D. 若A，B，C，O四点共圆，则 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是______． 13. 若实数满足，则的取值范围为_______. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条不同直线：，：． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离． 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 18. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点； （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $