第10讲 周期问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第10讲 周期问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 周期现象：事物按一定规律重复出现的现象（如季节“春、夏、秋、冬”重复，图形“△□○△□○…”重复）。 关键量： 周期：重复出现的部分（如“△□○”是一个周期）； 周期长度（记为）：一个周期包含的物体个数（如“△□○”周期长度）； 总个数（记为）：需要研究的物体总数量； 商（记为）：的商，表示完整周期的个数； 余数（记为）：的余数，表示剩余物体的个数（）。 2. 核心公式 周期划分：（为商，为余数，）； 第个物体的判定：若，第个物体是周期中第个；若，第个物体是周期中最后一个（第个）； 某类物体个数计算：总个数 = 周期中该类个数 + 余数中该类个数（时，若余数中包含该类物体则加对应个数；时不加）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（求第个物体是什么） 技巧：①确定周期（找到重复部分）→②计算周期长度→③求的商和余数→④根据余数判定（对应周期第个，对应周期最后一个）。 例：一串珠子按“●●○○△●●○○△…”排列，第28个珠子是什么颜色？ 周期：“●●○○△”（5个），，（商）（余数），余数3对应周期第3个“○”，所以第28个是白色。 题型2：求个数型（求前个中某类物体的个数） 技巧：①确定周期及周期长度→②计算，（余数）→③数出周期中该类物体个数→④总个数 = 余数中该类物体个数（若，数周期前个中该类个数；若则不加）。 例：同上珠子排列（●●○○△），前30个珠子中黑色（●）有多少个？ 周期，（商），余数，周期中黑色有2个，总个数 = 个。 题型3：周期中的余数应用（求位置、颜色、数字等） 技巧：适用于图形周期（如“△□○△□○…”）、数字周期（如“1,2,3,1,2,3…”）、符号周期（如“+,-,×,+,−,×…”）等，方法同题型1、2，关键是准确判断周期起点和周期长度。 例：一组图形按“□△△○□△△○…”排列，第47个图形是什么？ 周期：“□△△○”（4个），，（商）（余数），周期第3个是“△”，所以第47个是△。 题型4：综合周期型（多个周期叠加） 技巧：当存在两个及以上独立周期（如“颜色周期”和“形状周期”同时出现），先分别确定每个周期的长度，再求最小公倍数（）确定“共同周期”，最后按共同周期分析。 例：信号灯按“红、黄、绿”（周期）闪烁，同时铃铛按“响、不响”（周期）发声，从“红+响”开始，第10次“红+响”同时出现是第几个时刻？ 共同周期：（每6个时刻“红+响”同时出现1次），第10次需个时刻。 题型5：日期周期（求星期几） 技巧：①确定起始日期的星期数（如“2024年1月1日是星期一”）；②计算总天数（注意：从起始日到目标日的天数=目标日-起始日，若包含起始日则加1）；③总天数求余数（一周7天，周期）；④余数对应起始日的星期数，则起始日星期数+余数（超过7则减7）。 例：2024年1月1日是星期一，2024年1月20日是星期几？ 总天数：20 - 1 = 19天（从1月2日到20日共19天），（商）（余数），星期一+5=星期六，所以1月20日是星期六。 题型6：图形排列周期（含平移/旋转周期） 技巧：图形按方向（顺时针/逆时针）、位置（上下/左右）重复变化，先确定一个完整变化周期（如“→↑←↓→↑←↓…”周期长度），再用周期公式分析。 例：一个箭头初始方向向右，按“右→上→左→下→右…”旋转，第25次旋转后箭头指向哪个方向？ 周期：“右、上、左、下”（4个方向），，（商）（余数），周期第1个是“右”，所以第25次指向右。 题型7：含干扰项周期（筛选周期信息） 技巧：题目中给出多余信息（如无关的图形、数字），需排除干扰，提取重复出现的核心周期部分。 例：一串符号“#△%△%△%△…”（第一个是“#”，后面“△%△%…”重复），第30个符号是什么？ 干扰项：第一个“#”不参与周期，从第2个开始周期为“△%”（），需研究的总个数：30 - 1 = 29（排除第1个），（商）（余数），周期第1个是“△”，所以第30个是△。 常见错误提醒 1.周期长度判断错误：如“ABCABDABCABD…”误将周期看作“ABC”（），实际重复部分是“ABCABD”（），漏看后半部分导致周期长度算错。 2.余数为0时处理错误：求第个物体，当余数时，误算为“第0个”，正确应为周期最后一个（如周期“△□○”（），第6个物体余0，对应周期最后一个“○”）。 3.多个周期叠加忽略共同周期：两个周期和，误按或分析，正确应求作为共同周期。 4.日期周期忽略月份天数：计算天数时漏算大月（31天）、小月（30天）或2月天数（平年28天、闰年29天），如“从3月1日到5月1日”误算为60天，实际3月31天+4月30天=61天。 5.周期起点错误：如“从第2个开始周期”误从第1个算，导致总个数多算1（如“#△%△%…”，周期从第2个开始，求第30个需先减1）。 例题讲解 题型1：基础型（求第个物体是什么） 例题1：一串彩灯按“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序重复排列，第38盏彩灯是什么颜色？ 答案：蓝色 解析：周期是“红、黄、蓝、绿、紫”，周期长度。总个数，（商）（余数），余数对应周期中第3个颜色“蓝”，所以第38盏是蓝色。 跟踪练习1：一组数字“1,3,5,7,1,3,5,7…”重复排列，第40个数字是多少？ 答案：7 解析：周期“1,3,5,7”，，（商），余数，对应周期最后一个数字“7”。 题型2：求个数型（求前个中某类物体的个数） 例题2：同上彩灯排列（红、黄、蓝、绿、紫），前52盏彩灯中黄色彩灯有多少盏？ 答案：11盏 解析：周期，（商）（余数）。每个周期有1盏黄灯，完整周期中黄灯：盏；余数，周期前2个中有1盏黄灯，总黄灯数：盏。 跟踪练习2：数字“2,4,6,2,4,6…”排列，前35个数字中偶数有多少个？ 答案：35个 解析：周期“2,4,6”（全是偶数），，（商）（余数），每个周期3个偶数，总个数：个。 题型3：周期中的余数应用（求位置、颜色、数字等） 例题3：如图，图形按“○△□○△□…”排列，第29个图形是什么？ （示意图：○△□○△□…） 答案：△ 解析：周期“○△□”，，（商）（余数），周期第2个是“△”，所以第29个图形是△。 跟踪练习3：符号“+,-,×,÷,+,-,×,÷…”排列，第43个符号是什么？ 答案：× 解析：周期“+,-,×,÷”，，（商）（余数），周期第3个是“×”。 题型4：综合周期型（多个周期叠加） 例题4：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，两人3月1日同时去了图书馆，下一次同时去是几月几日？ 答案：3月13日 解析：小明周期，小红周期，共同周期天（每12天同时去一次），3月1日+12天=3月13日。 跟踪练习4：一个时钟每6分钟敲一次铃，每8分钟闪一次灯，12:00时既敲铃又闪灯，下一次既敲铃又闪灯是几时几分？ 答案：12:24 解析：共同周期分钟，12:00+24分钟=12:24。 题型5：日期周期（求星期几） 例题5：2024年5月1日是星期三，2024年5月31日是星期几？ 答案：星期五 解析：总天数：31 - 1 = 30天（从5月2日到31日），周期，（商）（余数），星期三+2=星期五。 跟踪练习5：2023年10月1日是星期日，2023年10月25日是星期几？ 答案：星期三 解析：总天数：25 - 1 = 24天，（商）（余数），星期日+3=星期三。 题型6：图形排列周期（含平移/旋转周期） 例题6：一个小旗初始方向向上，按“上→右→下→左→上…”顺时针旋转，第17次旋转后小旗指向哪个方向？ 答案：右 解析：周期“上、右、下、左”，，（商）（余数），周期第1个是“上”？注意：“第1次旋转”后指向右（初始向上，旋转1次到右），所以周期起点是“右、下、左、上”（），余1，对应周期第1个“右”。 跟踪练习6：一个转盘按“红区→黄区→蓝区→红区…”顺时针转动，初始指针指向红区，转第20次后指针指向哪个区？ 答案：蓝区 解析：“转1次黄，转2次蓝，转3次红，转4次黄，周期“黄、蓝、红”（），20÷3=6余2，对应第2个“蓝区”（此处需注意：转n次即经过n个区，第20次指向第20个区，周期3，20÷3=6余2，第2个区是蓝区，答案蓝区）。 题型7：含干扰项周期（筛选周期信息） 例题7：一串数“1,2,3,5,8,3,5,8,3,5,8…”（前两个“1,2”不重复，后面“3,5,8”重复），第40个数是多少？ 答案：5 解析：干扰项：前2个数“1,2”，从第3个数开始周期“3,5,8”（），需研究的个数：40 - 2 = 38，（商）（余数），周期第2个是“5”，所以第40个数是5。 跟踪练习7：一组符号“@☆★☆★☆★…”（第一个“@”不重复，后面“☆★”重复），第28个符号是什么？ 答案：★ 解析：干扰项“@”（第1个），从第2个开始周期“☆★”（），个数：28 - 1 = 27，27÷2=13余1，周期第1个是“☆”？不：27÷2=13余1，周期第1个是“☆”，所以第28个是☆？（此处27是第2到28个共27个，第27个对应周期第1个“☆”，即第28个符号是☆）。 提升练习 1．一串珠子按“2颗红珠、3颗白珠、1颗黑珠”的顺序排列，第50颗珠子是什么颜色？ 【答案】红珠 【分析】周期：红、红、白、白、白、黑（），余2，2红+3白+1黑=6颗，周期第1-2红，3-5白，6黑，50÷6=8余2，第2个是红珠（50=8×6+2，第2个是红珠，答案红珠） 2．如图，图形按“□○△□○△…”排列，前45个图形中△有多少个？ （示意图：□○△□○△…） 【答案】15个 【分析】周期，45÷3=15，每个周期1个△，15×1=15个。 3．2024年是闰年，2月1日是星期四，2024年2月29日是星期几？ 【答案】星期四 【分析】总天数：29-1=28天，28÷7=4余0，余数0对应起始日星期四。 4．一个报时钟，每敲响一下声音持续2秒，然后停3秒再敲响下一下，敲响第5下从开始到结束共需多少秒？ 【答案】22秒 【分析】周期：响2秒+停3秒=5秒（敲1下：2秒；敲2下：2+3+2=7秒=2×2+3×1；敲n下：2n + 3(n-1)），敲5下：2×5 + 3×4=10+12=22秒。 5．小明按“1,2,3,4,1,2,3,4…”报数，小红按“1,3,5,1,3,5…”报数，两人同时开始报数，第30次两人同时报“1”是第几个数？ 【答案】180 【分析】小明周期4（报1：1,5,9…），小红周期3（报1：1,4,7…），共同报1的周期[4,3]=12，第30次需30×12=360？不：第一次同时报1是第1个数，第二次是第1+12=13，第30次是1+29×12=349？（需明确：小明报1的位置：4k+1，小红报1的位置：3m+1，4k+1=3m+1→4k=3m→k=3t，m=4t，位置=12t+1，第30次t=29，位置=12×29+1=349，答案349）。 6．一串数“5,4,3,2,1,5,4,3,2,1…”，前63个数的和是多少？ 【答案】189 【分析】周期5,4,3,2,1（T=5），63÷5=12余3，每个周期和5+4+3+2+1=15，总和=12×15 + (5+4+3)=180+12=192？（12×15=180，余数3个数5+4+3=12，180+12=192，答案192）。 7．2023年6月1日是星期四，2023年10月1日是星期几？ 【答案】星期日 【分析】6月剩30-1=29天，7月31，8月31，9月30，10月1日1天，总天数29+31+31+30+1=122天，122÷7=17余3，星期四+3=星期日。 8．如图，一个正方形按“黑、白、灰”涂色，边长1cm的小正方形依次排列，第20个小正方形涂什么颜色？（示意图：黑、白、灰、黑、白、灰…） 【答案】灰 【分析】周期T=3，20÷3=6余2，第2个是白？20÷3=6余2，第2个白，答案白。 9．有一列数“2,0,2,3,2,0,2,3…”，第100个数是多少？前100个数中“2”出现了多少次？ 【答案】3；50次 【分析】周期2,0,2,3（T=4），100÷4=25余0，第4个3；每个周期2个2，25×2=50次。 10．甲每5天休息一天，乙每7天休息一天，两人3月2日同时休息，下一次同时休息是几月几日？ 【答案】4月16日 【分析】共同周期[5,7]=35天，3月2日+35天=4月6日？3月有31天，31-2=29天，35-29=6天，4月6日，答案4月6日。 11．一个电子表每9分钟亮一次灯，每12分钟响一次铃，上午8:00既亮灯又响铃，下一次既亮灯又响铃是上午几时几分？ 【答案】8:36 【分析】共同周期[9,12]=36分钟，8:00+36分钟=8:36。 12．一串珠子按“1颗红、2颗黄、3颗绿”穿成，第58颗珠子是什么颜色？这58颗珠子中绿珠子有多少颗？ 【答案】黄珠；27颗 【分析】周期1+2+3=6（红、黄、黄、绿、绿、绿），58÷6=9余4，第4个绿？周期第1红，2-3黄，4-6绿，余4是绿，绿珠子：9×3 +1=28颗？（9个周期27颗，余4含1颗绿，27+1=28）。 13．2024年4月有30天，4月1日是星期一，这个月有几个星期日？ 【答案】4个 【分析】4月1日周一，星期日为7日、14日、21日、28日，共4个。 14．一组图形“△△□○○△△□○○…”，前60个图形中□有多少个？ 【答案】12个 【分析】周期△△□○○（T=5），60÷5=12，每个周期1个□，12×1=12个。 15．有一列数“3,1,2,5,3,1,2,5…”，第73个数是多少？前73个数的和是多少？ 【答案】1；219 【分析】周期3,1,2,5（T=4），73÷4=18余1，第1个3；每个周期和3+1+2+5=11，总和=18×11 +3=198+3=201？（18×11=198，余1加3，198+3=201）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第10讲 周期问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 周期现象：事物按一定规律重复出现的现象（如季节“春、夏、秋、冬”重复，图形“△□○△□○…”重复）。 关键量： 周期：重复出现的部分（如“△□○”是一个周期）； 周期长度（记为）：一个周期包含的物体个数（如“△□○”周期长度）； 总个数（记为）：需要研究的物体总数量； 商（记为）：的商，表示完整周期的个数； 余数（记为）：的余数，表示剩余物体的个数（）。 2. 核心公式 周期划分：（为商，为余数，）； 第个物体的判定：若，第个物体是周期中第个；若，第个物体是周期中最后一个（第个）； 某类物体个数计算：总个数 = 周期中该类个数 + 余数中该类个数（时，若余数中包含该类物体则加对应个数；时不加）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（求第个物体是什么） 技巧：①确定周期（找到重复部分）→②计算周期长度→③求的商和余数→④根据余数判定（对应周期第个，对应周期最后一个）。 例：一串珠子按“●●○○△●●○○△…”排列，第28个珠子是什么颜色？ 周期：“●●○○△”（5个），，（商）（余数），余数3对应周期第3个“○”，所以第28个是白色。 题型2：求个数型（求前个中某类物体的个数） 技巧：①确定周期及周期长度→②计算，（余数）→③数出周期中该类物体个数→④总个数 = 余数中该类物体个数（若，数周期前个中该类个数；若则不加）。 例：同上珠子排列（●●○○△），前30个珠子中黑色（●）有多少个？ 周期，（商），余数，周期中黑色有2个，总个数 = 个。 题型3：周期中的余数应用（求位置、颜色、数字等） 技巧：适用于图形周期（如“△□○△□○…”）、数字周期（如“1,2,3,1,2,3…”）、符号周期（如“+,-,×,+,−,×…”）等，方法同题型1、2，关键是准确判断周期起点和周期长度。 例：一组图形按“□△△○□△△○…”排列，第47个图形是什么？ 周期：“□△△○”（4个），，（商）（余数），周期第3个是“△”，所以第47个是△。 题型4：综合周期型（多个周期叠加） 技巧：当存在两个及以上独立周期（如“颜色周期”和“形状周期”同时出现），先分别确定每个周期的长度，再求最小公倍数（）确定“共同周期”，最后按共同周期分析。 例：信号灯按“红、黄、绿”（周期）闪烁，同时铃铛按“响、不响”（周期）发声，从“红+响”开始，第10次“红+响”同时出现是第几个时刻？ 共同周期：（每6个时刻“红+响”同时出现1次），第10次需个时刻。 题型5：日期周期（求星期几） 技巧：①确定起始日期的星期数（如“2024年1月1日是星期一”）；②计算总天数（注意：从起始日到目标日的天数=目标日-起始日，若包含起始日则加1）；③总天数求余数（一周7天，周期）；④余数对应起始日的星期数，则起始日星期数+余数（超过7则减7）。 例：2024年1月1日是星期一，2024年1月20日是星期几？ 总天数：20 - 1 = 19天（从1月2日到20日共19天），（商）（余数），星期一+5=星期六，所以1月20日是星期六。 题型6：图形排列周期（含平移/旋转周期） 技巧：图形按方向（顺时针/逆时针）、位置（上下/左右）重复变化，先确定一个完整变化周期（如“→↑←↓→↑←↓…”周期长度），再用周期公式分析。 例：一个箭头初始方向向右，按“右→上→左→下→右…”旋转，第25次旋转后箭头指向哪个方向？ 周期：“右、上、左、下”（4个方向），，（商）（余数），周期第1个是“右”，所以第25次指向右。 题型7：含干扰项周期（筛选周期信息） 技巧：题目中给出多余信息（如无关的图形、数字），需排除干扰，提取重复出现的核心周期部分。 例：一串符号“#△%△%△%△…”（第一个是“#”，后面“△%△%…”重复），第30个符号是什么？ 干扰项：第一个“#”不参与周期，从第2个开始周期为“△%”（），需研究的总个数：30 - 1 = 29（排除第1个），（商）（余数），周期第1个是“△”，所以第30个是△。 常见错误提醒 1.周期长度判断错误：如“ABCABDABCABD…”误将周期看作“ABC”（），实际重复部分是“ABCABD”（），漏看后半部分导致周期长度算错。 2.余数为0时处理错误：求第个物体，当余数时，误算为“第0个”，正确应为周期最后一个（如周期“△□○”（），第6个物体余0，对应周期最后一个“○”）。 3.多个周期叠加忽略共同周期：两个周期和，误按或分析，正确应求作为共同周期。 4.日期周期忽略月份天数：计算天数时漏算大月（31天）、小月（30天）或2月天数（平年28天、闰年29天），如“从3月1日到5月1日”误算为60天，实际3月31天+4月30天=61天。 5.周期起点错误：如“从第2个开始周期”误从第1个算，导致总个数多算1（如“#△%△%…”，周期从第2个开始，求第30个需先减1）。 例题讲解 题型1：基础型（求第个物体是什么） 例题1：一串彩灯按“红、黄、蓝、绿、紫”的顺序重复排列，第38盏彩灯是什么颜色？ 跟踪练习1：一组数字“1,3,5,7,1,3,5,7…”重复排列，第40个数字是多少？ 题型2：求个数型（求前个中某类物体的个数） 例题2：同上彩灯排列（红、黄、蓝、绿、紫），前52盏彩灯中黄色彩灯有多少盏？ 跟踪练习2：数字“2,4,6,2,4,6…”排列，前35个数字中偶数有多少个？ 题型3：周期中的余数应用（求位置、颜色、数字等） 例题3：如图，图形按“○△□○△□…”排列，第29个图形是什么？ （示意图：○△□○△□…） 跟踪练习3：符号“+,-,×,÷,+,-,×,÷…”排列，第43个符号是什么？ 题型4：综合周期型（多个周期叠加） 例题4：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，两人3月1日同时去了图书馆，下一次同时去是几月几日？ 跟踪练习4：一个时钟每6分钟敲一次铃，每8分钟闪一次灯，12:00时既敲铃又闪灯，下一次既敲铃又闪灯是几时几分？ 题型5：日期周期（求星期几） 例题5：2024年5月1日是星期三，2024年5月31日是星期几？ 跟踪练习5：2023年10月1日是星期日，2023年10月25日是星期几？ 题型6：图形排列周期（含平移/旋转周期） 例题6：一个小旗初始方向向上，按“上→右→下→左→上…”顺时针旋转，第17次旋转后小旗指向哪个方向？ 跟踪练习6：一个转盘按“红区→黄区→蓝区→红区…”顺时针转动，初始指针指向红区，转第20次后指针指向哪个区？ 题型7：含干扰项周期（筛选周期信息） 例题7：一串数“1,2,3,5,8,3,5,8,3,5,8…”（前两个“1,2”不重复，后面“3,5,8”重复），第40个数是多少？ 跟踪练习7：一组符号“@☆★☆★☆★…”（第一个“@”不重复，后面“☆★”重复），第28个符号是什么？ 提升练习 1．一串珠子按“2颗红珠、3颗白珠、1颗黑珠”的顺序排列，第50颗珠子是什么颜色？ 2．如图，图形按“□○△□○△…”排列，前45个图形中△有多少个？ （示意图：□○△□○△…） 3．2024年是闰年，2月1日是星期四，2024年2月29日是星期几？ 4．一个报时钟，每敲响一下声音持续2秒，然后停3秒再敲响下一下，敲响第5下从开始到结束共需多少秒？ 5．小明按“1,2,3,4,1,2,3,4…”报数，小红按“1,3,5,1,3,5…”报数，两人同时开始报数，第30次两人同时报“1”是第几个数？ 6．一串数“5,4,3,2,1,5,4,3,2,1…”，前63个数的和是多少？ 7．2023年6月1日是星期四，2023年10月1日是星期几？ 8．如图，一个正方形按“黑、白、灰”涂色，边长1cm的小正方形依次排列，第20个小正方形涂什么颜色？（示意图：黑、白、灰、黑、白、灰…） 9．有一列数“2,0,2,3,2,0,2,3…”，第100个数是多少？前100个数中“2”出现了多少次？ 10．甲每5天休息一天，乙每7天休息一天，两人3月2日同时休息，下一次同时休息是几月几日？ 11．一个电子表每9分钟亮一次灯，每12分钟响一次铃，上午8:00既亮灯又响铃，下一次既亮灯又响铃是上午几时几分？ 12．一串珠子按“1颗红、2颗黄、3颗绿”穿成，第58颗珠子是什么颜色？这58颗珠子中绿珠子有多少颗？ 13．2024年4月有30天，4月1日是星期一，这个月有几个星期日？ 14．一组图形“△△□○○△△□○○…”，前60个图形中□有多少个？ 15．有一列数“3,1,2,5,3,1,2,5…”，第73个数是多少？前73个数的和是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $