重难点25：三角函数中ω的值或范围问题（培优固本提能讲义）-2026届高三数学一轮复习

重难点25：三角函数中的值或范围问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、利用“周期性质”求 3 题型二、利用“单调性”求 4 题型三、利用“最值或值域”求 5 题型四、利用“零点个数”求 6 题型五、利用“对称性（对称轴/中心）”求 7 题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求 8 题型精析・方法突破提能力 9 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 高考中求三角函数取值范围的题型主要围绕 “三角函数的图像性质” 展开，核心是利用周期、单调性、最值、零点、对称性这五大性质建立不等式。 题型1：利用 “周期性质” 求范围 题型特征： 题干给出三角函数的周期约束（如 “周期大于)内有 2 个周期”），或结合图像中 “相邻关键点的距离”（如相邻对称轴、相邻对称中心、相邻零点）与周期的关系。 解题关键： （1）明确三角函数的周期公式： 正弦，周期； 正切型：（）。 （2）根据题干周期条件列不等式，求解（高考常隐含，若未说明需考虑正负）确定最终范围。 题型2：利用 “单调性” 求范围 题型特征： 题干给出三角函数在某区间上的单调性（如 “上单调递增”“在)上单调递减”），需结合单调区间与 “” 的整体范围匹配。 解题关键： （1）确定 “，则（)时，区间方向与。 （2）匹配三角函数的单调区间： 正弦函数，递减区间：； 余弦函数，递减区间：（）。 （3）列不等式：使完全包含于对应单调区间，求解。 题型3：利用 “最值与值域” 求范围 题型特征： 题干给出三角函数在某区间上的最值情况（如 “在”“在”），或值域约束（如 “值域为影响的 “整体范围” 匹配最值条件。 解题关键： （1）确定 “” 的区间； （2）分析三角函数在上的最值是否满足题干条件： 若要求 “最大值为 1”（正弦/余弦函数的最大值），需保证内包含（正弦）或（余弦）； 若要求 “最小值为内包含或（正弦）等对应角度。 （3）列不等式：通过 “是否包含关键角度” 或 “关键角度的边界” 求解。 题型4：利用 “零点个数” 求范围 题型特征： 题干给出三角函数在某区间上的零点数量（如 “在内有 3 个零点”“在内有 4 个零点”），核心是利用 “周期内的零点数” 与 “区间长度” 的关系。 解题关键： （1）明确三角函数的零点分布： 正弦型，即，相邻零点间距为（半个周期）； 余弦型（），相邻零点间距同样为。 （2）确定区间内的零点数：设区间为” 在区间内覆盖的 “（注意 “闭区间包含端点零点”，开区间不包含）。 题型5：利用 “对称性（对称轴/对称中心）” 求范围 题型特征： 题干给出三角函数的对称轴或对称中心约束（如 “图像关于直线对称”“对称中心为内有 2 条对称轴”），需结合对称性的代数条件。 解题关键： （1）对称性的代数条件： 对称轴：对（）；对，对称轴满足； 对称中心：对（）；对)，对称中心横坐标满足。 （2）若题干给出 “某区间内的对称轴 / 对称中心个数”，需计算 “” 在区间内覆盖的 “对称轴 / 对称中心对应的角度数”，列不等式求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、利用“周期性质”求 典例探究 【例题1】已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立，则实数的最小值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 举一反三 【1-1】若函数的图象的两对称中心间的最小距离为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【1-2】已知函数，集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【1-3】已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（   ） A．3 B． C． D． 题型二、利用“单调性”求 典例探究 【例题2】函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 举一反三 【2-1】若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【2-2】已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【2-3】已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 题型三、利用“最值或值域”求 典例探究 【例题3】已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 举一反三 【3-1】已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【3-2】已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【3-3】设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、利用“零点个数”求 典例探究 【例题4】函数在上单调递增，且在上恰有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【4-1】已知函数，函数在上有3个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【4-2】已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【4-3】已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、利用“对称性”求 典例探究 【例题5】将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 举一反三 【5-1】已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【5-2】已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【5-3】已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求 典例探究 【例题6】已知函数在单调，且是的一个零点，直线是图象的一条对称轴，则ω的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 举一反三 【6-1】设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【6-2】已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【6-3】已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【突破提升训练・2】若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【突破提升训练・3】已知函数的最小正周期为，则为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【突破提升训练・4】设函数，若恒成立，且在上存在极值点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【突破提升训练・5】设函数，若，满足，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【突破提升训练・6】已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【突破提升训练・7】已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 【突破提升训练・8】已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【突破提升训练・9】已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【突破提升训练・10】已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・11】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・12】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・13】已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・14】若函数在上为减函数，且在上的最大值为，则的值可能为 A． B． C． D．1 【突破提升训练・15】已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・16】已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・17】已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・18】已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（    ）. A．14 B．9 C．10 D．6 【突破提升训练・19】函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・20】已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・21】已知函数在区间上单调递减，且在区间上只有1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・22】已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【突破提升训练・23】若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 【突破提升训练・24】已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（    ）． A． B． C． D． 【突破提升训练・25】已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【突破提升训练・26】已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【突破提升训练・27】若函数关于对称，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【突破提升训练・28】已知函数（），，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・29】若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【突破提升训练・30】已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点 C． D． 【突破提升训练・31】将函数图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若函数在区间上恰有8个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・32】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【突破提升训练・33】已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【突破提升训练・34】已知函数，若在区间内有且仅有4个零点和4条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・35】设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・36】若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $重难点25:三角函数中的值或范围问题 (培优固本提能讲义) 知识网络 核心根基深扎牢 1 实战演练 能力进阶攀高峰 3 题型一、利用“周期性质”求 3 题型二、利用“单调性”求 5 题型三、利用“最值或值域”求 8 题型四、利用“零点个数”求 10 题型五、利用“对称性(对称轴/中心)”求 13 题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求 15 题型精析・方法突破提能力 18 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 高考中求三角函数取值范围的题型主要围绕 “三角函数的图像性质” 展开,核心是利用周期、单调性、最值、零点、对称性这五大性质建立不等式。 题型1:利用 “周期性质” 求范围 题型特征: 题干给出三角函数的周期约束(如 “周期大于)内有 2 个周期”),或结合图像中 “相邻关键点的距离”(如相邻对称轴、相邻对称中心、相邻零点)与周期的关系。 解题关键: (1)明确三角函数的周期公式: 正弦,周期; 正切型:()。 (2)根据题干周期条件列不等式,求解(高考常隐含,若未说明需考虑正负)确定最终范围。 题型2:利用 “单调性” 求范围 题型特征: 题干给出三角函数在某区间上的单调性(如 “上单调递增”“在)上单调递减”),需结合单调区间与 “” 的整体范围匹配。 解题关键: (1)确定 “,则()时,区间方向与。 (2)匹配三角函数的单调区间: 正弦函数,递减区间:; 余弦函数,递减区间:()。 (3)列不等式:使完全包含于对应单调区间,求解。 题型3:利用 “最值与值域” 求范围 题型特征: 题干给出三角函数在某区间上的最值情况(如 “在”“在”),或值域约束(如 “值域为影响的 “整体范围” 匹配最值条件。 解题关键: (1)确定 “” 的区间; (2)分析三角函数在上的最值是否满足题干条件: 若要求 “最大值为 1”(正弦/余弦函数的最大值),需保证内包含(正弦)或(余弦); 若要求 “最小值为内包含或(正弦)等对应角度。 (3)列不等式:通过 “是否包含关键角度” 或 “关键角度的边界” 求解。 题型4:利用 “零点个数” 求范围 题型特征: 题干给出三角函数在某区间上的零点数量(如 “在内有 3 个零点”“在内有 4 个零点”),核心是利用 “周期内的零点数” 与 “区间长度” 的关系。 解题关键: (1)明确三角函数的零点分布: 正弦型,即,相邻零点间距为(半个周期); 余弦型(),相邻零点间距同样为。 (2)确定区间内的零点数:设区间为” 在区间内覆盖的 “(注意 “闭区间包含端点零点”,开区间不包含)。 题型5:利用 “对称性(对称轴/对称中心)” 求范围 题型特征: 题干给出三角函数的对称轴或对称中心约束(如 “图像关于直线对称”“对称中心为内有 2 条对称轴”),需结合对称性的代数条件。 解题关键: (1)对称性的代数条件: 对称轴:对();对,对称轴满足; 对称中心:对();对),对称中心横坐标满足。 (2)若题干给出 “某区间内的对称轴 / 对称中心个数”,需计算 “” 在区间内覆盖的 “对称轴 / 对称中心对应的角度数”,列不等式求解。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、利用“周期性质”求 典例探究 【例题1】已知函数 的图象的两相邻对称轴之间的距离小于对任意恒成立,则实数的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简,结合周期公式可求出,由已知可得的最大值为,求出的表达式,结合不等式即可求得答案. 【详解】由于,故, 因为函数的图象的两相邻对称轴之间的距离小于,故, 又对任意恒成立,故, 即,则,则, 结合,可知时,取最小值2,即实数的最小值为2, 故选:B 举一反三 【1-1】若函数的图象的两对称中心间的最小距离为,则等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的性质及周期公式求解即可. 【详解】因为函数的图象的两对称中心间的最小距离为, 所以,则, 所以,解得. 故选:A. 【1-2】已知函数,集合中恰有3个元素,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用辅助角公式将函数转化为,集合只含有个元素,表示时在上只有三解,求出的根,从而得出的范围. 【详解】因为函数, 所以, 因为集合含有个元素, 所以时在上只有三解,即, 解得:或, 故或, 要使其落在上, 故只有、、,其他值均不在内, 故,解得,故, 故选:C. 【1-3】已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合,则 的最小值是( ) A.3 B. C. D. 【答案】B 【分析】求出图象平移后的函数表达式,与原函数对应,求出的最小值. 【详解】依题意知,,∴,∴,∴ 的最小值为. 故选:B. 题型二、利用“单调性”求 典例探究 【例题2】函数在上单调递减,则的最大值为( ) A. B. C. D.1 【答案】B 【分析】求出函数的单调减区间,利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令,故, 所以函数的减区间为, 因为在上为减函数, 故存在,使得,因为, 所以,所以,故, .则的最大值为. 故选:B. 举一反三 【2-1】若函数在上单调递减,则的最大值为( ) A. B. C. D.1 【答案】A 【分析】利用余弦函数在上是单调递减的,结合相位的整体思想,即可得到不等式求解的范围,从而可判断选项. 【详解】令,因为,所以, 因为函数在上单调递减, 所以函数在上单调递减, 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有,解得,所以的最大值为. 故选:A. 【2-2】已知函数是奇函数,是图象的一条对称轴,且在区间上单调,则的可能取值有( ) A.1个 B.2个 C.6个 D.无数个 【答案】B 【分析】结合题意,根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可. 【详解】因为函数是奇函数, 所以,而,则, 此时, 由是图象的一条对称轴, 所以,则, 又在区间上单调,则,即,则或6, 当时,, 由,则,因为函数在上单调递增, 所以在上单调递增, 即在上单调递减,满足题意; 当时,, 由,则,因为函数在上单调递增, 所以在上单调递增, 即在上单调递减,满足题意. 综上所述,或6. 故选:B. 【2-3】已知函数在区间上单调递增,则的最大值为( ) A. B. C.1 D. 【答案】C 【分析】以为整体,结合正弦函数的单调性分析求解可得,即可得结果. 【详解】因为,且,则, 若函数在区间上单调递增, 注意到,则,解得, 所以的最大值为1. 故选:C. 题型三、利用“最值或值域”求 典例探究 【例题3】已知函数在区间上的最小值为-3,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】依题意,当时,有;当时,有,求解即可. 【详解】函数在区间上的最小值为, 当时,,则有,解得; 当时,,则有,解得, 的取值范围是. 故选:D 举一反三 【3-1】已知函数在区间内有最大值,但无最小值,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】求出的范围,由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【详解】∵,∴时,, ∵在区间内有最大值,但无最小值, 令,结合图象, ∴,解得. 故选:B. 【3-2】已知函数()在区间内有且仅有一个,使得,则的最大值为( ) A.11 B.10 C.9 D.8 【答案】A 【分析】问题化为在内有且仅有一个最小值,结合余弦函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设在区间内有且仅有一个最小值,此时, 故在内有且仅有一个最小值,则, 所以,则的最大值为11. 故选:A 【3-3】设函数,若函数的图象关于点对称,且在区间上的值域为,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据已知及函数的对称中心得、,即可得解析式,再由余弦函数的区间值域,结合其图象得,即可得解. 【详解】由函数的图象关于点对称,则且, 所以,,则,即, 当,则,此时, 所以,结合余弦函数的图象知,可得. 故选:B 题型四、利用“零点个数”求 典例探究 【例题4】函数在上单调递增,且在上恰有三个零点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求函数的单调递增区间及零点,由条件列不等式可求结论. 【详解】由,,, 可得, 所以函数的单调递增区间为,, 因为函数在上单调递增, 所以, 所以,所以, 由,,, 可得,, 所以函数的零点的集合为,, 因为函数在上恰有三个零点, 所以,, 所以, 所以, 所以的取值范围为. 故选:D. 举一反三 【4-1】已知函数,函数在上有3个不同的零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】函数在上有3个不同的零点,即有3个不同的根,再结合正弦函数性质即可求解. 【详解】由题意知,函数在上有3个不同的零点,即有3个不同的根, 所以有三个根, 因为, 所以, 因为, 所以, 故选:B. 【4-2】已知函数,若在区间内没有零点,则的最大值是( ). A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简,结合正弦函数零点性质,即可求解. 【详解】, 令,,. 又函数在区间内没有零点,所以, 解得,, 所以,,,,所以的最大值是. 故选:C. 【4-3】已知函数,若在区间上单调递增,且在区间上有且只有一个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】化简的解析式,根据三角函数的单调性、零点列不等式,由此求得的取值范围. 【详解】 . ,由于在区间上有且只有一个零点, 所以, 而, 其中,而, 在区间上单调递增, 所以,解得, 则. 故选:D 题型五、利用“对称性”求 典例探究 【例题5】将函数的图象向左平移后得到函数的图象,若的图象关于直线对称,则的最小值为( ) A. B. C. D.4 【答案】B 【分析】根据条件确定函数的对称轴,由对称轴确定的最小值. 【详解】由题意,函数的一条对称轴为:. 由,. 因为,所以当时,取得最小值,为. 故选:B 举一反三 【5-1】已知点在函数的图象上,若恒成立,且在区间上单调,则( ) A.3 B.6 C.12 D. 【答案】A 【分析】由题可得在上单调递增,且,得,得解. 【详解】因为点在函数的图象上,所以, 由,则,且在上单调递减, 所以在上单调递增,由余弦型函数的对称性易知, 所以,即,故. 故选:A. 【5-2】已知函数的图象关于点对称,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据点对称代入计算求解. 【详解】由题意可得, 则,解得. 因为,所以时,取得最小值. 故选:D. 【5-3】已知函数,若f(x)在区间上不单调,且曲线的一个对称中心是,则 的最小值是( ) A.20 B.16 C.13 D.7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心,列式求的集合,再利用代入法求的范围,结合函数的图象,列式求解. 【详解】由条件可知,,得, 当时,, 由条件可知,,得,,且, 综上可知,的最小值为13. 故选:C 题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求 典例探究 【例题6】已知函数在单调,且是的一个零点,直线是图象的一条对称轴,则 的最大值为( ) A.18 B.17 C.14 D.13 【答案】D 【分析】由题意得,故.结合正弦型函数的周期公式可得.由在单调得 ,结合可得.由于最大时,对应也最大,结合所求为的最大值,则考虑从最大的开始代入验证,即可求解. 【详解】由题意得,所以. 又,所以,所以. 因为在单调,所以,即. 结合得,解得. ①当,即时,,所以,. 因为,所以,此时. 当时,,由正弦函数的性质可知函数在上不单调,所以不符合题意; ②当,即时,,所以,. 因为,所以,此时. 当时,,由正弦函数的性质可知函数在上不单调,所以不符合题意; ③当,即时,,所以,. 因为,所以,此时. 当时,,由正弦函数的性质可知函数在上单调递增,所以符合题意. 综上,的最大值为13. 故选:D. 举一反三 【6-1】设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意求得,结合函数在区间恰有三条对称轴､两个零点,得出不等式,即可求解. 【详解】由函数,其中,可得, 因为函数在区间恰有三条对称轴､两个零点, 则满足,解得,所以的取值范围为. 故选:C. 【6-2】已知函数( >0),若f(x)在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数,根据自变量的取值范围求解出的取值范围,进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围 【详解】函数 , 因为, 所以, 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴, 根据函数的图像: 所以,整理得:. 故选:D. 【6-3】已知函数(),若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用整体换元法,结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】函数. 当时,令,则, 若在有且仅有3个零点和3条对称轴, 则在有且仅有3个零点和3条对称轴, 则,解得. 故选:A. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】若函数的最小正周期为,则( ) A. B.3 C. D. 【答案】D 【分析】根据最小正周期得到方程,求出. 【详解】因为的最小正周期为,所以,得. 故选:D 【突破提升训练・2】若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为,则( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【分析】依题意可得的最小正周期,即可求出. 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为, 所以的最小正周期,又,所以. 故选:C. 【突破提升训练・3】已知函数的最小正周期为,则为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】由正切函数的周期性,可得答案. 【详解】由题意可得,解得. 故选:A. 【突破提升训练・4】设函数,若恒成立,且在上存在极值点,则的最小值为( ) A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【分析】化简得到,根据,求得且,结合三角函数的图象与性质,列出不等式,即可求解. 【详解】由函数, 因为,可得,解得, 令,可得, 令,解得, 当时,取得最小值2,即的最小值为. 故选:C. 【突破提升训练・5】设函数,若,满足,且,则的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【分析】根据得出,分别为最大值点和最小值点,再结合以及可以得到答案 【详解】,且, ,分别为最大值点和最小值点, 又, ,,整理得, 又, ,,整理得,, 又, 的最小值为4. 故选:B 【突破提升训练・6】已知函数的图像向左平移个单位后,得到的图像,若,的图像关于轴对称,则的最小值为( ) A.4 B.8 C. D. 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得,再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得, 因为,的图像关于轴对称, 则, 所以,,解得,, 又,所以的最小值为4, 故选:A 【突破提升训练・7】已知函数,(,),,,且在区间上单调,则的最大值为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性确定的取值范围,再由两个函数的值列出方程组,求解后分析即得的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为, 因为在区间上单调,所以,即, 又因为,则有, 又,,则得, 消去,可得,即, 因为,所以,可得, 故当时,取得最大值为5, 当时,,,, 此时,符合题意. 故选:B. 【突破提升训练・8】已知函数,(,),,,且在区间上单调,则的最大值为( ) A.3 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】根据函数的单调性确定的取值范围,再由两个函数的值列出方程组,求解后分析即得的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为,, 因在区间上单调,则,因,则有, 又,,则得, 消去,可得,即, 因,可得, 故当时,取得最大值为5. 当时,,由可得, 此时,符合题意. 故选:B. 【突破提升训练・9】已知直线是函数(其中)的图象的一条对称轴,且函数在区间上单调,则的值为( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴,可得,再根据在区间上单调,则,可得,运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴,有,可得, 又由函数在区间上单调,则,可得, 有,有,可得,. 故选:A. 【突破提升训练・10】已知函数在有且仅有个极小值点,且在上单调递增,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据余弦型函数得图像特征,借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数,极小值点为. ,令. 因为有且仅有个极小值点. 当时,;当时,;当时,. 所以,解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于,令, 则. 因为在上单调递增,所以. 当时,,当时,, 故,则且. 解不等式得. 综合以上两个条件,的取值范围是. 故选:D. 【突破提升训练・11】已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意,得到,结合余弦函数的性质,列出不等式,即可求解. 【详解】由,可得, 要使得函数在区间上单调递减, 则满足且,解得,即的取值范围是. 故选:D. 【突破提升训练・12】已知函数,若在区间上单调递增,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围,根据正切函数的单调性可得出,由此可得出关于的不等式组,由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时,由于,则, 因为在区间上单调递增,则, 所以,,解得,因此,的取值范围为. 故选:A. 【突破提升训练・13】已知在区间上的最大值为,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先求出,再根据解方程即可. 【详解】因为,即, 又,所以,所以, 所以,. 故选:A. 【突破提升训练・14】若函数在上为减函数,且在上的最大值为,则的值可能为 A. B. C. D.1 【答案】A 【分析】由正切函数的性质,得到且,进而求解的值,得到答案. 【详解】由题意,函数在上为减函数, 可得且,解得, 当时,解得,故选A. 【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记正切函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 【突破提升训练・15】已知函数在上的值域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【详解】当时,,结合余弦函数的性质知,若则该函数值域会出现大于的情况,则. 时,由值域为,, 所以, 所以 故选:A. 【突破提升训练・16】已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围,再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时,. 因为在上有且仅有2个零点, 所以,解得. 故选:C 【突破提升训练・17】已知函数的图象经过点,若在上有且只有两个最值点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题设可得,即,再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围. 【详解】由函数的图象经过点, 所以,由于,则,则. 由,可得, 因为在上有且只有两个最值点,则, 所以. 故选:A 【突破提升训练・18】已知.若是函数的零点,直线是函数图象的对称轴,在区间上单调,则的最大值是( ). A.14 B.9 C.10 D.6 【答案】B 【分析】根据已知可得,为正奇数且.结合为的零点,为图象的对称轴,求出符合题意的解析式,并结合在上单调,可得的最大值. 【详解】解法1:由得,则. 当时,只能取,则,, 从而,是图象的对称轴. 当时,,这个区间不含中的任何一个, 故函数在上单调,符合题意. 当时,只能取,则,, 从而,是图象的对称轴.当时,, 这个区间含有,则函数在上不单调,不符合题意. 当时,只能取,则,, 从而,是图象的对称轴. 当时,,这个区间不含有中的任何一个, 函数在上单调,符合题意. 当时,只能取,则,, 从而,是图象的对称轴.当时,, 这个区间含有,则函数在上不单调,不符合题意. 综上,的最大值为9. 解法2:根据函数的图象特征知,它的一个零点和一条对称轴之间的最近距离为周期的四分之一, 所以,即,可得,其中. 所以函数的极值点为. 由于在上单调,所以对于任意的, 都有, 即. 当时,,存在,不合题意; 当时,,对任意的,符合题意. 解法3:从,入手来思考,要取最大值, 可以结合选项,从取值最大的选项开始,一一验证. 当时,,从单调区间的一个端点往前推算, 靠近的单调区间为,,容易看出,不合题意. 当时,,从单调区间的一个端点往前推算, 靠近的单调区间为,,容易看出,符合题意. 解法4:由得,则, 从而其中. 由,即,可知为正奇数. 由得 又由于,所以只能取. 当时,;当时,;当时,; 当时,. 因为是正奇数且不超过12,所以. 当时,,, 该区间含有,则在上不单调,不符合题意. 当时,,, 该区间不含有中的任何一个,则在上单调,符合题意. 综上,的最大值为9. 解法5:由题意知,得,即,从而①. 又由题意可得其中,则. 又因为,所以. 当时,,②. 由①②可得,的最大值为9. 故选:B. 【突破提升训练・19】函数(且在上单调,且,若在上恰有2个零点,则的取值最准确的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由结合函数单调性,即可确定的一个对称中心为,即可求得;利用函数的对称中心和单调区间,结合周期可得,求出,再结合函数零点个数,列出不等式求得,综合,即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调, 且满足,而,, 即的一个对称中心为,故; 而,故在区间上单调, 设函数的最小正周期为T,则; 函数在区间上恰有2个零点,则恰好为第一个零点, 相邻两个零点之间相距半个周期, 故,即, 解得,结合, 可得的取值范围为, 故选:B. 【突破提升训练・20】已知函数在上恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】在同一坐标系中,作出函数的图象,即可根据交点个数列不等式求解. 【详解】由可得, 在同一坐标系中作出的图象如下: 要使在上恰有4个不同的零点,则 且,解得, 故选:B 【突破提升训练・21】已知函数在区间上单调递减,且在区间上只有1个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得. 【详解】当时,, 则, 当时,,则, 即有,解得. 故选:C. 【突破提升训练・22】已知函数经过点,且在上只有一个零点,则的最大值为( ) A. B. C.2 D. 【答案】C 【分析】运用代入法,结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为经过点, 所以,因为,所以, 即,令, 因为,所以, 因为在上只有一个零点, 所以有,所以的最大值为, 故选:C 【突破提升训练・23】若函数()在区间上单调递减,且在区间上存在零点,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得,由余弦函数的零点可得,即可得解. 【详解】当时,, 又,, 函数()在区间上单调递减, ,即,解得; 令,则,即, 由,可得当且仅当时,, 又函数()在区间上存在零点, ,解得; 综上,的取值范围是. 故选:D. 【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用,考查了运算求解能力,属于中档题. 【突破提升训练・24】已知函数,将的图象先向左平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,得到函数的图象,若图象关于对称,则为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简,由图象的平移变换得,又,即,结合即可求解. 【详解】由题意有, 由的图象先向左平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度, 得到函数, 故, 所以,,,由于,所以. 故选:A. 【突破提升训练・25】已知函数的图象关于直线对称,则的取值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】依题意可知取最值,由此列出不等式求解即可. 【详解】,由题意可得, 解得,当时,. 故选:C 【突破提升训练・26】已知函数的图象关于直线对称,则的取值可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】由正弦型函数的对称性知,即可求解. 【详解】由题意,,得, 当时,, 故选:B. 【突破提升训练・27】若函数关于对称,则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称性可得,再将代入求解即可. 【详解】函数关于对称,则其对称轴满足,为整数, 将代入,得,解得,又因为,所以当时,取得最小值为3, 因此,的最小值为3,所以B正确. 故选:B. 【突破提升训练・28】已知函数(),,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数,由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对称轴,即可求得的最小值. 【详解】, ∵,要求的最小值,则函数周期,即. ∴函数关于对称,,即, ∴的最小值为, 故选:B. 【突破提升训练・29】若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据正切型函数的性质,结合题意,可得的表达式,赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知, 其图象的对称中心的横坐标满足, 因为点是函数图象的一个对称中心, 所以, 又,故当时,, 所以的最小值为, 故选:C. 【突破提升训练・30】已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为,则下列说法错误的是( ) A.函数的最小正周期为 B.是函数的一个零点 C. D. 【答案】C 【分析】化简的解析式,根据的对称轴和对称中心的最小距离求得,根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案. 【详解】,, 由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为, 所以,所以, A选项,函数的最小正周期为,A选项正确. B选项,,所以是函数的一个零点,B选项错误. C选项,,所以C选项错误. D选项,,所以,D选项正确. 故选:C 【突破提升训练・31】将函数图象向左平移个单位长度,再将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍,得到函数的图象.若函数在区间上恰有8个零点,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换的知识求得,由在区间上的零点个数列不等式,从而求得的取值范围. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度, 得, 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的倍,得到函数, 由,可得, 即, 显然当时,零点在内, 当时,,即; 当时,,即 综上可得,. 故选:B 【突破提升训练・32】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,所得图象在区间上恰有两个零点,且在上单调递增,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数的伸缩可得函数解析式,再利用整体法判断零点及单调性情况,可得不等式,解不等式即可得解. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的可得, 设, 当时,, 由函数在上恰有两个零点, 则,解得, 又当,, 则,, 函数在上单调递增, 所以,解得, 综上所述, 故选:C. 【突破提升训练・33】已知函数,是函数的一个零点,且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调,则的最大值为( ) A.18 B.17 C.14 D.13 【答案】D 【分析】由已知可得,结合,得到(),再由是的一个单调区间,可得T,即,进一步得到,然后对逐一取值,分类求解得答案. 【详解】由题意,得,∴, 又,∴(). ∵是的一个单调区间,∴T,即, ∵,∴,即. ①当,即时,,,∴,, ∵,∴,此时在上不单调, ∴不符合题意; ②当,即时,,,∴,, ∵,∴,此时在上不单调, ∴不符合题意; ③当,即时,,,∴,. ∵,∴,此时在上单调递增, ∴符合题意, 故选:D 【突破提升训练・34】已知函数,若在区间内有且仅有4个零点和4条对称轴,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简函数,再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得. 【详解】函数,当时,, 由在区间内有且仅有4个零点,得,解得, 由在区间内有且仅有4条对称轴,得,解得, 所以的取值范围是. 故选:C 【突破提升训练・35】设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据对称轴满足的条件,结合在区间上恰有三条对称轴,可得,结合区间上恰有两个零点,知,从而可得的取值范围. 【详解】由,得. 根据函数的图象在区间上恰有三条对称轴,知,得. 根据函数在区间上恰有两个零点,知,得. 综上,的取值范围为. 故选:C 【突破提升训练・36】若函数在上有且仅有三个零点,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用整体思想,求出的所在区间;再根据正切函数的性质确定区间右端点所处位置,解出的取值范围. 【详解】当时,. 原条件等价于在上有且仅有三个零点. 进而可确定,解得. 故答案为: 1 学科网(北京)股份有限公司 $