重难点09：双变量问题之题型归纳总结 培优固本提能讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点09：双变量问题之题型归纳总结 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、双变量问题之“两点”型 3 题型二、双变量问题之“极值点偏移”型 7 题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 14 题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 18 题型五、双变量问题之“存在/任意”型 24 题型六、双变量问题之“导数”型 28 题型精析・方法突破提能力 37 知识网络・核心根基深扎牢 题型1：双变量问题之“两点”型 证明双变量关系中含：，等。 解题步骤： 步骤1：分析函数单调性（前提） 步骤2：转化函数值关系为自变量关系（核心） 步骤3：结合题干条件推导目标（收尾） 题型2：双变量问题之“极值点偏移”型 已知条件：函数，满足（或为某常数）。 证明双变量与极值点的偏移关系（如“右偏”）；证明双变量积的偏移关系（如）。 解题步骤 步骤1：求函数唯一极值点（基础） 步骤2：构造对称差值函数（核心 1）（或者利用其他方法） 步骤3：分析对称函数的单调性（核心 2） 步骤4：关联的大小（推导） 步骤5：结合原函数单调性证偏移结论（收尾） 题型3：双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 已知条件：题干含双变量的指数 / 对数混合式（如），可整理为 “” 的同构形式；给出双变量范围约束或参数条件（如含参数的同构式）。 问题目标：求双变量相关表达式的最值；求参数的取值范围（如同构式有解时参数的范围或某个整体式子的范围）。 解题步骤 步骤1：识别同构结构，抽象同构函数（基础） 步骤2：分析同构函数的单调性与定义域（核心 1） 步骤3：转化双变量关系为单变量参数（如设）（核心 2） 步骤4：构建目标表达式的单变量函数（如函数）（推导） 步骤5：求单变量函数的最值或参数范围（收尾） 题型4：双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 已知条件：无明确同构结构，多为双变量的等式约束（如、不等式约束（如）或函数关系。 求双变量表达式的最值；求双变量的取值范围。 解题步骤 步骤1：提取双变量约束条件（基础） 步骤2：选择消元 / 主元法降维（核心 1） 步骤3：转化为单变量函数（核心 2） 步骤4：分析单变量函数的定义域与单调性（推导） 步骤5：求单变量函数的最值或范围（收尾） 题型5：双变量问题之“存在/任意”型 已知条件：含 “任意”“存在” 量词（如 “对任意”“存在”）；给出两个函数（或同一函数的双变量关系）及变量区间。 求参数取值范围（范围）；判断命题真假（如 “是否存在”）。 解题步骤 步骤1：明确量词约束与变量区间（基础） 步骤2：分析对应函数的单调性（核心 1） 步骤3：求函数在区间内的最值 / 值域（核心 2） 步骤4：转化量词关系为最值关系（如 “任意→”）（推导） 步骤5：求解最值关系或判断命题（收尾） 题型5：双变量问题之“导数”型 求双变量表达式中含有>k或<k；>k或<k或者该类型的衍生情况。 解题步骤与题型1相同，从单调性方面解决。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、双变量问题之“两点”型 典例探究 【例题1】已知函数．设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据已知条件表示出和，然后将问题进行转化，构造新函数利用函数导数证明即可. 【详解】因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证， 即证， 由于，即证， 不妨设，只需证， 即证， 设，构造函数， 则， 所以函数在单调递增，故， 即， 从而． 举一反三 【1-1】已知函数． (1)讨论在定义域内的单调性； (2)当时，求证：对，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，然后对进行分类讨论，结合导数与函数单调性关系即可求解； （2）当时，在上单调递增，不妨设，构造，利用导数判断函数的单调性进行求证． 【详解】（1）的定义域为．． 当时，由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，恒成立， 故在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上知： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，在上单调递增， 不妨设，则，， 从而等价于，即． 构造， 则， 在上是增函数． 当时，， 即． 所以成立． 【1-2】已知函数．求证：当且时，有 ． 【答案】证明见解析 【分析】求出,并判断在内单调递减,然后以为主元,要证，只需证，利用导数与函数单调性关系，即可证明. 【详解】由题意得，令 ，所以在内单调递减． 不妨设，要证， 只需证，，（以为主元）， 则． 因为单调递减，则, 所以在内单调递增，所以，则 ， 即，得证． 【1-3】已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 题型二、双变量问题之“极值点偏移”型 典例探究 【例题2】已知函数 (1)求函数在处切线方程； (2)若有两解，，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解； （2）求导判断的单调性，利用偏移法证明，结合第（1）问的结论，证明在切线下方，放缩法证明不等式. 【详解】（1）由，则，又， 所以处切线方程为：，即. （2）因为，所以当时，，即单调递增， ，，即单调递减. 又，，时，， 先证， 由可知：，要证， 也就是要证：， 令，， 则， 所以在区间内单调递增，，则，即，即； 再证， 由（1?）可知曲线在点处的切线方程为， 令， 则，时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值为0， 故当时，，即，， 则，即， 又，， ∴. 综上，成立，得证. 举一反三 【2-1】已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的两个实数根互为相反数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若函数有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间； （2）转化为方程的两根分别是和，得到方程组，相减后得到，令，求导，得到单调性，得到只有1个零点，即0，代入，此时无解，故，求出实数的值； （3）令，转化为，构造，求导得到其单调性，得到，再构造，求导，得到单调性，从而求出，根据基本不等式得到，得到， 又，故，根据的单调性得到，证明出结论.. 【详解】（1）的定义域为R， 故， 令得，令得， 故函数的增区间是，减区间是； （2），即， 设方程的两根分别是和， 故①， ，即②， 由①-②可得：③， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也时最小值， 故，即单调递增，注意到， 故只有1个零点，即0， 当时，由①可知：，即，无解， 故，则，则有，解得； （3）由（2）可得，， 则， 令得，即， 令，则函数在单调递增，， 函数有两个不同的零点，也即方程在有两根， 其中， 令，则， 令，解得，令，解得， ∴在为减函数，在为增函数， ∴，又时，；时，， ∴m，，， 令， 则，当且仅当时，等号成立， 又，故恒成立， ∴在单调递增，∴时，， 由得，即， 而在单调递减，且，所以，， 即有， ∵， ∴，又， ∴，而在单调递增， ∴，∴. 即得证 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，本题关键点为变形为，换元后再构造差函数进行求解. 【2-2】已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，恒成立，即恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围； （2）方法一：由（1）得，转化为是的两个零点，求导得到单调性，得到，换元后即证，构造 ，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案； 方法二：先证明引理，当时,,当时, ，变形得到只需证，结合引理，得到，，两式结合证明出答案. 【详解】（1）的定义域为，， 由题意恒成立，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减, ∴在处取得极大值，也是最大值，， 故； （2）证法一：函数有两个极值点，由(1)可知， 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,又因为， 所以， 要证,只需证,只需证， 其中，即证， 即证， 由,设, 则,,则, 设 ， ， 由(1)知，故, 所以,,即，在上递增， ,故成立,即； 证法二： 先证明引理:当时,,当时, ， 设, ， 所以在上递增,又, 当时,，当时，， 故引理得证， 因为函数有两个极值点，由(1)可知, 设，则是的两个零点， ，当时，，当时，, 所以在上递增,在上递减， 所以,即， 要证,只需证， 因为，即证， 由引理可得, 化简可得①， 同理， 化简可得②， 由①-②可得 ， 因为，，所以， 即,从而. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 【2-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出. 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数. 题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 典例探究 【例题3】已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，记，，解法一：设，利用导数求出的范围即可； 解法二：由题设易得，再结合对数均值不等式即可得解. 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时， 单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又 ，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 举一反三 【3-1】若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变式为，设后转化为恒成立，只需求函数的最大值即可. 【详解】因为， 所以，设， 则，， 令 恒成立，故单调递减， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；. 故 所以，得到. 故选:A. 【3-2】若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可． 【详解】由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln0， 即2+a（2e）ln0， 即设t，则t＞0， 则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt＝0， 即（t﹣2e）lnt有解， 设g（t）＝（t﹣2e）lnt， g′（t）＝lnt+1为增函数， ∵g′（e）＝lne+11+1﹣2＝0， ∴当t＞e时，g′（t）＞0， 当0＜t＜e时，g′（t）＜0， 即当t＝e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e， 即g（t）≥g（e）＝﹣e， 若（t﹣2e）lnt有解， 则e，即e， 则a＜0或a， 故选：C． 【3-3】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围. 【详解】令，只需要上恒成立， ∵且， ∴，即在上单调递增， ∵，， ∴，使，即， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故只需，令， ∴，故在上递减，而， ∴时，恒成立，可知. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用导数研究的单调性并确定极小值点范围，根据有，结合构造新函数，求成立时的区间，进而求参数范围. 题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 典例探究 【例题4】已知函数有两个极值点为. (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，求的值； (3)若（为自然对数的底数），求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，结合题意列方程求解即得； （2）在时，对函数求导判断函数的单调性，求出极值点，代入解析式计算即得； （3）根据题意，可得计算并化简，利用上述结论将其转化成，设，易得，设，利用求导判断该函数的单调性，即可求得的最大值. 【详解】（1）函数求导得，则 又因函数在处处的切线与直线平行，故有. 解得. （2）函数的定义域为， 则， 当时， 当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 依题意，函数两个极值点为则， 于是， 即当时，. （3）因 ， 又，依题意，是方程的两个实数根， 则 则 ， 设，由，可得 令，则 所以在上单调递减，可得 故可知的最大值为 举一反三 【4-1】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设存在两个不同的极值点，（其中），求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，分和讨论判断导数正负，得解； （2）由（1）分，和讨论，结合函数的单调性求解； （3）由极值点的性质可得，是方程的两个不同的实根，得，所以，令，，，利用导数可得. 【详解】（1）的定义域为，， 若，则对任意，，单调递增. 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 所以时，，不合题意，舍去； 当时，由（1）得在上单调递增，. 当时，先证当时，，令，， 则，所以函数在上单调递减，所以， 即当时，都有. 因为， 取，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由（1）知，，令， 由题意得，是方程的两个不同的实根， 由得或， 又因为，，，所以， ，， 令，则，， 所以，在区间上单调递减，所以， 综上：的取值范围为. 【4-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设是函数的两个极值点，若，求m的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2)0 【分析】（1）通过对函数求导，分类讨论后，根据导数的正负来判断函数的单调性； （2）通过极值点，对已知条件变形为，令，构造函数，求导研究单调性，得到最值即可. 【详解】（1）的定义域为， ， ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ③当时，则，所以在上单调递增； ④当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调选减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）证明：，则的定义域为， ，若有两个极值点， 则方程的判别式， 且，得， 所以 因为，所以 令设 由，得在上单调递减， 所以，所以，即 所以的最大值为0． 【4-3】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，根据分类讨论求函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系； （2）由，是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值. 【详解】（1）由求导得，. 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，方程的， 所以，在上单调递增； 当时，， 由，解得，， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 在和上单调递增. （2）若有两个极值点，， 则，由方程知，. ， 令()， 则， 所以在上单调递减，所以. 所以的最大值是. 题型五、双变量问题之“存在/任意”型 典例探究 【例题5】已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可． 【详解】， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且， 又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立， 或， 又，，故， ，解得． 故选：C 举一反三 【5-1】已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数在定义域单调递增，原不等式成立可转化为，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a的取值范围. 【详解】由函数在定义域单调递增， 对于任意，存在，使得成立， 即任意，存在，使得成立， 即满足， 令， 对称轴方程为， 在可得 令， 求导可得， ，可得， 在，，单调递增， 所以在，， 即， 解得， 故选C. 【5-2】若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答. 【详解】由，得， 令，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，取最大值，最大值为0； 又，，如下图， 令，显然函数在上单调递减，函数的值域为， 由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得， 因此，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【5-3】已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对，，使得成立，只需求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 因为开口方向向下， 所以在区间上的最小值的端点处取得， 所以要使对，，使得成立， 只需，即或， 即或， 解得， 所以a的取值范围是， 故答案为： 题型六、双变量问题之“导数”型 典例探究 【例题6】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 【答案】(1)详解见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论含参的函数的单调性即可； （2）由（1）知，，令，利用导数可得在上单调递增，得，进而，结合基本不等式即可证明. 【详解】（1），则， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为方程有两个不等的根，且， 由（1）知，， 令， 则 ， 所以函数在上单调递增， 所以 ， 又在上单调递增， 所以，又， 所以，所以， 又，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略: 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 举一反三 【6-1】已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数与单调性的关系，结合参变分离计算即可得； （2）多次求导，得到函数的单调性与奇偶性即可得； （3）结合小问（2），将可转化为证明，结合题中、的范围，可构造函数从而证明，即可得证. 【详解】（1）由，则， 在上单调递减，即在上恒成立， 即有在上恒成立，即， 令，，则， 设，，则， 故在上单调递减， 故， 即恒成立，故在上单调递增， 有，即， 故的取值范围为； （2）若，则，， 设，则， 故在上单调递增，又， ，故在上存在唯一零点， 设该零点为，即有， 有时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，，即， 故在上单调递减， 当时，有，故， 即在上单调递增， 故时，， 又，且定义域为， 故为偶函数，即当时，， 故恒成立； （3）， 有， 由（2）可知，若方程两个不同的实数根，则， 下面证明：， 不妨设，则， 要证，只需证明，而， 由（2）可知，在上单调递减，故只需证明， 而，故只需证明， 设 ， 则，即在上单调递增， 故，故，即， 又，故， 由（2）得，， 当时，，故在上单调递增， 又，， 故. 【点睛】关键点睛：本题关键在最后一问中结合题意与第二小问，将证明转化为证明，从而将问题变为极值点偏移问题，结合题中、的范围，可构造函数，从而帮助证明. 【6-2】已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1），当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，得；由得，进而可得； （2）由转化为求，由（1）可知，构造，由导数可得，进而可得只有符合题意； （3）根据函数的单调性，函数有两个零点时， ，得，设，则，证，利用基本不等式和单调性转化为证明，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得：；由，解得：. 在上单调递减，上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）要使恒成立，只需恒成立. 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， ∴当时，，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即在时恒成立. 记，，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ，， 只有符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，当时，在上单调递增，函数不可能有两个零点，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， 当时，；当时，. 要使函数有两个零点，只需，解得：. 已知，不妨设，则有. 单调递增，要证，只需. ，只需证 即证， 由单调性可知，， 在上单调递减，即证. 方法一：，即证. 令，其中. ， 单调递增， 又，，即. 成立. . . 方法二：，即证. 而， 由得，， 且，. 令，则， 在上单调递减，， ，，可得， ，，，即， 又在上单调递减，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于问题的转化，根据函数的单调性，确定函数两个零点的范围，进而把证明，转化为证明，即证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【6-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导函数，分与两类讨论函数的单调性即可； （2）①结合（1）的分析，若有两个零点，则且极大值可得，再通过找点使，然后利用零点存在性定理证明当时有两个零点； ②由不等式，利用放缩法先证明.由零点满足的关系式得消，再结合整体换元转化为证明关于的，再构造函数，利用导函数证明可得. 【详解】（1）的定义域为. ①当时，，，则， 所以在上单调递减； ②当时， 当时，，在上单调递增， 当时，，则在上单调递减. 所以，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）①因为是的两个零点， 由（1）可知，且， 由在上单调递增，在上单调递减， 则，解得. 而当时，，， 由且，则在与各有一个零点. 又由单调性可知，至多两个零点. 故当时，有两个零点. 综上可知，的取值范围是. ②因为是的两个零点， 所以，解得， 所以， 令，即，代入上式得： . 令，. ，令， 则，. 所以在上单调递减，且， 由，所以，即； 所以在上单调递减，且， 由，所以，又， 所以. 由，且， 可知. 又因为，则在上是减函数， 所以，. 故得证. 【点睛】方法点睛：解决导数中的多变量问题，经常将多变量问题通过消元转化为单变量问题处理，通常有以下两个角度的消元方法： （1）利用等量关系消元：若变量之间具有等量关系，则一般可利用等式消元，但要注意主元的确定与被消去元的范围对所选择的主元范围产生的影响； （2）换元法：若多元表达式通过变形，可将一个多变量的式子视为整体从而转化为一元表达式，即整体换元法；若变量之间的等量关系中任一变量都不易直接求解消元，可引入第三元进行消元处理，如三角换元法. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】对任意的正数，都存在唯一的正数，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法转化为存在唯一正数使得成立，然后看做两个函数图像有唯一交点即可解决问题. 【详解】由可得：， 设，则， 令，∴ ， 故当时，，当时，， ， 又，当时，，可得函数的图象： 因此当或时，存在唯一正数，使得成立， 即对任意的正数，都存在唯一一个正数y,使成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：“双变量”问题用“换元法”转化为一个变量的问题来解决. 【突破提升训练・2】对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式参变分离，利用换元法以及函数的导数判断出单调性，结合已知条件，可得实数的取值范围． 【详解】由得，设，则，设，则 令，则；令，则 ∴在上单调递增，在上单调递减，且 当时，；当时， ∴当时，存在两个实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得 故选：A 【突破提升训练・3】若对，，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将作为变量，作为参数得到对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得到，对恒成立，再分和两种情况讨论，当令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出参数的取值范围； 【详解】解：因为对，，不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以，对恒成立， 当时，恒成立，所以， 当时，对恒成立， 令，，则， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即，当时，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值，所以，即. 故选：D. 【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【突破提升训练・4】已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得函数在上的值域包含与函数在上值域，利用导数分析函数的单调性，求出函数的值域，列不等式求的取值范围. 【详解】因为， 所以，，， 令，可得或， 当时，，则，，则， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 当时，时，， 所以函数在上为减函数， 设， 因为对于任意的，都存在，使得， 所以对于任意的，都存在，使得， 所以函数在上的值域包含与函数在上值域， 当时，， 函数在上为减函数， 函数在上的值域为，函数在上的值域为， 所以函数在上的值域为， 由已知 ， 所以，又，所以，(注：由此可排除A，B，C) 当时，，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 函数在上的值域为，函数在上的值域为， 所以函数在上的值域为，与已知矛盾， 当时，，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上的值域为，函数在上的值域为， 所以函数在上的值域为，与已知矛盾， 当时，，， ，则，，则， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上的值域为，函数在上的值域为， 所以函数在上的值域为， ，满足要求 当时，，， 函数在上单调递增，函数在上单调递增 所以函数在上的值域为，函数在上的值域为， 所以函数在上的值域为， ，满足要求， 综上所述，， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于将已知条件转化为函数的值域的关系，由此利用导数分析函数的单调性求函数的值域即可. 【突破提升训练・5】已知函数，，若，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，确定，换元，构造函数求出的最小值，列不等式求解即可 【详解】因为，所以在上为增函数，所以. 令，，.当时，；当时，.所以，从而.依题意可得，即. 故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，考查换元法的应用，着重考查导数的应用，是中档题，注意最值的转化. 【突破提升训练・6】已知，满足，满足此等式，的取值范围分别为集合，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】变形得到，得到，令，求导得到单调性，结合特殊点的函数值，画出的图象，得到AB正确；同理设，定义域为，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，画出的图象，数形结合得到的解集为，其中，得到答案. 【详解】，， ，即， 所以， 其中，故， ，， 令得或，令得， 故在单调递减，在上单调递增， 其中，当时，恒成立， 画出的图象，如下： 故的解集为，包含，，AB正确； 令，定义域为， 则， 令得或，令得， 故在单调递增，在上单调递减， 且，在恒成立， 画出的图象，如下： 的解集为，其中， 故，C正确，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：变形得到，得到，要求不等式的解集，需构造函数，研究函数单调性，画出函数图象，数形结合进行求解. 【突破提升训练・7】已知f(x)＝xex，g(x)＝﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】[，+∞） 【分析】转化为f(x)min≤g(x)max，再根据导数知识求出，根据二次函数知识求出，代入可求出结果. 【详解】∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f(x)min≤g(x)max， f′(x)＝ex+xex＝（1+x）ex， 当x＜﹣1时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x＞﹣1时，f′(x)＞0，f(x)递增， 所以当x＝﹣1时，f(x)取得最小值f(x)min＝f（﹣1）＝； 因为g(x)＝﹣（x+1）2+a， 所以当x＝﹣1时g(x)取得最大值为g(x)max＝g（﹣1）＝a， 所以≤a，即实数a的取值范围是a≥． 故答案为：[，+∞）． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【突破提升训练・8】已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先表示，结合导数与极值关系，利用韦达定理建立的关系，再把多变量化成单变量函数，即可证明. 【详解】（1）当时，，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得，则， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 【突破提升训练・9】已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2)证明见解析 【分析】（1）二次求导，利用导数分析函数的单调性； （2）设，，分析可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，，得， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以的单调递增区间为，无递减区间. （2）证明：不妨设，因为， 又， 所以， 设，则 . 设，， 因为， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以，即. 【突破提升训练・10】已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解； （2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可； （3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 再构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以， 又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是） 所以，即. （3）先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简， ，则， 所以 . 由，得， 所以要证，即证，即证，即证， 即证，即证. 令，即证. 令， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及的函数有两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的条件，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解. 【突破提升训练・11】已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 【答案】(1)有极大值，极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，求函数的极值； （2）首先不等式变形为，再利用导数变形为，再转化为证明，证法1，不等式变形为，再构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，即可证明；证法2，不等式变形为，再利用换元构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可证明不等式. 【详解】（1）由题意，，， 所以当时，，， 由解得：或，由解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故有极大值，极小值. （2）由题意，，， 要证，只需证， 而， ， 所以只需证， 即证①，下面给出两种证明不等式①的方法： 证法1：要证，只需证， 即证，令 ， 则，所以在上单调递增， 显然，所以当时，， 因为，所以，即， 故. 证法2：要证，只需证，即证， 令，则，所以只需证当时，，即证， 令 ，则， 所以在上单调递增，又，所以成立，即， 故 【点睛】思路点睛：第二问的思路首先是变形不等式，根据不等式构造函数，利用函数的单调性，结合最值，即可证明. 【突破提升训练・12】已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明. 【突破提升训练・13】已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分离参数，利用导数求解函数最值可得答案； （2）构造函数，利用导数判断单调性，结合零点所在区间及函数单调性可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以； 令，， 当，，为减函数； 当，，为增函数； 所以有最小值，所以，即a的取值范围为. （2）证明:令，此时； 不妨设，函数定义域为. ， 令，可得， 所以函数在上单调递增， 又，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 不妨设， 此时，； 因为， 所以 令，在上恒成立， 所以为增函数，，所以，即； 又因为在上单调递减，所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二个：一是恒成立问题，利用分类参数法求解，求解新函数的最值即可；二是函数零点问题，把两个变量转化到同一个单调区间内，结合单调性可得结论. 【突破提升训练・14】已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）利用导数求单调区间，结合图象可解； （2）利用单调性将问题转化为证明，然后构造差函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 又当x趋近于0或时，趋于， 所以，要使有两个不同的零点，只需满足，即. 所以实数的取值范围为.    （2）不妨设，由（1）可知，，则， 要证，只需证， 又在上单调递增，所以只需证，即证. 记， 则， 当时，，单调递增， 又， 所以，即. 所以. 【点睛】本题第二问为极值点偏移问题，关键在于构造差函数，然后利用导数讨论其单调性，单调性结合即可证明. 【突破提升训练・15】已知函数. (1)当时，，求的取值范围. (2)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）参变分离可得在恒成立，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解； （2）求出函数的导函数，依题意可得函数与函数，的图象有两个交点，利用导数说明的单调性，不妨设，要证，即证，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【详解】（1）当时，在恒成立， 令，， 则， 函数在上单调递减， ， ， 的取值范围是． （2）函数，． 则， 函数有两个极值点，， 有两个正实数解方程有两个正实数解函数与函数，的图象有两个交点． ，令，解得， 当时，则单调递增，当时，则单调递减， 函数的极大值即最大值为． 又时，且当时，，又， ． 不妨设， 要证明，． 令，，． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 函数在单调递增， ，，即， 因此成立． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【突破提升训练・16】已知函数，的零点分别为，. (1)若，求； (2)是否存在，使？说明理由； (3)若，用含的代数式表示最大值. 【答案】(1)； (2)存在，理由见解析 (3). 【分析】（1）将代入解析式，得到，单调递增，且，即得到零点-1. （2）由题意可得：，两式相加，令，化简得到，将代入上式中，能够求出，进而有这样的值. （3），两式作差得到，和（2）的相除得到：，解出，根据函数的单调性得到最大值. 【详解】（1），有， 而单调递增，故； （2）存在； （i）；（ⅱ）， （i）+（ⅱ），得， 令，则（*） 由（i），代入（*）解得， 代入（i）中，有正解，故存在； （3）（i）-（ⅱ），得， 由得， 故， 函数， ，令， 则，令 则，则在上递减，，， ，在上递减，， ，即，单调递减， 故， 最大值为. 【突破提升训练・17】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，分别为，求的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数正负得出函数单调性； （2）根据函数的极值点得出，再构造函数应用导函数得出函数的单调性即可求解最值 【详解】（1）当时，，求导得． 令得或． 所以当时，，当时，． 故的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）． 令得． 因为是的两个极值点， 所以是关于的方程的两个实根． 则． 由得， 所以， 将代入得，同理得． 所以， 令，则． 设，则． 记，则． 所以在上单调递增，． 所以在上单调递减． 又． 当且仅当时，取得最大值，最大值为4，即的最大值为2，经检验满足题意. 所以的最小值为． 【突破提升训练・18】已知函数，且当时，有极值． (1)求函数的解析式； (2)若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c的最小值． 【答案】(1) (2)66． 【分析】（1）利用根据极值及极值点处的导数为0.列出方程求解，注意检验，即可得解； （2）利用导数求出函数的最大最小值，根据题意最大值与最小值之差即为c的最小值. 【详解】（1）， 由题意得 即 解得 经检验，当时，在处取得极值， 所以． （2）， 令得或；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为， 所以， 对于区间上任意两个自变量的值，有， 所以的最小值为66． 【突破提升训练・19】设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 【答案】(1)不存在F点 (2) (3)． 【分析】（1）利用导数得函数无极值点，即可判断； （2）先求函数极值点，再根据题意，得，构造函数，利用单调性求解； （3）根据题意，是的两根，且，，由韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得. 【详解】（1）恒成立，故函数单调递增， 函数无极值，所以不存在F点； （2）解设是函数的一个F点，； 当时，，函数无极值； 当时，令，得：． 由，得：． 设，则在单调递增， 且，得，所以． 当时，是极小值点，所以是函数的一个F点， 综上，． （3），则，是的两根． 所以：，，． 由，，则， 所以化简得：． 则：，得：． 所以，得． 【突破提升训练・20】已知函数，，若对任意的，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】法一先利用导数求出的值域，再对参数进行分类讨论求出的值域，再将原问题转化为值域覆盖问题，建立不等式求解参数范围即可，法二将原问题转化为，再结合分离参数法求解参数范围即可. 【详解】法一：因为，所以， 当时，，则在上单调递增， 而，，得到， 因为，所以， 当时，，此时在上单调递减， 而，，故， 若对任意的，存在，使， 可得，，与矛盾，则此时不存在， 当时，令，解得， 当时，解得，由题意得，此时，即， 则，此时在上单调递增， 而，，故， 若对任意的，存在，使， 可得，，解得， 当时，解得，此时， 则，此时在上单调递减， 而，，故， 若对任意的，存在，使， 可得，，与矛盾，则此时不存在， 当时，解得，此时， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且有，， 当时，解得，此时， 若对任意的，存在，使， 可得，，解得， 当时，解得，此时， 若对任意的，存在，使， 可得，，解得， 综上，. 法二：由已知得， 对任意的，存在，使， 可得，即， 若，化简得，令， 可得，而， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到，故， 若，化简得， 令，故，则， 令，则， 故在上单调递减，而，， 则，由零点存在性定理得存在作为的零点， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，故， 综上，. 【突破提升训练・21】已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【答案】(1)答案见解析过程 (2)答案见解析过程 (3) 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可； （3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； （2）由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时， 上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； （3）问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于 在上的最小值与在上的最小值的差大于， 当时，则有，由（2）可知在上的最小值为， 由（1）可知在上的最小值为， 所以有； 当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为， 所以当时，， 此时有； 当时，， 则有， 综上所述：实数m的取值范围为. 【突破提升训练・22】若函数. (1)若，且曲线的切线过点，求直线的方程； (2)证明：若，则； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）对函数求导得，设所求切线的切点为，写出直线的方程，将点代入直线的方程中化简得一个关于的方程，构造函数，利用函数导数与单调性求出即可； （2）根据，得出相应的方程，然后利用分析法结合函数导数证明即可； （3）解法一：由题意将代入不等式得出的表达式，利用导数求出的最大值，在根据恒成立即可求出的值（或取值范围）；解法二：由题意将代入不等式得出的表达式，由恒成立，利用函数导数分析求出的最大值，再结合题意分析求解即可. 【详解】（1）由题意得， 设所求切线的切点为， 则直线的方程为， 即，又， . 即， 令， 可知在上单调递增. 又，所以方程有唯一解. 所以直线的方程是或. （2）证明：， ， 即，要证， 由（1）知只要证， 即证， 又因为，即证，（*） 令，则，欲证（*）式成立， 等价于证明， 设函数， 则， 所以函数是上的增函数， 所以，即成立， 所以. （3）解法一：由题意得. 则， 令，得或（舍去）， 在上，， 在上，， 在上单调递增，在上单调递减， 当且仅当时，取得最大值， 即. 已知恒成立. . 又，所以， 所以，解得. 所以的取值的集合为.    解法二：由题意得恒成立， 令， 得， ，， 方程有两个不相等的实数根，， 则，不妨设， 在上单调递增，在上单调递减， . 由，得（**）， 恒成立. 令， 则， 则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即， 当且仅当时取等号，又恒成立， 所以，且，将代入（**）式得， 所以的取值的集合为. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，求过点（在点）处切线方程；或者已知切线方程求参数； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数研究不等式恒成立（能成立）问题； （4）利用导数证明不等式，其中涉及极值偏移问题较难． 【突破提升训练・23】已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，对进行分类讨论的单调性； （2）利用方程组，得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明. 【详解】（1）． ①当时，在上单调递增． ②当时，令得，即在上单调递增； 同理，令得，即在上单调递减． （2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若使有两个零点，则，即，解得， 且，当时，，则有， 所以的取值范围为． （ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②， ①-②得，即， ， 因为有两个零点，所以不单调， 因为，得， 所以． 若要证明成立， 只需证， 即证，令，则， 则不等式只需证， 即证， 令， ，令， 令，因为，得在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 所以有， 故有，不等式得证． 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明. 【突破提升训练・24】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若是的两个不相等的零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得后分，，三种情况讨论即可得答案； （2），结合单调性，可知等价于证明.又设，则，后构造函数，结合其单调性可证明结论. 【详解】（1） ①若，则，故在上单调递增； ②若，则时，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； ③若，则时，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知时， 在单调递减，在单调递增，. 令 则，即在上单调递增. 则 . 注意到当时， 有两个不相等的零点， 则. 得两个零点分别在中. 令，则. 因在单调递增，则. 令，， 因，， 则，则. 故在上单调递减，则. 故，所以. 【点睛】关键点睛：本题涉及用导数讨论函数单调性及用导数解决双变量问题，难度较大.解决双变量问题，常构造差函数，利用差函数单调性解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点09：双变量问题之题型归纳总结 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、双变量问题之“两点”型 3 题型二、双变量问题之“极值点偏移”型 4 题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 5 题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 6 题型五、双变量问题之“存在/任意”型 7 题型六、双变量问题之“导数”型 8 题型精析・方法突破提能力 10 知识网络・核心根基深扎牢 题型1：双变量问题之“两点”型 证明双变量关系中含：，等。 解题步骤： 步骤1：分析函数单调性（前提） 步骤2：转化函数值关系为自变量关系（核心） 步骤3：结合题干条件推导目标（收尾） 题型2：双变量问题之“极值点偏移”型 已知条件：函数，满足（或为某常数）。 证明双变量与极值点的偏移关系（如“右偏”）；证明双变量积的偏移关系（如）。 解题步骤 步骤1：求函数唯一极值点（基础） 步骤2：构造对称差值函数（核心 1）（或者利用其他方法） 步骤3：分析对称函数的单调性（核心 2） 步骤4：关联的大小（推导） 步骤5：结合原函数单调性证偏移结论（收尾） 题型3：双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 已知条件：题干含双变量的指数 / 对数混合式（如），可整理为 “” 的同构形式；给出双变量范围约束或参数条件（如含参数的同构式）。 问题目标：求双变量相关表达式的最值；求参数的取值范围（如同构式有解时参数的范围或某个整体式子的范围）。 解题步骤 步骤1：识别同构结构，抽象同构函数（基础） 步骤2：分析同构函数的单调性与定义域（核心 1） 步骤3：转化双变量关系为单变量参数（如设）（核心 2） 步骤4：构建目标表达式的单变量函数（如函数）（推导） 步骤5：求单变量函数的最值或参数范围（收尾） 题型4：双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 已知条件：无明确同构结构，多为双变量的等式约束（如、不等式约束（如）或函数关系。 求双变量表达式的最值；求双变量的取值范围。 解题步骤 步骤1：提取双变量约束条件（基础） 步骤2：选择消元 / 主元法降维（核心 1） 步骤3：转化为单变量函数（核心 2） 步骤4：分析单变量函数的定义域与单调性（推导） 步骤5：求单变量函数的最值或范围（收尾） 题型5：双变量问题之“存在/任意”型 已知条件：含 “任意”“存在” 量词（如 “对任意”“存在”）；给出两个函数（或同一函数的双变量关系）及变量区间。 求参数取值范围（范围）；判断命题真假（如 “是否存在”）。 解题步骤 步骤1：明确量词约束与变量区间（基础） 步骤2：分析对应函数的单调性（核心 1） 步骤3：求函数在区间内的最值 / 值域（核心 2） 步骤4：转化量词关系为最值关系（如 “任意→”）（推导） 步骤5：求解最值关系或判断命题（收尾） 题型5：双变量问题之“导数”型 求双变量表达式中含有>k或<k；>k或<k或者该类型的衍生情况。 解题步骤与题型1相同，从单调性方面解决。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、双变量问题之“两点”型 典例探究 【例题1】已知函数．设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：． 举一反三 【1-1】已知函数． (1)讨论在定义域内的单调性； (2)当时，求证：对，，． 【1-2】已知函数．求证：当且时，有 ． 【1-3】已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 题型二、双变量问题之“极值点偏移”型 典例探究 【例题2】已知函数 (1)求函数在处切线方程； (2)若有两解，，且，求证：． 举一反三 【2-1】已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)若方程的两个实数根互为相反数，求实数的值； (3)在条件（2）下，若函数有两个不同的零点，证明：． 【2-2】已知函数. (1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围; (2)若函数有两个极值点,证明：. 【2-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 题型三、双变量问题之“最值或范围”型（同构类） 典例探究 【例题3】已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【3-1】若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【3-2】若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【3-3】设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、双变量问题之“最值或范围”型（解答类） 典例探究 【例题4】已知函数有两个极值点为. (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，求的值； (3)若（为自然对数的底数），求的最大值. 举一反三 【4-1】已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设存在两个不同的极值点，（其中），求的取值范围. 【4-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设是函数的两个极值点，若，求m的最大值． 【4-3】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个极值点，，当时，求的最大值. 题型五、双变量问题之“存在/任意”型 典例探究 【例题5】已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三 【5-1】已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【5-2】若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【5-3】已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是 ． 题型六、双变量问题之“导数”型 典例探究 【例题6】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 举一反三 【6-1】已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 【6-2】已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 【6-3】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：（为函数的导函数）. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】对任意的正数，都存在唯一的正数，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・2】对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【突破提升训练・3】若对，，不等式恒成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・4】已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・5】已知函数，，若，，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・6】已知，满足，满足此等式，的取值范围分别为集合，，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・7】已知f(x)＝xex，g(x)＝﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是 ． 【突破提升训练・8】已知． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【突破提升训练・9】已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 【突破提升训练・10】已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【突破提升训练・11】已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 【突破提升训练・12】已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【突破提升训练・13】已知函数 (1)若 在 上恒成立，求a的取值范围； (2)设 为函数g(x)的两个零点，证明： 【突破提升训练・14】已知函数有两个不同的零点. (1)求实数的取值范围； (2)求证：. 【突破提升训练・15】已知函数. (1)当时，，求的取值范围. (2)若函数有两个极值点，证明：. 【突破提升训练・16】已知函数，的零点分别为，. (1)若，求； (2)是否存在，使？说明理由； (3)若，用含的代数式表示最大值. 【突破提升训练・17】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，分别为，求的最小值． 【突破提升训练・18】已知函数，且当时，有极值． (1)求函数的解析式； (2)若对于区间上任意两个自变量的值，有，求实数c的最小值． 【突破提升训练・19】设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 【突破提升训练・20】已知函数，，若对任意的，存在，使，求实数的取值范围． 【突破提升训练・21】已知函数 (1)求在区间的最大值和最小值； (2)讨论函数的单调区间与极值； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【突破提升训练・22】若函数. (1)若，且曲线的切线过点，求直线的方程； (2)证明：若，则； (3)若恒成立，求的取值范围. 【突破提升训练・23】已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 【突破提升训练・24】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若是的两个不相等的零点，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $