精品解析：湖北省武汉市黄陂区黄陂区七校联盟2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋十校联盟九年级10月数学监测题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5、 B. 5、 C. 5、1 D. 5、4 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为（　　） A B. C. D. 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 6. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 7. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象上有两点A和B，则的值等于( ) A. 1 B. C. 2025 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛． 13. 二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___． 14. 抛物线的顶点坐标为___________． 15. 已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为_____． 16. 已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论： ①： ②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ③当时，随的增大而减小； ④为任意实数，若，则代数式 的最小值是． 其中正确的是________(填写序号)． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 19. 如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 （1）该抛物线的对称轴为直线_________，当____时，函数有最____值； （2）求抛物线的解析式； （3）当时，写出的取值范围______________． 20. 已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 21. 如图，是边长为1正方形网格中的格点三角形． （1）在图1中，画的高；在上画点E，使得； （2）在图2中，在上画点F，使得；在上画点G，使得． 22. 用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙的长为am，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm． （1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x； （2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？ （3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围． 23. 如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； （1）如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． （2）若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． （3）如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点，E为第三象限内抛物线上一点，且． （1）直接写出A、B、C三点的坐标：A ；B ；C ； （2）求点E的坐标； （3）平面内，直线AB经过A、B，在抛物线上有一动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋十校联盟九年级10月数学监测题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 5、 B. 5、 C. 5、1 D. 5、4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为， ∴二次项系数和一次项系数分别是5、， 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解决此题的关键是掌握配方的步骤；先把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 4. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：∵将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后得到的抛物线的解析式为：； 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵a=-2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为：x=1，本选项正确， D、∵抛物线的开口向下且对称轴为直线x=1，∴当时，随的增大而减小，本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论 6. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】 【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32． 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（ ） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得到a+b-1=1，即可得a+b=3，故答案选D．． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴和与y轴的交点去判断各项系数的正负． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右边， ∴和异号， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和系数之间的关系，解题的关键是掌握利用函数图象判断各项系数的方法． 9. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象上有两点A和B，则的值等于( ) A. 1 B. C. 2025 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据题意，易得，为一元二次方程的两个根，根据一元二次方程的解的定义，结合根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点A和B， ∴为一元二次方程即的两个根， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；本题可根据因式分解法求解方程． 详解】解： ∴，； 故答案为，． 12. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛． 【答案】6 【解析】 【详解】设应邀请x个队参加比赛， 由题意则有：x(x-1)=15， 解得x=6或x=-5(不合题意，舍去）， 故应邀请6个队参加比赛． 故答案为：6． 【点睛】考点：一元二次方程的应用． 13. 二次函数y=，当x<0时，y随x的增大而增大，则m=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义可列出方程，再根据当x<0时，y随x的增大而增大，可确定m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵当x<0时，y随x的增大而增大， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的定义列出方程，利用二次函数的增减性确定m的值． 14. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式的顶点坐标为是解题的关键．根据二次函数的顶点式可直接得出图像的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴其图象的顶点坐标为， 故答案为：． 15. 已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤3时，函数的最小值为﹣4，则m的值为_____． 【答案】2或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，利用二次函数的增减性结合图象确定出函数值y取最小值-4时对应的x的值，代入解析式即可解决问题． 【详解】解：二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），的对称轴为x＝m， ∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小， ∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝-1时，函数值y最小值为﹣4， 可得：﹣4＝1+2m， 解得：m＝； ②若﹣1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2； ③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为﹣4， 可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝，不合题意； ∴m的值为2或． 故答案为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的最值确定问题，分类讨论及数形结合思想的应用是解题的关键． 16. 已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论： ①： ②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ③当时，随的增大而减小； ④为任意实数，若，则代数式 的最小值是． 其中正确的是________(填写序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】将点代入解析式得出，即可判断①，进而计算，即可判断②，根据题意，得出对称轴为，即可判断③，根据题意求得对称轴进而得出函数的最小值，即可判断④ 【详解】解：将点代入，得， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∵， ∵， ∴，故②正确， ∵，则， ∴对称轴为，即对称轴为直线，故③不正确； ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴的最小值为 ∴代数式 的最小值是．故④正确， 故正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】b的值为，方程的另一个根为4 【解析】 【分析】设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根是， ∴， 解得：， 即b的值为，方程的另一个根为4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 19. 如图，抛物线经过原点，顶点坐标为 （1）该抛物线的对称轴为直线_________，当____时，函数有最____值； （2）求抛物线的解析式； （3）当时，写出的取值范围______________． 【答案】（1），，大； （2） （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． 因为抛物线的顶点在抛物线的对称轴上，根据抛物线的顶点坐标为，可知抛物线的对称轴是，因为抛物线开口向下，所以抛物线一定有最大值； 已知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，因为抛物线过原点，可得：，解方程求出的值，即可得到抛物线的解析式； 由函数图象可知，当时，函数有最大值，当和时，对应的函数值均为，所以当时，． 【小问1详解】 解：抛物线经过原点，顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，函数有大值； 故答案为：，，大； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，函数有最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：． 20. 已知关于x一元二次方程：． （1）求证：这个方程总有两个实数根． （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为2的边为腰时，则可知方程有一个根为2，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为2的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2， ∴，解得， ∴方程为，解得或， ∴三角形的三边长为，满足题意， ∴三角形的周长为； 当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 方程，解得， ∴三角形的三边长为，，不满足题意． 综上，的周长为． 21. 如图，是边长为1正方形网格中的格点三角形． （1）在图1中，画的高；在上画点E，使得； （2）在图2中，在上画点F，使得；在上画点G，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及到作垂直，三角形内角和，平移等知识点； （1）根据是横1竖3的矩形对角线，则从出发横3竖1得到点，则，连接与交点即； 根据斜边中线等于斜边一半作中点E，即可得到； （2）结合由三角形内角和可得，作等腰直角三角形，边与交点即为； 把平移到，则，根据，得到，则与交点即为，此时． 【小问1详解】 解：画的高，图形如图所示； 在上画点E，使得，图形如图所示； 【小问2详解】 解：在上画点F，使得，图形如图所示； 在上画点G，使得，图形如图所示． 22. 用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙的长为am，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm． （1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x； （2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？ （3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围． 【答案】（1）20；（2）不能；（3）16≤a＜40 【解析】 【分析】与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x＋2）m． （1）由矩形菜园的面积为320m2可得出关于x的一元二次方程，再结合a=41即可确定答案； （2）由矩形菜园的面积为400m2可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式可以确定方程是否有解，即可得到答案； （3）由矩形菜园的面积为320m2可得出关于x的一元二次方程，进而可以求出（54﹣2x＋2）的长，结合x的值只能取一个，确定a的范围即可得到答案. 【详解】解：与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x＋2）m． （1）依题意得：x（54﹣2x＋2）＝320， 整理得：x2﹣28x＋160＝0， 解得：x1=8，x2=20 当x=8时，56﹣2x+2=42>41，不符合题意； 当x=20时，56﹣2x+2=18＜41，符合题意． 答：x的值为20； （2）假设面积可以达到400m2 则x（54﹣2x＋2）=400 整理得：x2﹣28x＋200=0 ∵△=（﹣28）2﹣4×1×200=﹣16＜0， ∴方程①无实数根， ∴矩形菜园的面积不能达到400m2； （3）由矩形菜园的面积为320m2 可得x（54﹣2x＋2）=320， 整理得：x2﹣28x＋160=0， 解得：x1=8，x2=20. 当x=8时，54﹣2x+2=40； 当x=20时，54﹣2x+2=16. ∵x的值只能取一个， ∴16≤a＜40． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的知识. 23. 如图，中，的边分别交直线于点D、E（D在E的左边），； （1）如图1，若，当点D与点B重合时，的面积为 ． （2）若和长度分别是方程的两根，请在图2中画出图形并求面积． （3）如图3，若，D、E分别在点C的两侧，，求出的长． 【答案】（1） （2）15或 （3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质得，再画出图形求出，然后根据勾股定理求出，最后根据得出答案； 对于（2），先根据一元二次方程根与系数的关系可得，作，根据等腰三角形的性质得，进而求出，然后根据面积公式可得答案；当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作，先证明，可得，进而得，再说明，可得，接下来设则，再根据勾股定理得，求出方程的解，最后根据得出答案； 对于（3），作且使，连接，再根据“角边角”证明，即可证明，可得，然后说明是等边三角形，可得，接下来作，并求出，即可根据直角三角形的性质求出,再根据勾股定理求出，接着求出，最后根据得出答案. 【小问1详解】 解：∵， ∴. 当点D与点B重合时，如图， 则， ∴平分， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点D，E在线段上时， ∵和是长度分别为方程的两个根， ∴. 过点A作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D，E在点C两侧时，过点A作，使，连接，过点A作， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设则， 根据勾股定理，得， 即， 解得（舍）， ∴， ∴. 当点D，E在点B两侧时，答案相同. 综上所述：的面积是或15； 【小问3详解】 解：如图，作且使，连接， ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. 过点E作于点H， 则， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，作出辅助线构造全等三角形是解题关键. 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点，E为第三象限内抛物线上一点，且． （1）直接写出A、B、C三点的坐标：A ；B ；C ； （2）求点E的坐标； （3）平面内，直线AB经过A、B，在抛物线上有一动点N，记的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令，，求出对应的x、y的值，即可求出A、B、C的坐标； （2）过D作于F，过E作于G，则可求，，设，则，，证明，根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，根据的面积为S，且点N符合条件的位置有且只有3个，判断出在直线右上方存在两个点，左下方只存在一个点，过左下方符合题意的N作直线的平行线，则此平行线与抛物线只有一个交点，设此平行线的解析为，联立方程组，整理得，则此方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求出，代入方程并求出解，从而求出点N的坐标，过N作轴交于M，则可求出M的坐标，然后根据割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴ 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点， 过D作于F，过E作于G，则， ∵， ∴， 设， 则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴点E的坐标为 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， ∵的面积为S，且点N符合条件的位置有且只有3个， ∴在直线右上方存在两个点，左下方只存在一个点， 过左下方符合题意的N作直线的平行线，则此平行线与抛物线只有一个交点， 设此平行线的解析式为， 联立方程组， 整理得， ∴， 解得， ∴， 解得， 当时，， ∴， 过N作轴，交于M， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与图形的面积等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $