精品解析：江苏省泰州市兴化市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋学期学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，点在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则弦的长是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 5. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 抛物线的对称轴为__________． 8. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 9. 二次函数的图像经过点，则的值为 _____． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 11. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 12. 若关于的函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是__________． 13. 如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 16. 在中，，，，以为边作等腰三角形，使得，，连接．则的长为_____． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． （1）由图象可知，不等式的解集是_____； （2）在什么范围内，随增大而减小？ 19. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20. 某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 21. 如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 22. 如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 23. 如图，AB是⊙O的弦，点C是在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P. (1)判断△CBP的形状，并说明理由； (2)若⊙O的半径为6，AP=,求BC的长. 24. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 25. 如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积（结果保留）； （3）如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标，过点作直线轴于点． （1）求的值； （2）直线交抛物线于点，点位于直线上方的抛物线上，求面积的最大值； （3）如图2，过点的直线与抛物线交于点，（点在点左边），点为直线上一点，直线交抛物线于点，若点为线段的中点，试问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期学生阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，点在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键． 由圆周角定理可得从而可得答案． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴ 故选B． 2. 如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长是， 故选：C． 3. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 4. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则弦的长是（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识﹒根据得到，，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵于点， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∴． 故选：A． 5. 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 6. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 第二部分非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 抛物线的对称轴为__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．由的对称轴为，即可得出答案． 【详解】解：由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 8. 已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 9. 二次函数的图像经过点，则的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接将坐标代入二次函数表达式即可求出的值即可． 【详解】解：将代入得，解得， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像上的点，掌握待定系数法是解本题的关键． 10. 已知二次函数，当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】首先考虑对称轴，根据开口方向及对称轴即可完成． 【详解】二次函数的对称轴为y轴，且开口向上，于是当x<0时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，注意数形结合． 11. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 12. 若关于的函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，“当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴没有交点，”据此即可得到，求得． 【详解】解：∵关于的函数的图象与轴有公共点， ∴， ∴﹒ 故答案为：． 13. 如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 14. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【详解】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 15. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，， ∴当时，二次函数有最小值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围为， 故答案为：． 16. 在中，，，，以为边作等腰三角形，使得，，连接．则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解一元二次方程，过作于，利用，，，求出，作的外接圆，连接，，取中点，连接，，连接交于，当在和处时符合条件，根据图形求出和的长度即可． 【详解】解：过作于， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，，取中点，连接，，连接交于，如图所示， ∵， ∴，， ∵中点， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，半径， 同理可得， ∵， ∴设，则，， ∴， 中，， ∴， 解得， 当时，，不合题意， ∴， ∴， ∵以为边作等腰三角形，使得，， ∴当在处时符合条件，此时； 或当在处时符合条件，此时； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法等知识﹒ （1）用因式分解法即可求解； （2）用配方法即可求解﹒ 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， 配方得， ∴， ∴， ∴﹒ 18. 如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． （1）由图象可知，不等式的解集是_____； （2）在什么范围内，随增大而减小？ 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数图象解答即可求解； （）求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数与不等式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，不等式的解集是或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随增大而减小． 19. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】（1） （2） （3）外 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【小问1详解】 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 20. 某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润是3600元． （1）求1月份到3月份平均每月利润增长的百分率是多少？ （2）若保持增长率不变，该商店4月份的利润是多少？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．可直接套公式：原有量增长率现有量，n表示增长的次数． （1）如果设平均每月增长的百分率是，那么2月份的利润是元，3月份的利润是元，而此时利润是3600元，列出方程求解； （2）该商店4月份的利润是，代入求值即可． 【小问1详解】 解：设平均每月增长的百分率是， 依题意可得：， 解这个方程得：（不合题意，应舍去）． 故这个百分率为． 【小问2详解】 解：该商店4月份的利润是元． 21. 如图，二次函数图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，点C的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 当时，， ， ，， ，，， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，勾股定理及其逆定理，求出二次函数表达式是解题关键． （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将点代入求出的值，即可求解； （2）先求出点坐标，再根据勾股定理及其逆定理得出，即可求解． 【小问1详解】 解：顶点D的坐标为， 设二次函数顶点式， 将点代入得：， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1） ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 23. 如图，AB是⊙O的弦，点C是在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P. (1)判断△CBP的形状，并说明理由； (2)若⊙O的半径为6，AP=,求BC的长. 【答案】 （1）△CBP是等腰三角形，理由： ∵OC⊥OA， ∴∠AOC=90°， ∴∠A+∠APO=90° ∵BC切⊙O于点B, ∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90° ∵OA=OB, ∴∠A=∠OBA, ∴∠APO=∠CBP ∵∠APO=∠CPB, ∴∠CPB=∠CBP, ∴CP=CB △CBP是等腰三角形； （2）8. 【解析】 【详解】【试题分析】（1）等腰三角形，理由：OC⊥OA，根据垂直的定义得AOC=90°，根据三角形内角和定理∠A+∠APO=90°，因为BC切⊙O于点B,根据切线的性质，∠OBC=90°，即∠OBA+∠CBP=90°，因为OA=OB,根据等边对等角，得∠A=∠OBA,等量代换得，∠APO=∠CBP 对等角相等得，∠APO=∠CPB,∠CPB=∠CBP,根据等角对等边得，CP=CB，即△CBP是等腰三角形； （2）OC⊥OA，根据勾股定理得，OP= 设BC=x,则OC=x+2,利用勾股定理得：即，解得x=8，即BC=8. 【试题解析】略 （2）∵OC⊥OA， ∴OP= 设BC=x, ∴OC=x+2, ∵ ∴，∴x=8，∴BC=8. 24. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 25. 如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积（结果保留）； （3）如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的切线， ∴， ∴是的切线； （2） （3）的最小值 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心； （1）连接，证明，结合的切线，得到，即可得到是的切线； （2）由，得到，，，结合，得到，，然后根据图中阴影部分面积计算即可； （3）延长交于，连接，取中点，连接，，由点是的内心，得到，由，得到，根据斜边中线的性质得到，即可得到，当在上时，最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，， 设半径，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴图中阴影部分面积为； 【小问3详解】 解：延长交于，连接，取中点，连接，， ∵直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标，过点作直线轴于点． （1）求的值； （2）直线交抛物线于点，点位于直线上方的抛物线上，求面积的最大值； （3）如图2，过点的直线与抛物线交于点，（点在点左边），点为直线上一点，直线交抛物线于点，若点为线段的中点，试问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 经过定点，理由如下： 设， ∵点为线段的中点， ∴， 设的解析式为，则 ， 则， ∴ 设的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， 当时， ， ∴直线过定点 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、一次函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求出答案即可； （2）∴直线的解析式为，由（1）得到抛物线为，联立求出，过点作轴交于点，设，则，得到，则面积，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）设，，设的解析式为，得到，则得到直线的解析式为，则，当时， ，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标， ∴， 解得 即 【小问2详解】 ∵点，过点作直线轴于点． ∴， 设直线的解析式为，把点坐标，代入得到 ， 解得 ∴直线的解析式为， 由（1）得到抛物线为， 联立得到， 解得或， 则， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， ∴面积， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积取得最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $