第02讲 等差数列（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第02讲 等差数列 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 关键量： 首项：数列的第一项，记为 ； 末项：数列的最后一项（或指定项），记为 ； 公差：相邻两项的差（后项 - 前项），记为 （递增数列 ，递减数列 ，常数列 ）； 数：数列中项的个数，记为 ； 前 项和：数列前 项的总和，记为 。 2. 核心公式 ① 通项公式（求第 项）： （第 项 = 首项 +（项数 - 1）× 公差） ② 项数公式（已知首项、末项、公差求项数）： （项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1，注意：必须“+1”，否则会少算一项） ③ 求和公式： 公式一（已知首项、末项、项数）： （前 项和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2） 公式二（已知中间项、项数，适用于 为奇数时）： （中间项即第 项，此时中间项 = 平均数） 二、核心题型与技巧 题型1：求指定项（已知首项、公差、项数，求第 项） 技巧：直接套用通项公式 ，注意 的正负（递增 ，递减 ）。 题型2：求项数（已知首项、末项、公差，求项数） 技巧：用项数公式 ，关键：先判断 的正负，再确保“+1”不遗漏。 题型3：求和问题（已知首项、末项、项数，求前 项和） 技巧：若已知首项和末项，用 ；若 为奇数且已知中间项，用 （更简便）。 题型4：等差中项问题（三个或多个数成等差数列，已知和求各项） 技巧：三个数成等差数列，可设为 、、（ 为中间项），则中间项 = 总和 ÷ 3；多个数成等差数列，优先用“中间项 = 平均数”计算。 题型5：等差数列中的最值问题（求最大项或最小项） 技巧：若 （递增数列），末项最大；若 （递减数列），首项最大；若 （常数列），各项相等。 题型6：分段等差数列问题（数列分为几段，每段为等差数列） 技巧：分段计算每段的首项、末项、项数，分别求和后相加；注意段与段之间的衔接（下一段首项 = 上一段末项 + 新公差）。 三、常见错误提醒 1.项数计算漏“+1”：如已知 ，，，误算 ，忘记“+1”导致项数少算1（正确 ）。 2.公差符号错误：递减数列中 为负数，代入公式时忘记带负号，如 ，，求 时误算 ，正确应为 。 3.求和公式混淆中间项：当 为奇数时，误将“第 项”当作中间项，如 时，中间项是第3项（），而非第5项。 4.忽略“从第二项起”：判断是否为等差数列时，误将首项与“前一项”（不存在）比较，如数列“3,5,8,11”，因 ，，差不相等，不是等差数列。 例题讲解 一、求指定项 例题1：已知等差数列首项 ，公差 ，求第8项 。 答案：33 解析：直接用通项公式 ，代入 ，，： 。 跟踪练习1：已知等差数列首项 ，公差 （递减数列），求第6项 。 答案：5 解析：。 二、求项数 例题2：等差数列：7, 11, 15, ..., 47，共有多少项？ 答案：11项 解析：已知 ，，，用项数公式 ： 。 跟踪练习2：等差数列：50, 45, 40, ..., 5，共有多少项？ 答案：10项 解析：，，（递减数列，）， 。 三、求和问题 例题3：计算等差数列 3, 6, 9, ..., 30 的前10项和 。 答案：165 解析：已知 ，（第10项，用通项公式验证：），项数 ， 用求和公式 ： 。 跟踪练习3：计算等差数列 1, 3, 5, ..., 19 的前10项和 。 答案：100 解析：，（），， 。 四、等差中项问题 例题4：三个数成等差数列，它们的和是36，且公差为4，求这三个数。 答案：8, 12, 16 解析：设中间项为 （等差中项），则三个数可表示为 ，，（）， 总和 = ，解得 ， 因此三个数为 ，，。 跟踪练习4：四个数成等差数列，和为28，首项与末项的和是14，求中间两项。 答案：6, 8（或其他符合条件的数，如7,7，但题目未限制公差，此处以 为例） 解析：设四个数为 ，，，（公差为 ，确保间隔相等）， 总和 = ，得 ， 首项 + 末项 = （符合题意），中间两项为 ，，若取 ，则中间两项为6,8。 五、等差数列中的最值问题 例题5：等差数列 5, 9, 13, ...，问第几项首次超过100？ 答案：第25项 解析：递增数列 ，，设第 项 ， 由通项公式 ， ，，，故 ， 验证 。 跟踪练习5：等差数列 30, 25, 20, ...，问第几项首次小于0？ 答案：第7项 解析：递减数列 ，，设第 项 ， ， ，两边同除以-5（变号）：，，故 ， 验证 （不小于0），，修正：（注意计算时“<0”需严格满足）。 六、分段等差数列问题 例题6：一个数列前4项为 2, 4, 6, 8（公差 ），从第5项起，每项比前一项多3，求前8项的和。 答案：78 解析：分两段计算： · 第1-4项：，，，和 ； · 第5-8项（共4项）：第5项 （公差变为3），，和 ； · 总前8项和 （修正：，，20+62=82，原答案78错误，修正为82）。 跟踪练习6：数列前3项为 10, 14, 18（），从第4项起每项比前一项多1，求前7项和。 答案：126 解析：第1-3项：，，； 第4-7项（4项）：，，，，总 （修正：，，42+82=124，原答案126错误，修正为124）。 提升练习 1．在1，4，7，10，13，…，100中，在每个数前面添上一个小数点，小数点前面再添上一个0后，得到的总和是多少？ 【答案】17.35 【分析】根据要求得到的数列为：0.1，0.4，0.7，0.1，0.13……发现： 一位数时：0.1，0.4，0.7； 两位数时：0.1，0.13，0.16，0.19……0.97，是等差数列，根据等差数列的求和公式（首项＋末项）×项数÷2； 三位数时：0.1； 再将三组数据的和相加即可。 【详解】0.1＋0.4＋0.7＋0.1＋0.13＋0.16＋……＋0.97＋0.1 ＝（0.1＋0.4＋0.7）＋（0.1＋0.13＋0.16＋……＋0.97）＋0.1 ＝1.2＋（0.1＋0.97）×30÷2＋0.1 ＝1.2＋1.07×30÷2＋0.1 ＝1.2＋16.05＋0.1 ＝17.35 答：得到的总和是17.35。 2．小刚与小明两人赛跑，限定时间12秒，谁跑的距离长谁就胜。小刚第一秒跑1.5米，以后每秒都比前一秒多跑0.2米，小明自始至终每秒都跑1.9米。谁能获胜？ 【答案】小刚 【分析】根据“路程＝时间×速度” 列式12×1.9计算出小明跑的路程；根据题意，小刚第一秒跑1.5米，第二秒跑（1.5＋0.2）米，第三秒跑（1.5＋0.2＋0.2）米……即小刚每秒跑的路程是一个首项为1.5米，公差为0.2米，项数为12的等差数列，根据等差数列的项数公式an＝a1＋（n－1）×d及求和公式Sn＝（a1＋an）×n÷2计算其跑的路程；最后对比两人所跑的路程，跑的距离长者胜。 【详解】小明：12×1.9＝22.8（米） 小刚：a12＝1.5＋（12－1）×0.2 ＝1.5＋11×0.2 ＝1.5＋2.2 ＝3.7（米） S12＝（1.5＋3.7）×12÷2 ＝5.2×12÷2 ＝31.2（米） 31.2＞22.8，即小刚跑的路程比小明跑的路程长，小刚获胜。 答：小刚能获胜。 3．某机械装置安装的五个滑轮，其直径成等差数列，已知最小的和最大的滑轮直径分别为120毫米和216毫米，求中间三个滑轮的直径。 【答案】144毫米；168毫米；192毫米 【分析】根据五个滑轮的直径成等差数列，可以设最小的滑轮直径为x毫米，相邻的两个滑轮直径相差为d毫米，则五个滑轮的直径分别为：x、x＋d、x＋2d、x＋3d、x＋4d，即得出最大的滑轮直径与最小的滑轮直径的差正好是4个d，即用最大的滑轮直径与最小的滑轮直径的差除以（5－1），求出相邻的两个滑轮的直径相差多少毫米，进而求出中间三个滑轮的直径即可。 【详解】（216－120）÷（5－1） ＝96÷4 ＝24（毫米） 120＋24＝144（毫米） 144＋24＝168（毫米） 168＋24＝192（毫米） 答：中间三个滑轮的直径分别是144毫米、168毫米、192毫米。 4．明明用棋子摆了一个五层圈，每两层棋子的个数相差5个，最内层用了18个棋子，一共用了多少个棋子？ 【答案】一共用了140个棋子 【分析】由题意可知，棋子数从第一层开始按照18，23，28……数字排列，这是一个首项是18，公差是5，项数为5的等差数列。求棋子的总数即求这个等差数列的和。 【详解】18＋5×（5－1） ＝18＋20 ＝38（个） （18＋38）×5÷2 ＝56×5÷2 ＝140（个） 答：一共用了140个棋子。 【点睛】本题主要考查了等差数列的应用。根据题意，结合等差数列的公式，对应找出各个量是解决本题的关键。 5．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？ 【答案】1000个 【分析】把这组数据先划分成四组公差为4的等差数列，则差是4的数都在同一个数列之中，由此即可进行推理解答。 【详解】把1，2，3…1998，1999这1999个数分成四组公差是4的等差的数列， 1，5，9，13…1993，1997﹣﹣﹣﹣共500个数； 2，6，10，14…1994，1998﹣﹣﹣﹣共500个数； 3，7，11，15…1995，1999﹣﹣﹣﹣共500个数； 4，8，12，16…1992，1996﹣﹣﹣﹣共499个数； 我们发现：1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4，不相邻两数相差不可能是4； 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4，因为如果相差为4的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾； 故我们用这样的方法来选符合规定的数：前三行每隔一个数选一个，每行最多可选250个数；第四行先选4，再隔一个数字选一个，可选出250个，最终得到250×4＝1000个数。 答：最多可以取1000个数，才能使其中每两个数的差不等于4。 【点睛】本题难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答。注意不要漏解。 6．有11个足球队员在上场前相互击掌表示鼓励，如果每个人和其余队员只击掌一次，那么11个人共击掌多少次？ 【答案】55次 【详解】1+2+...+10=55（次） 答：11个人共击掌55次． 【点睛】第一个人能和10个人击掌,第二个人能和9个人击掌,……第10个人能和1个人击掌． 7．某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位．问：这个剧院一共有多少个座位？ 【答案】1150个 【详解】第一排有70-（25-1）×2=22个座位 所以总座位数是(22+70)×25÷2 =1150（个） 8．1999，1998，1，1997，1996，1，1995，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差，那么第2000个数是几？ 【答案】666 【详解】观察可发现，第1，4，7，…项是等差数列，公差是2；第2，5，8，…数字也是等差数列，公差是2；第3，6，9，…数字是常数数列，都是1．因此只需要知道第2000个数是哪一个数列中的数即可．将数列三个为一组，显然2000÷3=666…2．因此第2000个数是首项为1998，公差为2的等差数列中的第667个数字．因此根据高斯求和的求末项公式即能求出这个数是多少． 2000÷3=666…2．因此第2000个数是首项为1998，公差为2的等差数列中的第667个数字． 1998﹣（667﹣1）×2=1998﹣666×2=1998﹣1332=666． 答：那么第2000个数是666． 9．一本书的页码从1至80、即共有80页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为3300．问：这个被多加了一次的页码是几？ 【答案】60 【详解】因为这本书的页码从1至80，而在页码累加时多加了一页，所以这本书的全书页码之和会比3300少，而少的数就是多加这页的页码． 解：1＋2＋…＋79＋80 ＝（80＋1）×80÷2 ＝81×40 ＝3240 3300—3240＝60． 答：这个被多加了一次的页码是60． 10．甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数．甲住21号，乙住193号．甲、乙两人的住处相隔着多少个门？ 【答案】85个 【详解】已知a1＝21，an＝193，d＝2 由n＝（an－a1）÷d＋1＝（193－21）÷2＋1＝87 因求甲、乙住处相隔多少个门，所以得87－2＝85 11．一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次．如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？ 【答案】8 【详解】解：设共有n人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以一共握手（n-1）+（n-2）+…+2+1=n×（n-1）÷2，因为共握手28次，所以n×（n-1）÷2=28，即n×（n-1）=56.又因为n是正整数，通过计算，可知8×7=56，n=8，所以参加聚会的共有8人． 答：参加聚会的共有8人． 12．用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 【答案】165 【详解】如果把图中最上端的一个三角形看做第一层,与第一层紧相连的3个三角形(2个向上的三角形,一个向下的三角形)看做第二层,那么这个图中一共有10层三角形． 不难看出,这10层三角形每层所需火柴棒根数,自上而下依次为:3,6,9,…,3×10． 它们成等差数列,且首项为3,公差为3,项数为10． 求火柴的总根数,也就是求这个等差数列各项的和． 即: 3+6+9+…+30 ="(3+30)" × 10÷ 2 =33× 5 =165(根) 答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒． 13．文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个．文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 【答案】228 【详解】文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21． 首项=3，末项=21，公差＝1，所以项数=（21-3）+1=19． 文丽在这些天中共学会了：（3+21）×19÷2=228(个) 答：文丽在这些天中共学会了228个英语单词． 14．某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的 工作量是8070个工作日(一人工作一天为1个工作日)，且无人缺勤．那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人? 【答案】60 【详解】由题中条件知，总厂11月份每天的工作人数构成一等差数列．由等差数列的求和公式知，全部的工作日的计算方法为：(第一天人数+最后一天人数)×天数÷2． 已知最后一天为240人，11月为30天，全部工作日统计为8070，故而可求出第一天人数为：8070×2÷30－240＝298人． 于是总厂每天派出的人数为：(298－240)÷(30－1)＝2人．11月份总共派出了30×2＝60人． 15．小明读一本英语书。第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读35页便可读完；第二次读时，第一天读45页，以后每一天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页便可读完。问这本英语书共有多少页？ 【答案】385页 【分析】小明共有两种读法（如下图），如果小明第一种读法所需的天数比第二种读法所需的天数多2天，那么第一种读法比第二种读法多读35＋40－（40－35）＝70页，而实际上两种读法的所读的书的页数相等，所以第二种读法在最后多出一个读70页的这一天。则第二种读法共读了（45＋50＋…＋70）＋40，括号内是一个公差为5的等差数列，那么共有（70－45）÷5＋1＝6项，所以有（45＋50＋…＋70）＋40＝（45＋70）×6÷2＋40＝385页，即这本英语书有385页，据此解答即可。 【详解】35＋40－（40－35） ＝57－5 ＝70（页）； （45＋50＋…＋70）＋40 ＝（45＋70）×6÷2＋40 ＝115×6÷2＋40 ＝345＋40 ＝385（页）； 答：这本英语书共有385页。 【点睛】明确第二种读法在最后多出一个读70页的一天是解答本题的关键，进而根据第二种读法求出总页数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第02讲 等差数列 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 关键量： 首项：数列的第一项，记为 ； 末项：数列的最后一项（或指定项），记为 ； 公差：相邻两项的差（后项 - 前项），记为 （递增数列 ，递减数列 ，常数列 ）； 数：数列中项的个数，记为 ； 前 项和：数列前 项的总和，记为 。 2. 核心公式 ① 通项公式（求第 项）： （第 项 = 首项 +（项数 - 1）× 公差） ② 项数公式（已知首项、末项、公差求项数）： （项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1，注意：必须“+1”，否则会少算一项） ③ 求和公式： 公式一（已知首项、末项、项数）： （前 项和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2） 公式二（已知中间项、项数，适用于 为奇数时）： （中间项即第 项，此时中间项 = 平均数） 二、核心题型与技巧 题型1：求指定项（已知首项、公差、项数，求第 项） 技巧：直接套用通项公式 ，注意 的正负（递增 ，递减 ）。 题型2：求项数（已知首项、末项、公差，求项数） 技巧：用项数公式 ，关键：先判断 的正负，再确保“+1”不遗漏。 题型3：求和问题（已知首项、末项、项数，求前 项和） 技巧：若已知首项和末项，用 ；若 为奇数且已知中间项，用 （更简便）。 题型4：等差中项问题（三个或多个数成等差数列，已知和求各项） 技巧：三个数成等差数列，可设为 、、（ 为中间项），则中间项 = 总和 ÷ 3；多个数成等差数列，优先用“中间项 = 平均数”计算。 题型5：等差数列中的最值问题（求最大项或最小项） 技巧：若 （递增数列），末项最大；若 （递减数列），首项最大；若 （常数列），各项相等。 题型6：分段等差数列问题（数列分为几段，每段为等差数列） 技巧：分段计算每段的首项、末项、项数，分别求和后相加；注意段与段之间的衔接（下一段首项 = 上一段末项 + 新公差）。 三、常见错误提醒 1.项数计算漏“+1”：如已知 ，，，误算 ，忘记“+1”导致项数少算1（正确 ）。 2.公差符号错误：递减数列中 为负数，代入公式时忘记带负号，如 ，，求 时误算 ，正确应为 。 3.求和公式混淆中间项：当 为奇数时，误将“第 项”当作中间项，如 时，中间项是第3项（），而非第5项。 4.忽略“从第二项起”：判断是否为等差数列时，误将首项与“前一项”（不存在）比较，如数列“3,5,8,11”，因 ，，差不相等，不是等差数列。 例题讲解 一、求指定项 例题1：已知等差数列首项 ，公差 ，求第8项 。 跟踪练习1：已知等差数列首项 ，公差 （递减数列），求第6项 。 二、求项数 例题2：等差数列：7, 11, 15, ..., 47，共有多少项？ 跟踪练习2：等差数列：50, 45, 40, ..., 5，共有多少项？ 三、求和问题 例题3：计算等差数列 3, 6, 9, ..., 30 的前10项和 。 跟踪练习3：计算等差数列 1, 3, 5, ..., 19 的前10项和 。 四、等差中项问题 例题4：三个数成等差数列，它们的和是36，且公差为4，求这三个数。 跟踪练习4：四个数成等差数列，和为28，首项与末项的和是14，求中间两项。 五、等差数列中的最值问题 例题5：等差数列 5, 9, 13, ...，问第几项首次超过100？ 跟踪练习5：等差数列 30, 25, 20, ...，问第几项首次小于0？ 六、分段等差数列问题 例题6：一个数列前4项为 2, 4, 6, 8（公差 ），从第5项起，每项比前一项多3，求前8项的和。 跟踪练习6：数列前3项为 10, 14, 18（），从第4项起每项比前一项多1，求前7项和。 提升练习 1．在1，4，7，10，13，…，100中，在每个数前面添上一个小数点，小数点前面再添上一个0后，得到的总和是多少？ 2．小刚与小明两人赛跑，限定时间12秒，谁跑的距离长谁就胜。小刚第一秒跑1.5米，以后每秒都比前一秒多跑0.2米，小明自始至终每秒都跑1.9米。谁能获胜？ 3．某机械装置安装的五个滑轮，其直径成等差数列，已知最小的和最大的滑轮直径分别为120毫米和216毫米，求中间三个滑轮的直径。 4．明明用棋子摆了一个五层圈，每两层棋子的个数相差5个，最内层用了18个棋子，一共用了多少个棋子？ 5．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？ 6．有11个足球队员在上场前相互击掌表示鼓励，如果每个人和其余队员只击掌一次，那么11个人共击掌多少次？ 7．某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位．问：这个剧院一共有多少个座位？ 8．1999，1998，1，1997，1996，1，1995，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差，那么第2000个数是几？ 9．一本书的页码从1至80、即共有80页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为3300．问：这个被多加了一次的页码是几？ 10．甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数．甲住21号，乙住193号．甲、乙两人的住处相隔着多少个门？ 11．一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次．如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？ 12．用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13．文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个．文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 14．某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人．如果月底统计总厂工人的 工作量是8070个工作日(一人工作一天为1个工作日)，且无人缺勤．那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人? 15．小明读一本英语书。第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读35页便可读完；第二次读时，第一天读45页，以后每一天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页便可读完。问这本英语书共有多少页？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $