重难点21：破解圆锥曲线垂直弦：圆锥曲线中的垂直弦问题（培优固本提能讲义）-2026届高三数学一轮复习

重难点21：破解圆锥曲线垂直弦：圆锥曲线中垂直弦的定点、定值、最值、范围问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、内接直角三角形斜边过定点 3 题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点 9 题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 14 题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 20 题型精析・方法突破提能力 26 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：内接直角三角形斜边过定点（直角定点需为定点） 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）内接直角三角形斜边过定点。 解题策略：设斜边所在的直线为，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，再得出两直角边所在的直线斜率，利用乘积为-1（或数量积为0）即可得出定点。 注意：讨论斜率不存在的情况。 题型2：两相互垂直弦的中点连线过定点（两垂直弦交点需为定点） 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）过定点（垂直弦的交点过定点，一般为圆锥曲线焦点）的垂直弦的中点所在直线过定点。 解题策略：设其中垂直弦所在的直线（点斜式，注意两直线斜率为负倒数关系），联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，利用中点坐标公式求出中点坐标，再由中点坐标即可得出定点。 注意：讨论斜率不存在的情况。 题型3：两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 定值：相互垂直弦的弦长倒数和（或平方和）为定值。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，最后求倒数和即可。 最值或范围：相互垂直弦的弦长和有最值。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再求弦长和的最值或范围（其中可能需要用换元法化简，需要把分子化为常数，分母化为二次型的函数，再求最值或范围）。 题型4：两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 最值或范围：相互垂直弦组成四边形的面积的最值或面积问题。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再利用面积等于对角线乘积的一半求出四边形面积（利用换元法+基本不等式/二次函数求最值，一般是将分母化为基本不等式类型或二次函数类型）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、内接直角三角形斜边过定点 典例探究 【典型例题 1】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 举一反三 【1-1】设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可； （2）先将转化为，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. 【详解】（1）因为椭圆E: （a，b>0）过两点， 所以，解得，得，所以椭圆E的方程为. （2）由（1）知，设 由可知，，所以，   即： 所以  （※） 联立直线和椭圆方程，消去y，得： 由所以   代入方程※，可得，即得 所以，所以， 所以，直线l 的方程为 所以，过定点或，根据题意，舍去 所以，直线过定点 【1-2】已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】解法一：先设直线的方程，然后按照为元整理圆锥曲线方程，将直线方程整体代入双曲线方程化成齐次方程，构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理可证明直线过定点；解法二：将整个图形平移至点与原点重合得到，然后设新坐标系中直线平移后的直线方程，再将直线方程代入双曲线方程中进行齐次化，然后构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理求出定点再还原成原坐标系的定点即可. 【详解】解法一： 设直线． 将双曲线方程写为． 化简展开得． 即， 将代入上式，可得： 整理得：． 两边同时除以可得关于的一元二次方程： （*）. 设，且的斜率分别为，则， 故即方程(*)的两个根，则，因，则， 故得，即，可得， 代入整理得：， 由，解得即直线过定点． 解法二： 将整个图形平移至点与原点重合，则原坐标系中的点变为新坐标系中的点，记为， 所以双曲线方程变为. 展开得． 设新坐标系中直线平移后的直线. 将直线方程代入双曲线得， 整理得． 方程两边同时除以得到关于的一元二次方程． 则平移之后的与的斜率恰好可以用与表示，也就是上述一元二次方程的两个解，设为，． 因为平移不改变直线的斜率，所以，即． 由韦达定理得，，即， 而直线，即直线过定点． 还原到原来的状态，即向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 因为直线过定点，所以直线过定点． 【1-3】是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问：动直线是否过定点？定点坐标是什么？ 【答案】动直线过定点，定点坐标为 【分析】由垂直对称轴，点趋向点两种情况可得定点.设直线的方程为，，利用可求得结论. 【详解】如图，一方面，直接让垂直对称轴，交抛物线于点， 此时平行于轴（点趋向无穷远），故也平行于轴， 所以定点必在其上，即纵坐标为． 另一方面，过点的抛物线的法线（当点趋向点时，即为点处的切线，此时即为法线）必过定点，即得定点的坐标为． 即动直线过定点，定点坐标为. 设直线的方程为，， 由，可得， 所以， 因为，所以，又， 所以， 所以， ， 所以，， 所以或， 当时，可得，所以直线过定点， 当时，可得，所以直线过定点（舍去）. 所以直线过定点. 题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆经过点，且椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及，设线段的中点分别为．求证：直线恒过一个定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率得，再根据椭圆上的点得，联立方程求得，，即可得解. （2）当直线的斜率不存在时，直线过轴；当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用韦达定理得，同理求得，求出直线的方程，即可求解恒过定点. 【详解】（1）由，得，即，即①． 由椭圆过点知，②．联立①②式， 解得，．故椭圆的方程是． （2）直线恒过一个定点． 证明：椭圆的右焦点为，分两种情况． ①当直线的斜率不存在时，，则． 易得，又，此时直线过轴；    ②当直线的斜率存在时，设，则， 又设点，． 联立方程组化简得， 所以，． 则． 由题意知，直线的斜率为，同理可得点． 则， 所以方程为， 即． 令，，，解得，． 故直线恒过一个定点， 综上，直线恒过一个定点． 举一反三 【2-1】已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【分析】（1）由焦点坐标以及短轴长的概念，结合椭圆的标准方程，可得答案； （2）利用分类讨论，分直线斜率存在与否，设出直线方程以及交点坐标，写出中点坐标，联立方程，写出韦达定理，可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 【2-2】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    【2-3】已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆的右焦点，过作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆相交得到弦，.设弦，的中点分别为，.证明：直线必过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意确定出与的值，利用离心率公式求出的值，进而求出的值，确定出椭圆方程即可； （2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，由，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到坐标，同理表示出，分情况求直线，证明其过定点；当直线，之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，也过定点，命题得证. 【详解】（1）依题意，，且，所以，. 又椭圆：过点，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 当直线不垂直于坐标轴时， 设直线的方程为，，， 由，得直线的方程为，         由消去得：，         则，， 故， 于是，由代替，得，         当，即时，直线，过点；         当，即时，直线的斜率为，         直线， 令，， 因此直线恒过点.         当直线，之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点， 所以直线恒过点. 题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为． (1)求的值； (2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【分析】（1）利用题意可得到，进而得到，利用题意得到的方程组，即可得到答案； （2）易知上焦点的坐标，分当直线（或）与轴平行时和当直线（或）与轴不平行时进行分类讨论，当不平行时，不妨设，则，将代入，根据韦达定理解得弦长，将代换可得即可证明 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆E在内的弧长为，可得，即有， 设在第一象限，可得，，即为， 将代入椭圆方程可得， 联立解得， （2）由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为， ①当直线（或）与轴平行时，可得， 将代入椭圆得，则， 则； ②当直线（或）与轴不平行时，设，则， 联立方程组，消去y并化简得， 设点，，∴，， 即有， 将k换为，可得， 则， 综上所述，为定值． 举一反三 【3-1】设椭圆经过点，且其左焦点坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据弦长公式求得，同理求得，从而建立目标式关于参数的函数关系，再求函数最小值即可. 【详解】（1）椭圆经过点，且其左焦点坐标为， ，，则，， 椭圆的方程为：． （2）对椭圆，令，可得，则， ①当直线，中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，设，，，， 由，得， ，， ， 设直线的方程为，同理得：， 所以， 设，则，则， 所以时，有最小值． 综上，的最小值是． 【3-2】已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：． 【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论； （2）设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P1P2|，以﹣代入，可得|Q1Q2|，代入可得结论． 【详解】（1）∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等， 由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线， 设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2． ∴轨迹C的方程为y2＝4x． （2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0， 设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝， ∴|P1P2|＝x1+x2+p＝， 以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2， ∴． 【3-3】已知椭圆的短轴为，椭圆上的点到焦点的最短距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线与的斜率之和为定值； （3）过右焦点作相互垂直的弦，求的最小值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）由题知，，再结合即可得椭圆的标准方程为； （2）由题意得，设，直线为，直线与椭圆联立化简得，进而； （3）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线为，直线为，进而得，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为，所以， 又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为，所以， 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意得 ， 设直线为，与联立得： 设，则 所以 ， 所以与的斜率之和为定值； （3）当直线斜率不存在时， 当直线斜率存在时，设直线为，直线为， 得， 所以， 所以， 同理， 所以 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 典例探究 【典型例题】已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B、F都在直线上，结合平方关系即可列出关于的方程组并求解即可； （2）设出直线方程，由直线与圆相切可得，联立直线与椭圆方程结合椭圆方程表示出弦长，进一步表示出面积，从而即可得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为， 因为点B、F都在直线上，所以，，又， 所以，，， 所以椭圆的方程为：， （2） 由题知的斜率存在且不为0． 设． 因为与圆相切，所以，得． 联立与的方程， 可得， 设，， ， 则，． 所以， 将代入，可得． 用替换，可得． 四边形的面积． 令，则，可得， 再令，，则， 可得，等号成立当且仅当，即，即， 即四边形面积的最小值为． 举一反三 【4-1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）通过离心率，可得与的关系；再利用点，得到与的关系；通过方程组求得椭圆方程； （2）先分斜率是否存在分类讨论，再设直线方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可利用弦长公式和点到直线距离公式得,再结合椭圆的对称性将四边形面积转化为求解,结合不等式求四边形面积的最大值． 【详解】（1） 由，得， 则， 故椭圆方程可化为， 将代入上式得， 则， 故椭圆的标准方程为． （2） 由题意得，四边形为菱形， 则菱形的面积 当直线的斜率不存在或为0时，易得 当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程为，则的方程为， 设， 将代入， 得， 则， 则 ． 综上，的最大值为． 【4-2】设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，结合，求得的值即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则， 故的方程为． （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为．   【 【4-3】已知椭圆与抛物线有共同的焦点，抛物线准线与椭圆交于、两点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的左焦点坐标，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出椭圆的标准方程； （2）对直线和是否同时存在进行分类讨论，在直线和有一直线斜率为的情况下，直接求出四边形的面积；在直线和的斜率都存在时，设出两直线的方程，求出、，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值，综合可得出结果. 【详解】（1）解：抛物线焦点坐标为，准线方程为， 因为抛物线准线与椭圆交于、两点，且，则点在椭圆上， 所以椭圆的左焦点为，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：若直线和有一直线斜率为，则另一直线的方程为， 将代入椭圆的方程得， 所以四边形的面积为； 若直线和的斜率都存在，则设直线的方程为，直线的方程为，其中， 联立方程组，消元得， ， 设、，则， 即 用代替可得， 所以四边形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因为，综上所述，四边形的面积最小值为. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意结合导数的几何意义可得，，设直线OM的方程为，则直线ON的方程为，进而可得，，即可得结果. 【详解】由题意可知：，即． 又因为，则，可得， 即曲线在处切线的斜率， 由题意可知：双曲线C的一条渐近线为， 即，解得， 所以双曲线C的方程为． 以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知， 设直线OM的方程为，可知， 则直线ON的方程为， 联立方程，消去y整理得， 即，故，则， 同理可得：， 所以. 故选：A． 【突破提升训练・2】过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，推导出=；当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分别利用弦长公式求出|AB|、|CD|的长度，由此能推导出=为定值． 【详解】由椭圆，得椭圆的右焦点为F（1，0）， 当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1， 则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4， 则=； 当直线AB的斜率存在时， 设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣（x﹣1）． 又设点A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立方程组， 消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， ∴， ∴|AB|===， 由题知，直线CD的斜率为﹣， 同理可得|CD|=． ∴=为定值． 故选D． 【突破提升训练・3】过抛物线（）的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】抛物线的焦点坐标为，所以设经过焦点直线的方程为， 所以，整理得，设点，，，， 所以，所以， 同理设经过焦点直线的方程为， 所以，整理得， 所以：，所以， 则则． 故选：D. 【突破提升训练・4】已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【答案】 【分析】设出直线的方程，点和点的坐标，求出点的坐标，联立求出韦达定理，分和两种情况即可求解. 【详解】 由题意可设，， 则，由得：， 与双曲线有两个交点，，则，， 当时，点与点重合，此时直线为轴， 当时，将上式点坐标中的换成，可得， ①当直线不垂直于轴时，， 则直线，化简得：，直线过定点， ②当直线垂直于轴时，，解得：，此时直线也过定点. 综上所述：直线过定点. 故答案为：. 【突破提升训练・5】已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值. 【答案】(1)， (2)直线过定点，面积的最大值 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可. 【详解】（1）解：由题意得： ， 故可知 椭圆方程为：，离心率为： （2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点 又由（1）可知： 设直线AB的方程为：，， 联立方程可得： 有韦达定理可知：， 又 又 展开后整理得：，解得：或（舍去） 直线恒过定点 令 则 由对勾函数的单调性可知： 所以，当且仅当，即时取等号 此时的最大值为： 【突破提升训练・6】已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上. （1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值； （2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）直线恒定过点. 【分析】（1）设，则，将坐标带入椭圆化简即可； （2）设直线，与椭圆联立得，设，由,韦达定理代入得，直线恒定过点，当直线斜率，易得成立. 【详解】（1）由题意设，则，所以有，又因为,所以,(定值). （2）直线过点，理由如下:   ① 当直线斜率，易得, 直线的方程为. 直线过点. ②由已知，椭圆方程为，设直线， 则， 设，则,， ，， 或(舍去), 方程为，则直线恒定过点， 综上所述，直线恒定过点. 【突破提升训练・7】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    【突破提升训练・8】已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程： (2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由， 【答案】(1)，； (2)直线恒过点,，理由见解答． 【分析】（1）由题意,，,，，结合双曲线的定义求解即可得结论； （2）设直线的方程为，联立直线和双曲线的方程消元后，应用韦达定理，结合条件，可得，化简整理即可求解． 【详解】（1）如图，设圆的圆心为，半径为， 由题可得圆半径为3，圆半径为1，则，， 所以， 由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支， 又,，,， 所以动圆的圆心的轨迹方程为，， 即曲线的方程为，． （2）设直线的方程为， 联立，消去得， 由题意直线与曲线有两个交点，则， 设,，,，其中，， 由韦达定理得：，， 又点，所以,，,， 因为，所以， 则 ， 即， 解得舍去）， 当，直线的方程为，， 故直线恒过点,． 【突破提升训练・9】如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法求得三个坐标之间的关系，利用，设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点.化简得中点的轨迹方程； （2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得直线过定点. 【详解】（1）设，， 则 ， 解得（舍）或， 由，两式作差得 当时，,故， 设：，联立，得（*） ，，且， 故直线，可知直线恒过定点， ∴且, 故，即， 当，亦满足上式，， 所以所求为. （2）由（1）可知直线 所以直线恒过定点. 【突破提升训练・10】已知抛物线 是曲线上两点，且，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设直线方程为，代入抛物线方程，设，化简得韦达定理，由可推得或，回代入直线方程，即可证明结论. 【详解】 如图，由题知直线的斜率不可能为0，可设其方程为， 代入可得：，则， 设，则， 因，则， 即，则或， 当时，直线经过原点，显然不符合要求； 当时，直线方程为，显然经过点，即直线过定点. 【突破提升训练・11】已知椭圆过点，且长轴长为4. (1)求的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明；直线必过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆的性质结合题意可解； （2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，由两直线垂直斜率关系得到直线的方程，联立曲线方程用韦达定理表示出点坐标和直线方程即可；当直线之一垂直于轴时，另一条必垂直于，直接得到定点即可. 【详解】（1）依题意，，故，而， 所以椭圆的方程为. （2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，， 由，得直线的方程为， 由消去得：， 则，故， 于是，由代替，得， 当，即时，直线：，过点， 当，即时，直线的斜率为， 直线：，令， 因此直线恒过点， 当直线之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线为轴，过点， 所以直线恒过点. . 【突破提升训练・12】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线上点的坐标列方程组求解即可. （2）当与坐标轴平行时，直线与轴重合；当不与坐标轴平行时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，从而求出，同理可得，求出直线的方程，即可求解直线恒过的定点. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 且点在上， 有解得故双曲线的方程为. （2）由题意可知不与渐近线平行， 当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合. 当不与坐标轴平行时，左焦点为， 不妨设直线的方程为，联立 消去并整理得，， 设，则 所以，所以. 又直线互相垂直，用替换，则可得. 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，所以直线过. 综上，直线恒过点.    【突破提升训练・13】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为． (1)求C的标准方程； (2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求出它们的值，即可求得答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在情况，存在时，设出直线方程，联立双曲线方程求出坐标，表示出直线的方程，推出直线过定点，即可证明结论. 【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c， 根据题意得，解得， 所以C的标准方程为； （2）当直线和斜率均存在时， 设直线的方程为，，，中点， 由，消去，得， 则，，， 故； 设直线的方程为且， ，中点， 同理可得， 因为，所以，， 当时，，此时，直线的方程为； 当时，，此时直线MN的斜率， 直线的方程为， 即，此时直线过定点； 当直线和其中一条直线的斜率不存在时，所在直线为x轴，也过点， 综上所述，直线过定点. 【突破提升训练・14】设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    【突破提升训练・15】已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆的几何性质进行求解即可； （2）方法一：设出相应直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、直线点斜式方程，结合互相垂直直线斜率的关系进行运算求解即可； 方法二：设出一条直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系、中点坐标公式、互相垂直直线斜率关系求出相应点的坐标，最后利用直线点斜式方程进行判断即可. 【详解】（1）设， 因为动圆过点，且被轴截得的线段长为4， 所以有， 所以曲线的方程为； （2）由，故为焦点， 由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为0， 设直线，分别为，有， 联立与直线，即有， 消去可得， 故， 则， 故， 即， 同理可得， 当时， 则， 即 ， 由，即， 故时，有， 此时过定点，且该定点为， 当时，即时，由，即时， 故直线过定点，且该定点为；    方法二：设，不妨设. 设，显然，由，得， 故. 所以. 同理可得. 若，则直线过点. 若，则直线过点. 综上，直线过定点. 【突破提升训练・16】已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值． 【答案】（1）＋x2＝1（2） 【解析】（1）直接得出，从而得椭圆方程； （2）先说明斜率不存在时，|AB|＋|CD|的值，在斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立方程组后消元可得x的二次方程，用韦达定理得，由圆锥曲线上的弦长公式求得弦长|AB|，同理可得弦长|CD|，求出|AB|＋|CD|后由函数知识可求得其最小值． 【详解】（1）由题意可知2b＝2，b＝1.又椭圆C的顶点在圆M上，则a＝， 故椭圆C的方程为＋x2＝1. （2）当直线AB的斜率不存在或为零时，|AB|＋|CD|＝3； 当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去y，整理得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 故|AB|＝·＝.同理可得|CD|＝， 所以|AB|＋|CD|＝.令t＝k2＋1，则t>1,0<<1， 所以|AB|＋|CD|＝＝＝， 当0<<1时，2<＋≤，所以≤|AB|＋|CD|＜3， 综上可知，≤|AB|＋|CD|≤3，所以|AB|＋|CD|的最小值. 【突破提升训练・17】已知分别是椭圆  的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是. (1)求C的方程； (2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】(1)由 C的离心率是，△的面积的最大值是，列方程组求出，，，可得C的方程. (2)设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求值. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为，根据题意，有 解得，，．所以C的方程是． （2）证明：当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，． 联立得：． 因为在椭圆C的内部，所以恒成立， 所以，， 所以 ， 同理，将k换成，得， 所以． 当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0， 则，，此时． 综上所示，为定值． 【突破提升训练・18】已知椭圆C的标准方程为两个焦点的坐标为，，且椭圆C与直线相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）过作两条相互垂直的直线，，与椭圆C分别交于P，Q及M，N，求四边形面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可得c的值，将直线与椭圆联立，由判别式为0，可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程； （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论两条直线与椭圆的联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长、的值，再由函数的单调性求出函数的范围，即面积的范围． 【详解】解：（1）由题意可得，则， 直线与椭圆联立，整理可得：， 由题意可得，即，即，且， 可得：，， 所以椭圆的方程：； （2）由（1）可得， 当过的直线MN的斜率不存在时，则，， 这时； 当直线MN的斜率存在且不为0时，设直线PQ的方程为：，则直线MN的方程为：， 设，， 由，整理可得：， ，， 所以 ； 将直线MN的方程与椭圆联立，整理可得：， ，， 所以弦长， 所以四边形的面积， 令，所以， 所以， ，因为， 所以， 综上所述：四边形面积的取值范围． 【突破提升训练・19】已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条相互垂直的直线分别交于，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据，可得，再根据，求得，再求出，即可得出答案； （2）或垂直坐标轴和均不垂直坐标轴两种情况讨论，根据弦长公式求得，整理从而可得出答案. 【详解】（1）解：∵，∴可设， ∵，∴，即， ∵，∴， ∴； （2）解：①当或垂直坐标轴时，易得，∴， ②均不垂直坐标轴时， 设，， 联立，消整理得， 由韦达定理有，， ∴， 同理可设，， ∴， ∴ ， 综上：的最大值为6. 【突破提升训练・20】已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】求出椭圆E的左、右顶点和上顶点，设圆C的一般方程：，利用待定系数法求出一般方程，化为标准方程即可； 易知椭圆的右焦点，圆心，对直线的斜率是否存在进行分类讨论即可求解； 过圆心，分别作，，垂足分别为G、H，求出，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）易知椭圆E的左、右顶点的坐标为、，上顶点的坐标为， 设圆C的一般方程：， 因为圆C过椭圆的左、右顶点和上顶点， ，解得：， 故圆C的一般方程为：， 标准方程为：. （2）易知椭圆的右焦点，圆心. 当直线l的斜率不存在时，，此时，符合条件； 当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则即：， 设圆心C到直线l的距离为d， ，解得， ，解得， 所以， 综上：直线l的方程为：或； 如图，过圆心C，分别作，，垂足分别为， 则：， ，且， ， 当且仅当时，取等号. 所以：四边形面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点21：破解圆锥曲线垂直弦：圆锥曲线中垂直弦的定点、定值、最值、范围问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、内接直角三角形斜边过定点 3 题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点 4 题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 6 题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 8 题型精析・方法突破提能力 9 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：内接直角三角形斜边过定点（直角定点需为定点） 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）内接直角三角形斜边过定点。 解题策略：设斜边所在的直线为，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，再得出两直角边所在的直线斜率，利用乘积为-1（或数量积为0）即可得出定点。 注意：讨论斜率不存在的情况。 题型2：两相互垂直弦的中点连线过定点（两垂直弦交点需为定点） 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）过定点（垂直弦的交点过定点，一般为圆锥曲线焦点）的垂直弦的中点所在直线过定点。 解题策略：设其中垂直弦所在的直线（点斜式，注意两直线斜率为负倒数关系），联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，利用中点坐标公式求出中点坐标，再由中点坐标即可得出定点。 注意：讨论斜率不存在的情况。 题型3：两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 定值：相互垂直弦的弦长倒数和（或平方和）为定值。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，最后求倒数和即可。 最值或范围：相互垂直弦的弦长和有最值。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再求弦长和的最值或范围（其中可能需要用换元法化简，需要把分子化为常数，分母化为二次型的函数，再求最值或范围）。 题型4：两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 最值或范围：相互垂直弦组成四边形的面积的最值或面积问题。 解题策略：联立直线与圆锥曲线，求出根与系数的，利用弦长公式求出弦长，再利用面积等于对角线乘积的一半求出四边形面积（利用换元法+基本不等式/二次函数求最值，一般是将分母化为基本不等式类型或二次函数类型）。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、内接直角三角形斜边过定点 典例探究 【典型例题 1】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 举一反三 【1-1】设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 【1-2】已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【1-3】是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问：动直线是否过定点？定点坐标是什么？ 题型二、两相互垂直弦的中点连线过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆经过点，且椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及，设线段的中点分别为．求证：直线恒过一个定点． 举一反三 【2-1】已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【2-2】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【2-3】已知椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆的右焦点，过作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆相交得到弦，.设弦，的中点分别为，.证明：直线必过定点. 题型三、两相互垂直弦的距离问题（含定值，最值，范围） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为． (1)求的值； (2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值． 举一反三 【3-1】设椭圆经过点，且其左焦点坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值． 【3-2】已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C． （1）求轨迹C的方程； （2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：． 【3-3】已知椭圆的短轴为，椭圆上的点到焦点的最短距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线与的斜率之和为定值； （3）过右焦点作相互垂直的弦，求的最小值. 题型四、两相互垂直弦的面积问题（含最值，范围） 典例探究 【典型例题】已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值． 举一反三 【4-1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值． 【4-2】设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【4-3】已知椭圆与抛物线有共同的焦点，抛物线准线与椭圆交于、两点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，求四边形面积的最小值. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（    ） A． B．4 C． D．2 【突破提升训练・2】过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为 A． B． C．1 D． 【突破提升训练・3】过抛物线（）的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【突破提升训练・4】已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点 . 【突破提升训练・5】已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值. 【突破提升训练・6】已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上. （1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值； （2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【突破提升训练・7】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【突破提升训练・8】已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程： (2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由， 【突破提升训练・9】如图，已知抛物线是曲线上两点，且． (1)求中点的轨迹方程； (2)求证：直线过定点． 【突破提升训练・10】已知抛物线 是曲线上两点，且，求证：直线过定点． 【突破提升训练・11】已知椭圆过点，且长轴长为4. (1)求的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明；直线必过定点. 【突破提升训练・12】已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【突破提升训练・13】已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为． (1)求C的标准方程； (2)过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记的中点分别为M，N，求证：直线过定点． 【突破提升训练・14】设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【突破提升训练・15】已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线.过点的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. (1)求曲线的方程； (2)证明：直线过定点； 【突破提升训练・16】已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且椭圆C的顶点在圆M：x2＋2＝上． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求|AB|＋|CD|的最小值． 【突破提升训练・17】已知分别是椭圆  的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是. (1)求C的方程； (2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值. 【突破提升训练・18】已知椭圆C的标准方程为两个焦点的坐标为，，且椭圆C与直线相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）过作两条相互垂直的直线，，与椭圆C分别交于P，Q及M，N，求四边形面积的取值范围． 【突破提升训练・19】已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条相互垂直的直线分别交于，求四边形面积的最大值. 【突破提升训练・20】已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $