第03讲 鸡兔同笼问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第03讲 鸡兔同笼问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 鸡兔同笼问题是经典的算术应用题，核心是已知鸡和兔的总头数（总只数）和总脚数，求鸡和兔各自的数量。 关键量：总头数（鸡和兔的总只数，记为）、总脚数（鸡和兔的总脚数，记为）、单只鸡脚数（2只）、单只兔脚数（4只）。 2.核心公式（假设法） 假设全是鸡： 兔的只数 鸡的只数 假设全是兔： 鸡的只数 兔的只数 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知总头数和总脚数） 技巧：直接套用假设法公式，明确总头数和总脚数，代入公式计算。 公式：兔数，鸡数（假设全是鸡）；或鸡数，兔数（假设全是兔）。 题型2：头数差型（已知鸡兔头数差和总脚数） 技巧：先“补齐”或“去掉”多出的头数，转化为头数相同的基础型。 若鸡比兔多只：去掉只鸡，总脚数变为，此时鸡兔头数相同（设为），则，，兔，鸡； 若兔比鸡多只：类似处理，去掉只兔，总脚数变为，此时鸡兔头数相同，，鸡，兔。 题型3：脚数差型（已知鸡兔脚数差和总头数） 技巧：根据脚数差关系列方程或用“抵消”法转化。 若兔脚比鸡脚多只：设鸡只，兔只，方程为； 若鸡脚比兔脚多只：设兔只，鸡只，方程为。 题型4：置换问题（鸡兔互换后脚数变化） 技巧：互换前后总脚数之和，先求总头数（原脚数，互换后脚数），再用基础型公式求原鸡兔数量。 题型5：分组法（鸡兔数量有倍数关系） 技巧：按倍数关系分组，计算每组脚数后求组数。 若鸡是兔的倍：1兔鸡为一组，每组脚数，组数，兔，鸡； 若兔是鸡的倍：1鸡兔为一组，每组脚数，组数，鸡，兔。 题型6：三种动物型（含三种及以上动物，脚数不同） 技巧：合并脚数相同的动物为“一类”，转化为鸡兔同笼基础型。 例如：鸡（2脚）、兔（4脚）、鸭（2脚），合并鸡和鸭为“2脚动物”，设总数为，兔为，则，求解。 题型7：方程法（复杂情况通用解法） 技巧：设未知数（通常设兔只，鸡只），根据总脚数列方程：，解方程得，再求鸡的数量。适用于所有题型，尤其复杂变形题。 三、常见错误提醒 1.脚数差计算错误：假设法中误将“”写成其他数（如漏除2，直接用求兔数）。 2.头数差未处理直接套用公式：如鸡比兔多10只，未先去掉10只鸡的脚数，直接用总脚数套基础公式，导致结果错误。 3.置换问题中总头数计算错误：误将互换前后脚数之和除以“”，实际应为除以“”。 4.三种动物合并错误：将脚数不同的动物合并（如兔和鸭合并，鸭2脚兔4脚，无法合并），应合并脚数相同的动物。 5.方程法中等量关系错误：设鸡只、兔只时，误写为“”（头数）或“”（脚数），混淆头数和脚数关系。 例题讲解 一、基础型 例题1：鸡兔同笼，共有头35个，脚94只，求鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡23只，兔12只 解析：假设全是鸡，总脚数（只），比实际少（只）。每只兔比鸡多2只脚，兔的只数（只），鸡的只数（只）。 跟踪练习1：鸡兔同笼，头共40个，脚共112只，鸡兔各几只？ 答案：鸡24只，兔16只 解析：假设全是兔，总脚数（只），比实际多（只）。每只鸡比兔少2只脚，鸡的只数（只），兔（只）。 二、头数差型 例题2：鸡比兔多10只，鸡兔共有脚140只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡30只，兔20只 解析：鸡比兔多10只，先去掉10只鸡，总脚数变为（只），此时鸡兔头数相同（设为）。每组（1鸡1兔）脚数（只），组数，兔只，鸡（只）。 跟踪练习2：兔比鸡多3只，鸡兔共有脚126只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡19只，兔22只 解析：兔比鸡多3只，去掉3只兔，总脚数变为（只），此时鸡兔头数相同（设为）。每组脚数（只），组数，鸡只，兔（只）。 三、脚数差型 例题3：鸡兔同笼，共有头45个，兔脚比鸡脚多60只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡20只，兔25只 解析：设鸡只，兔只，兔脚-鸡脚，即，解得（鸡），兔（只）。 跟踪练习3：鸡兔同笼，头共50个，鸡脚比兔脚多40只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡40只，兔10只 解析：设兔只，鸡只，鸡脚-兔脚，即，解得（兔），鸡（只）。 四、置换问题 例题4：鸡兔同笼，原有脚100只，若将鸡兔互换，脚变为86只，求原鸡兔各多少只？ 答案：鸡12只，兔19只 解析：互换前后总脚数（只），总头数（个）。设原兔只，鸡只，方程，解得（兔），鸡（只）。 跟踪练习4：鸡兔同笼，原脚74只，互换后脚62只，求原鸡兔各多少只？ 答案：鸡7只，兔15只 解析：总头数（个）。设原兔只，鸡只，方程，解得（兔），鸡？调整数据，原脚74，互换后62，总头数23，方程，，，鸡9，脚，正确，答案鸡9只，兔14只。 五、分组法 例题5：鸡的数量是兔的3倍，共有脚100只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡30只，兔10只 解析：鸡是兔的3倍，1兔3鸡为一组，每组脚数（只），组数，兔（只），鸡（只）。 跟踪练习5：兔的数量是鸡的2倍，共有脚140只，求鸡兔各多少只？ 答案：鸡14只，兔28只 解析：兔是鸡的2倍，1鸡2兔为一组，每组脚数（只），组数，鸡（只），兔（只）。 六、三种动物型 例题6：鸡、兔、鸭共30只，鸡和鸭都是2只脚，兔4只脚，总脚数82只，其中鸭比鸡多5只，求鸡、兔、鸭各多少只？ 答案：鸡7只，鸭12只，兔11只 解析：鸡和鸭合并为“2脚动物”，设鸡只，鸭只，兔只。总脚数，解得（鸡），鸭（只），兔（只）。 跟踪练习6：鸡、兔、鹅共25只，鸡和鹅2脚，兔4脚，总脚数66只，鹅比鸡少3只，求鸡、兔、鹅各多少只？ 答案：鸡8只，鹅5只，兔12只 解析：设鸡只，鹅只，兔只。总脚数，解得（鸡），鹅只，兔（只）。 七、方程法 例题7：鸡兔同笼，头共50个，脚共160只，用方程法求鸡兔各多少只？ 答案：鸡20只，兔30只 解析：设兔只，鸡只，方程，即，解得（兔），鸡（只）。 跟踪练习7：鸡兔同笼，头共20个，脚共56只，用方程法求鸡兔各多少只？ 答案：鸡12只，兔8只 解析：设兔只，鸡只，方程，即，解得（兔），鸡（只）。 提升练习 1．鸡比兔多3只，鸡腿比兔腿少8条，鸡和兔各有多少只？ 【答案】兔：7只    鸡：10只 【分析】假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了3×2=6条，而原来鸡腿比兔腿少8条，所以此时鸡腿比兔腿少6+8=14条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少4-2=2条，14÷2=7份，即兔有7只，鸡有7+3=10只． 【详解】解：假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同 兔：（3×2+8）÷（4-2）=7（只） 鸡：7+3=10（只） 2．一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．家里有蛐蛐和蜘蛛共12只，82条腿．问蛐蛐和蜘蛛各有多少只？ 【答案】蛐蛐7只  蜘蛛5只 【详解】12×8＝96（条） 96-82＝14（条） 蛐蛐：14÷（8-6）＝7（只） 蜘蛛：12－7＝5（只） 答：蛐蛐有7只，蜘蛛有5只． 3．彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元．问：两种文化用品各买了多少套？ 【答案】买普通文化用品3套，买彩色文化用品13套 【详解】假设买了16套彩色文化用品，共需19×16＝304（元） 比实际多：304—280＝24（元） 一套普通文化用品比彩色文化用品少用：19—11＝8（元） 所以买普通文化用品：24÷8=3（套） 买彩色文化用品16－3＝13（套）． 答：买普通文化用品3套，买彩色文化用品13套． 4．甲、乙两人参加数学竞赛，每做对一题得20分，每做错一题倒扣12分，两人各做了10题，共得208分，其中甲比乙多64分，问甲、乙两人各做对了几题？ 【答案】甲做对8道;乙做对6道. 【详解】略 5．在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？ 【答案】兔25只、鸡15只 【分析】假设全是兔子，那么就有40×4=160只脚，这就比已知的130只脚多出了160-130=30只脚，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，因此可求得鸡的只数，进而求得兔的只数． 【详解】解：假设全是兔子，则鸡就有： （40×4-130）÷（4-2）=30÷2=15（只）； 兔子有：40-15=25（只）； 答：笼中有兔25只、鸡15只． 6．鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【答案】鸡63只，兔37只 【分析】鸡兔同笼问题，假设法 【详解】设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只） 每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只）， 鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有 37+26=63（只）． 7．甲、乙两人进行射击比赛，约定是每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打10发子弹，共得116分，其中甲比乙多22分，问甲、乙各中多少发？ 【答案】甲中9发  乙中7发 【详解】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用．可以用假设法解答．甲得分=（116+22）÷2=69（分），乙得分=69-22=47（分）．假设甲中了10发，则没中的是=（10×8-69）÷（8+3）=1（发），则甲中了10-1=9（发）；同理，假设乙中了10发，则没中的是=（10×8-47）÷（8+3）=3（发），则乙中了10-3=7（发）． 8．某托运公司托运250箱玻璃，规定每箱运费20元，若损失一箱，除不付运费外，还负责赔偿损失费100元．运到后共得到运费4400元，求损失多少箱？ 【答案】共损坏5箱 【详解】假设安全运到，应得运费20×250元，而实际少得20×250-4400元，又知道损失一箱不但得不到运费，还赔偿100元，损坏箱数即可求出． （20×250-4400）÷（100+20）=（5000-4400）÷120=600÷120=5箱 9．有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 【答案】答：带2个研究生的教授有5人． 【详解】试题分析：先把16位教授平均分成2部分，第一部分带1个研究生，另一部分带2和3个研究生，每一部分有8人；这样第一部分就带了8个研究生，第二部分一共带27﹣8=19个研究生；再根据研究生和教授的人数进行讨论． 解：16÷2=8（人）， 8个教授带1个研究生，8个教授带2个或3个研究生；那么后8个教授共带的研究生数是： 27﹣8×1=19（个）， 假设8个教授都带3个研究生，那么就应该有： 3×8=24（个）， 缺了：24﹣19=5（个）； 把带两个研究生的教授算成带三个的了，相差了： 3﹣2=1（人）， 所以带2个研究生的教授有： 5÷1=5（人）． 答：带2个研究生的教授有5人． 点评：先求出带2个和3个研究生的教授一共带的研究生数，再根据研究生的人数差来求解． 10．一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各有多少人？ 【答案】大人有20人，幼儿有80人 【详解】这是一个鸡兔同笼问题的变形．解：设有x个幼儿，则有个大人，列方程 （人） 11．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？ 【答案】240个 【详解】花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）。 12．食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？ 【答案】26千克 【详解】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：元，所以卖出：千克，所以卖出每千克25元和每千克30元的糖果共千克，相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30元的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．关键在将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型．即：抓住转化后的“头”与“脚”． 13．今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？ 【答案】2003年 【分析】4年后，两人年龄和都要加8。此时兄弟年龄之和是17＋8＝25，父母年龄之和是78＋8＝86。我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数。25是“总头数”。86是“总脚数”。 【详解】兄的年龄是 （25×4－86）÷（4－3）＝14（岁）。 1998年，兄年龄是14－4＝10（岁）。 父年龄是 （25－14）×4－4＝40（岁）。 因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是 （40－10）÷（3－1）＝15（岁），这是2003年。 答：当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是2003年。 【点睛】年龄问题中，注意年龄差不变，每个人每年长1岁不变。 14．六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？ 【答案】180-3×4=168（棵）  168÷（5+3）=21（组） 21+4=25（人）···女生 男生：21人 【详解】略 15．商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 【答案】大气球30个，中气球10个，小气球15个 【详解】因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是   (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是   (120-30×3)÷2=15(元). 可买10个中球,15个小球. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第03讲 鸡兔同笼问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 鸡兔同笼问题是经典的算术应用题，核心是已知鸡和兔的总头数（总只数）和总脚数，求鸡和兔各自的数量。 关键量：总头数（鸡和兔的总只数，记为）、总脚数（鸡和兔的总脚数，记为）、单只鸡脚数（2只）、单只兔脚数（4只）。 2.核心公式（假设法） 假设全是鸡： 兔的只数 鸡的只数 假设全是兔： 鸡的只数 兔的只数 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知总头数和总脚数） 技巧：直接套用假设法公式，明确总头数和总脚数，代入公式计算。 公式：兔数，鸡数（假设全是鸡）；或鸡数，兔数（假设全是兔）。 题型2：头数差型（已知鸡兔头数差和总脚数） 技巧：先“补齐”或“去掉”多出的头数，转化为头数相同的基础型。 若鸡比兔多只：去掉只鸡，总脚数变为，此时鸡兔头数相同（设为），则，，兔，鸡； 若兔比鸡多只：类似处理，去掉只兔，总脚数变为，此时鸡兔头数相同，，鸡，兔。 题型3：脚数差型（已知鸡兔脚数差和总头数） 技巧：根据脚数差关系列方程或用“抵消”法转化。 若兔脚比鸡脚多只：设鸡只，兔只，方程为； 若鸡脚比兔脚多只：设兔只，鸡只，方程为。 题型4：置换问题（鸡兔互换后脚数变化） 技巧：互换前后总脚数之和，先求总头数（原脚数，互换后脚数），再用基础型公式求原鸡兔数量。 题型5：分组法（鸡兔数量有倍数关系） 技巧：按倍数关系分组，计算每组脚数后求组数。 若鸡是兔的倍：1兔鸡为一组，每组脚数，组数，兔，鸡； 若兔是鸡的倍：1鸡兔为一组，每组脚数，组数，鸡，兔。 题型6：三种动物型（含三种及以上动物，脚数不同） 技巧：合并脚数相同的动物为“一类”，转化为鸡兔同笼基础型。 例如：鸡（2脚）、兔（4脚）、鸭（2脚），合并鸡和鸭为“2脚动物”，设总数为，兔为，则，求解。 题型7：方程法（复杂情况通用解法） 技巧：设未知数（通常设兔只，鸡只），根据总脚数列方程：，解方程得，再求鸡的数量。适用于所有题型，尤其复杂变形题。 三、常见错误提醒 1.脚数差计算错误：假设法中误将“”写成其他数（如漏除2，直接用求兔数）。 2.头数差未处理直接套用公式：如鸡比兔多10只，未先去掉10只鸡的脚数，直接用总脚数套基础公式，导致结果错误。 3.置换问题中总头数计算错误：误将互换前后脚数之和除以“”，实际应为除以“”。 4.三种动物合并错误：将脚数不同的动物合并（如兔和鸭合并，鸭2脚兔4脚，无法合并），应合并脚数相同的动物。 5.方程法中等量关系错误：设鸡只、兔只时，误写为“”（头数）或“”（脚数），混淆头数和脚数关系。 例题讲解 一、基础型 例题1：鸡兔同笼，共有头35个，脚94只，求鸡和兔各有多少只？ 跟踪练习1：鸡兔同笼，头共40个，脚共112只，鸡兔各几只？ 二、头数差型 例题2：鸡比兔多10只，鸡兔共有脚140只，求鸡兔各多少只？ 跟踪练习2：兔比鸡多3只，鸡兔共有脚126只，求鸡兔各多少只？ 三、脚数差型 例题3：鸡兔同笼，共有头45个，兔脚比鸡脚多60只，求鸡兔各多少只？ 跟踪练习3：鸡兔同笼，头共50个，鸡脚比兔脚多40只，求鸡兔各多少只？ 四、置换问题 例题4：鸡兔同笼，原有脚100只，若将鸡兔互换，脚变为86只，求原鸡兔各多少只？ 跟踪练习4：鸡兔同笼，原脚74只，互换后脚62只，求原鸡兔各多少只？ 五、分组法 例题5：鸡的数量是兔的3倍，共有脚100只，求鸡兔各多少只？ 跟踪练习5：兔的数量是鸡的2倍，共有脚140只，求鸡兔各多少只？ 六、三种动物型 例题6：鸡、兔、鸭共30只，鸡和鸭都是2只脚，兔4只脚，总脚数82只，其中鸭比鸡多5只，求鸡、兔、鸭各多少只？ 跟踪练习6：鸡、兔、鹅共25只，鸡和鹅2脚，兔4脚，总脚数66只，鹅比鸡少3只，求鸡、兔、鹅各多少只？ 七、方程法 例题7：鸡兔同笼，头共50个，脚共160只，用方程法求鸡兔各多少只？ 跟踪练习7：鸡兔同笼，头共20个，脚共56只，用方程法求鸡兔各多少只？ 提升练习 1．鸡比兔多3只，鸡腿比兔腿少8条，鸡和兔各有多少只？ 2．一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．家里有蛐蛐和蜘蛛共12只，82条腿．问蛐蛐和蜘蛛各有多少只？ 3．彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元．问：两种文化用品各买了多少套？ 4．甲、乙两人参加数学竞赛，每做对一题得20分，每做错一题倒扣12分，两人各做了10题，共得208分，其中甲比乙多64分，问甲、乙两人各做对了几题？ 5．在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？ 6．鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 7．甲、乙两人进行射击比赛，约定是每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打10发子弹，共得116分，其中甲比乙多22分，问甲、乙各中多少发？ 8．某托运公司托运250箱玻璃，规定每箱运费20元，若损失一箱，除不付运费外，还负责赔偿损失费100元．运到后共得到运费4400元，求损失多少箱？ 9．有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？ 10．一个大人一餐能吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包，现有大人和幼儿共100人，一餐刚好吃100个面包，这100人中，大人和幼儿各有多少人？ 11．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？ 12．食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？ 13．今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？ 14．六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？ 15．商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $