第09讲 数阵（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第09讲 数阵 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 数阵是指将一些数字按照一定的规则排列成特定图形（如方阵、三角形、十字形、环形等）的问题。关键要素包括： 数阵图形：如辐射型（幻方、十字数阵）、封闭型（三角形数阵、环形数阵）等； 幻和：数阵中每条直线（或每条边）上数字之和（如三阶幻方中每行、每列、每条对角线的和）； 重叠数：在数阵中被重复计算的数字（如三角形数阵的顶点数，十字数阵的中心数，它们在计算多条直线和时会被多次计入）； 顶点数/边数：封闭型数阵中构成图形顶点的数字及边的数量（如三角形数阵有3个顶点、3条边）。 2. 核心公式 三阶幻方公式（辐射型数阵典型）： 幻和 = 九个数之和 ÷ 3； 中心数 = 幻和 ÷ 3（中心数在每行、每列、每条对角线中均出现，是重叠数）。 封闭型数阵公式（以三角形数阵为例，3条边，3个顶点为重叠数）： 每条边的和 × 边数 = 所有数之和 + 重叠数之和（顶点数被重复计算1次，故需加上重叠数之和）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知部分数填全数阵） 技巧：利用数阵的基本性质（如幻和、重叠数关系），从已知数入手，逐步推导未知数字。优先计算幻和或重叠数，再根据直线和填剩余数。 题型2：反求重叠数型（已知幻和或边和求重叠数） 技巧：设重叠数为未知数，根据“总和=直线和×直线数-重叠数×重复次数”列方程求解。 题型3：构造数阵型（用给定数字构造数阵） 技巧：先确定重叠数（通常选中间数或两端数），再分配剩余数字使每条直线和相等。 题型4：含多余条件型（筛选有效数字填数阵） 技巧：从题目给出的多个数字中，筛选出符合数阵规则的数字（如和为幻和、不重复等），忽略无关数字（如超出范围的数、重复的数）。 题型5：综合应用型（结合等差数列、和差问题） 技巧：将数阵问题与其他知识结合，如利用等差数列求数阵中数字的和，或用和差关系求重叠数。 常见错误提醒 1.重叠数重复次数错误：如三角形数阵顶点数仅重复1次（每条边计算1次，共3条边，顶点数被算2次，原总和算1次，故需加1次重叠数之和，而非2次）。 2.幻和公式混淆：三阶幻方幻和=九个数之和÷3，而非“中心数×2”或“最大数+最小数”（后者仅适用于连续自然数的三阶幻方）。 3.数字范围错误：填数时忽略“数字不重复”条件，导致同一数字出现在多个位置。 4.忽略对称性：数阵通常具有对称性（如幻方中对称位置数字和=2×中心数），未利用对称性导致计算复杂。 例题讲解 一、基础型 例题1：把1~9填入下面的空格中。 4 3 6 跟踪练习1：在□里填上合适的数，使每行每列相加之和是70。 16 35 27 28 二、反求重叠数型 例题2：用3．把11、12、13、14、15、16、17填在〇里，使每条线上的三个数相加的结果一样。 跟踪练习2：填数，使每条线上的3个数之和等于指定的数。 三、构造数阵型 例题3：用2、4、6、8、10、12构造三角形数阵（顶点3个数，边中点3个数），使每条边的和相等。 跟踪练习3：用1~9构造三阶幻方，写出中心数和幻和。 四、含多余条件型 例题4：从1~15中选9个数填入三阶幻方，使幻和为45，下列哪个数可以不选？（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 15 跟踪练习4：从2、3、5、7、11中选5个数填入十字数阵，使横、竖和相等，多余的数是（ ）。 五、综合应用型 例题5：数阵中数字为连续5个奇数，十字数阵横、竖和均为35，中心数是多少？这5个数分别是多少？ 跟踪练习5：数阵中数字为等差数列，三阶幻方幻和=42，公差=2，这九个数最小是多少？ 提升练习 1．在如图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。现在已经填好两个数，那么x＝（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．19 2．如图，把2015，2017，2019，2021，2023这五个数分别填入五个方格中，使得横排和竖排的三个方格中的数之和相等，那么中间方格中能填的数是（    ）。 A．2017 B．2019 C．2021 D.2015 3．如图1的3×3表格中分别填入了1～9，我们把对角相邻的两个数同时加上或同时减去一个相同的数叫做一次操作（如1和5同时加2，变成3和7），经过若干次操作得到下图，那么A和B的乘积是( )。 4．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。 5．将1～6这六个数填入图的六个〇中，使得大圆周上相邻的两个〇中的数之和都是质数。 6．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 7．如图，将1～9填入圈内，使每个大圆上的三个数的和相等。 8．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 9．将1，2，3，…，9填入图中的〇中，使等式成立。 10．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 11．将分别填入如图中，使五个正方形的四个顶点上的数的和相等。 12．如图，要使每一行、每一列、两条对角线上的三个数的和都是27，、、、、、、应各是多少？ 5 6 13．在如图所示的〇内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若、、的和为18，则三个顶点上的三个数的和是( )。 14．把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 15．请将1~11这11个自然数分别填入下图中的方格内，每个数只能用一次，使“六一”中五条线段上的数字之和都相等。（答案不唯一，写出两个即可）    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第09讲 数阵 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 数阵是指将一些数字按照一定的规则排列成特定图形（如方阵、三角形、十字形、环形等）的问题。关键要素包括： 数阵图形：如辐射型（幻方、十字数阵）、封闭型（三角形数阵、环形数阵）等； 幻和：数阵中每条直线（或每条边）上数字之和（如三阶幻方中每行、每列、每条对角线的和）； 重叠数：在数阵中被重复计算的数字（如三角形数阵的顶点数，十字数阵的中心数，它们在计算多条直线和时会被多次计入）； 顶点数/边数：封闭型数阵中构成图形顶点的数字及边的数量（如三角形数阵有3个顶点、3条边）。 2. 核心公式 三阶幻方公式（辐射型数阵典型）： 幻和 = 九个数之和 ÷ 3； 中心数 = 幻和 ÷ 3（中心数在每行、每列、每条对角线中均出现，是重叠数）。 封闭型数阵公式（以三角形数阵为例，3条边，3个顶点为重叠数）： 每条边的和 × 边数 = 所有数之和 + 重叠数之和（顶点数被重复计算1次，故需加上重叠数之和）。 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（已知部分数填全数阵） 技巧：利用数阵的基本性质（如幻和、重叠数关系），从已知数入手，逐步推导未知数字。优先计算幻和或重叠数，再根据直线和填剩余数。 题型2：反求重叠数型（已知幻和或边和求重叠数） 技巧：设重叠数为未知数，根据“总和=直线和×直线数-重叠数×重复次数”列方程求解。 题型3：构造数阵型（用给定数字构造数阵） 技巧：先确定重叠数（通常选中间数或两端数），再分配剩余数字使每条直线和相等。 题型4：含多余条件型（筛选有效数字填数阵） 技巧：从题目给出的多个数字中，筛选出符合数阵规则的数字（如和为幻和、不重复等），忽略无关数字（如超出范围的数、重复的数）。 题型5：综合应用型（结合等差数列、和差问题） 技巧：将数阵问题与其他知识结合，如利用等差数列求数阵中数字的和，或用和差关系求重叠数。 常见错误提醒 1.重叠数重复次数错误：如三角形数阵顶点数仅重复1次（每条边计算1次，共3条边，顶点数被算2次，原总和算1次，故需加1次重叠数之和，而非2次）。 2.幻和公式混淆：三阶幻方幻和=九个数之和÷3，而非“中心数×2”或“最大数+最小数”（后者仅适用于连续自然数的三阶幻方）。 3.数字范围错误：填数时忽略“数字不重复”条件，导致同一数字出现在多个位置。 4.忽略对称性：数阵通常具有对称性（如幻方中对称位置数字和=2×中心数），未利用对称性导致计算复杂。 例题讲解 一、基础型 例题1：把1~9填入下面的空格中。 4 3 6 【答案】见详解 【分析】根据题意，题目说每行、每列、每条斜线上3个数相加得15。 先看第一行有4，第三行有6，斜着这两个数在一条线。4和6加起来是10，15－10＝5，所以这条斜线中间填5； 第一列有4和3，4＋3＝7，15－7＝8，第一列最后填8； 第二行已经有3和5了，3＋5＝8，15－8＝7，所以第二行最后一个是7； 第三行两边是8和6，是8＋6＝14，则中间的是15－14＝1，； 第二列5＋1＝6，14－6＝9，所以第二列最上面的数是9； 第一行4＋9＝13，15－13＝2，所以第一行最后一个是2； 按这样的方法，让每行、列、斜线都得15，把空格填满。 【详解】由分析可知： 4 9 2 3 5 7 8 1 6 跟踪练习1：在□里填上合适的数，使每行每列相加之和是70。 16 35 27 28 【答案】 19 15 27 7 36 二、反求重叠数型 例题2：用3．把11、12、13、14、15、16、17填在〇里，使每条线上的三个数相加的结果一样。 【答案】见详解 【分析】11、12、13、14、15、16、17是七个连续的数，排在中间数的是14，故，把14填写在中间的圆圈里； 然后再根据“11＋17＝12＋16＝13＋15＝28”，分成：“11与17一组，12与16一组，13与15一组”，填入相应的位置。 【详解】 【点睛】解答本题关键是确定中心数，然后把剩下的数分成和相等的三组即可。 跟踪练习2：填数，使每条线上的3个数之和等于指定的数。 【答案】 三、构造数阵型 例题3：用2、4、6、8、10、12构造三角形数阵（顶点3个数，边中点3个数），使每条边的和相等。 答案：：每条边和=2+12+6=20，6+8+10=24，应使边和=（2+4+6+8+10+12）+重叠数之和=42+重叠数之和=3×边和，设边和=20，则重叠数之和=18，选6、4、8（和18），顶点6、4、8，中点12、10、2，边和=6+12+4=22，4+10+8=22，8+2+6=16， 跟踪练习3：用1~9构造三阶幻方，写出中心数和幻和。 答案：中心数5，幻和15 解析：九个数之和=45，幻和=45÷3=15，中心数=15÷3=5。 四、含多余条件型 例题4：从1~15中选9个数填入三阶幻方，使幻和为45，下列哪个数可以不选？（ ） A. 1 B. 5 C. 10 D. 15 答案：A 解析：幻和=45，中心数=45÷3=15，九个数需包含15，且和=45×3=135。若选1，则其余8个数和=134，1~15中除1外最大8个数和=8+9+…+15=（8+15）×8÷2=92＜134，故1不可能选，选A。 跟踪练习4：从2、3、5、7、11中选5个数填入十字数阵，使横、竖和相等，多余的数是（ ）。 答案：2 解析：总和+重叠数=2×横和，总和=2+3+5+7+11=28，28+重叠数=偶数，重叠数为偶数，仅2是偶数，若选2为重叠数，横和=（28+2）÷2=15，横：3+2+10（无10），错误，故多余数是2。 五、综合应用型 例题5：数阵中数字为连续5个奇数，十字数阵横、竖和均为35，中心数是多少？这5个数分别是多少？ 答案：中心数11，数：7、9、11、13、15 解析：设中心数x（重叠数），横、竖和=35，总和=5x（连续奇数成等差数列，中间数=x），总和+重叠数=2×35，连续5个奇数和=5x，横和=（5x + x）÷2=3x=35，幻和33，中心数11，数7、9、11、13、15，总和=55，55+11=66=2×33，横和=33）。 跟踪练习5：数阵中数字为等差数列，三阶幻方幻和=42，公差=2，这九个数最小是多少？ 答案：6 解析：幻和=42，中心数=42÷3=14，九个数为14-8、14-6、…、14+8（公差2），最小数=14-8=6。 提升练习 1．在如图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。现在已经填好两个数，那么x＝（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．19 【答案】D 【分析】要求x是多少，根据题意能求出最下行的中间的数为15，然后设出中间的数为y，则上边的数为2y－15，左上角的数为2y－17，因为左上角数的2倍等于同一条直线上的两个数的和，由此列出方程，继而求出y，然后求出x。 【详解】 中间的数：（13＋17）÷2 ＝30÷2 ＝15 解：设中间的数为y。 2y－15＋13＝2（2y－17） 2y－15＋13＝4y－34 34－15＋13＝4y－2y 2y＝32 y＝32÷2 y＝16 16×2－13 ＝32－13 ＝19 则x等于19 故答案为：E 2．如图，把2015，2017，2019，2021，2023这五个数分别填入五个方格中，使得横排和竖排的三个方格中的数之和相等，那么中间方格中能填的数是（    ）。 A．2017 B．2019 C．2021 D. 2015 【答案】B 【分析】横排的三个方格中的数之和等于竖列的三个方格中的数之和，中间方格中能填的数是按从小到大的顺序排列后最中间的那个数。 【详解】2015＜2017＜2019＜2021＜2023 中间方格中能填的数是2019。 故答案为：B 3．如图1的3×3表格中分别填入了1～9，我们把对角相邻的两个数同时加上或同时减去一个相同的数叫做一次操作（如1和5同时加2，变成3和7），经过若干次操作得到下图，那么A和B的乘积是( )。 【答案】250 【分析】图1中的4或6增加或减少的同时，2或8必然随之增加或减少相同的数，4和6增加或减少的和，与2和8增加或减少的和相同，据此可计算出A的值，同理1、3、7、9增加或减少的和与5增加或减少的和相等，据此也可以计算出B的值，据此即可解答。 【详解】A＝（10﹣4）＋（10﹣6）﹣（10﹣8）＋2 ＝6＋4－2＋2 ＝10 B＝（10﹣1）＋（10﹣3）＋（10﹣7）＋（10﹣9）＋5 ＝9＋7＋3＋1＋5 ＝25 10×25＝250 所以A和B的乘积是250。 4．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。 【答案】 和的最大值是24，和的最小值是20，填法见解析。 【分析】如图所示，观察这个数阵图，发现图中a、b各计算2次，设每个菱形的四个顶点数之和为x，则可知3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b，即3x＝55＋a＋b。问题是需要求x的最大值和最小值各是多少，也就是求a＋b的最大值和最小值各是多少。根据3x＝55＋a＋b可知，55＋a＋b必须是3的倍数，由此即可知道a＋b最大为多少，a＋b最小为多少，即可求出这个和的最大值和最小值各是多少。然后再完成数阵图的填写。 【详解】如图，设每个菱形的四个顶点数之和为x， 3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b， 3x＝55＋a＋b ①当a＋b＝10＋7＝17或者a＋b＝9＋8＝17时，x最大， x最大为：（55＋17）÷3 ＝72÷3 ＝24 填法如下（不唯一）： ②当a＋b＝1＋4＝5或者a＋b＝2＋3＝5时，x最小， x最小为：（55＋5）÷3 ＝60÷3 ＝20 填法如下（不唯一）： 5．将1～6这六个数填入图的六个〇中，使得大圆周上相邻的两个〇中的数之和都是质数。 【答案】见详解 【分析】4＋1＝5，4＋2＝6，4＋3＝7，4＋5＝9，4＋6＝10，5和7是质数，6、9、10都是合数，所以与4相邻的两个数只能是1和3，还剩下2、5、6，1＋6＝7，3＋2＝5，所以1的另一个相邻数是6，3的另一个相邻数是2，最后一个〇中的数是5，2＋5＝7，6＋5＝11，7和11都是质数，据此即可解答。 【详解】 6．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 【答案】见解析 【分析】八个〇中填入的是1～8，因此可以先求出这8个数的和，1＋2＋3＋……＋8＝（1＋8）×8÷2＝9×8÷2＝36。小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，因此可以求出小正方形的四个顶点数之和为：36÷（2＋1）＝12。大正方形每条边上的三个数之和都相等，因此可以求出大正方形每条边上的三个数之和为：（36＋12）÷4＝12。因为1＋2＋3＋6＝12，4＋5＋7＋8＝24，因此小正方形的四个顶点数分别为1、2、3、6，大正方形的四个顶点数分别为4、5、7、8，然后进行尝试即可。 【详解】如图： 7．如图，将1～9填入圈内，使每个大圆上的三个数的和相等。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，每个大圆上的三个数的和相等，所以1～9的和等于中间圆圈上三个数和的3倍，1～9的和等于45，45除以3等于中间圆圈上三个数的和，即等于15，据此即可解答。 【详解】 （答案不唯一） 8．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，每边上的三数之和相等，假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m，则1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m，据此求出m的最大值，然后根据m的值填写各边上的数，据此即可解答。 【详解】假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m。 1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m 36＋（A＋B＋C＋D）＝4m m＝9＋（A＋B＋C＋D）÷4 5＋6＋7＋8＝26 26÷4＝6……2 3＋6＋7＋8＝24 24÷4＝6 所以m的最大值为9＋6＝15 8＋7＝15，所以8和7不能在一边上，应该放在对角上，6和3也放在对角上。 8＋6＋1＝15 8＋3＋4＝15 7＋6＋2＝15 7＋3＋5＝15 【点睛】求出每边上三数和的最大值是解答本题的关键。 9．将1，2，3，…，9填入图中的〇中，使等式成立。 【答案】见解析 【分析】观察数阵图发现，图中有加法、减法和除法运算，因此可以先考虑除法。在1～9中，3个数字互不相同能构成除法算式的只有6÷2＝3或6÷3＝2，因此第一列的数必须是6、3、2；再考虑加法，因为有2组加法算式等于1个数，且有一个是除法的商，故考虑3＋□＝□或2＋□＝□，据此尝试即可填出。 【详解】如图： 10．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】观察可得，每条直线上三个数分别是，根据等差数列求和公式即可求出它们的和，这个和除以3即为每一个大圆及每条直线上三个数之和。然后再结合“最大配最小”的原则即可填空。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45 45÷3＝15 15＝1＋9＋5＝2＋6＋7＝3＋4＋8 （答案不唯一） 11．将分别填入如图中，使五个正方形的四个顶点上的数的和相等。 【答案】 【分析】将16个数填写在正方形中，每个数字只填一遍，则边上的四个正方形的和就是1到16的和，即每个正方形的和是34。再通过尝试将16个数字填写在图中。 【详解】1＋2＋3＋……＋16 ＝（1＋16）×16÷2 ＝17×8 ＝136 136÷4＝34 12．如图，要使每一行、每一列、两条对角线上的三个数的和都是27，、、、、、、应各是多少？ 5 6 【答案】；；；；；； 【分析】幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。3×3形式的叫做三阶幻方，其中有中心数也就是幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和（每行、列和对角线上的数字和）÷3。 中间的数是字母C，即用27÷3即可得出，再根据已知三个数的和以及其中两个数用连减的方式即可得出其他字母代表的数字。 【详解】中心C：27÷3＝9 E：27－5－9＝13 A：27－13－6＝8 B：27－8－5＝14 G：27－9－8＝10 F：27－13－10＝4 D：27－5－10＝12 答：；；；；；； 13．在如图所示的〇内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若、、的和为18，则三个顶点上的三个数的和是( )。 【答案】9 【分析】设三个顶点上的三个数的和是m，因为三条边上的三个数的和都是12，则2m＋A＋B＋C＝12×3，又因为A＋B＋C＝18，代入，即可得解。 【详解】2m＋18＝36 2m＝36－18 2m＝18 m＝18÷2 m＝9 则三个顶点上的三个数的和是9。 14．把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 【答案】见解析 【分析】由题意可知，左右两边两个环上所有数字和为21×2＝42；因为中间两个数字重复计算，所以中间两数之和为21×2－（1＋2＋…＋8）＝6，两数分别为1和5，右环上剩下两数和为21－（1＋2＋5）＝13，只能为6和7，于是左环三个数为3，4，8。其中（3，4，8），（1，5），（6，7）各组中数字可相互交换位置。 【详解】21×2－（1＋2＋…＋8） ＝42－36 ＝6 中间两数分别为1和5，填空如下： （答案不唯一） 15．请将1~11这11个自然数分别填入下图中的方格内，每个数只能用一次，使“六一”中五条线段上的数字之和都相等。（答案不唯一，写出两个即可）    【答案】见详解 【分析】1＋2＋3＋…＋11＝66。设“六”字中公共的方框里的数为a，每条直线上各数的和为m。则5m＝66＋a，因为5m是5的倍数，则（66＋a）也应是5的倍数，在1~11中，只有4和9符合条件，当a＝4时，m＝（66＋4）÷5＝14，如图1所示。当a＝9时，m＝（66＋9）÷5＝15，如图2所示。最后把剩下的数补充完整即可。 【详解】根据分析，当“六”字中公共的方框里的数为4时，每条直线上各数的和为14；当“六”字中公共的方框里的数为9时，每条直线上各数的和为15。如下图将这11个自然数分别填入图中的方格。 【点睛】本题考查数阵问题。找到五条直线上的数字之和与5的倍数关系是解题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $