第06讲 分类数图形（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第06讲 分类数图形 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 数图形是指按一定顺序和规则，不重复、不遗漏地数出图形中特定类型图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形等）的个数。关键方法是分类计数：将图形按“组成部分的多少”（由1个基本图形组成、2个基本图形组成……）或“位置特征”（上层、下层、左半部分、右半部分等）分类，再将各类个数相加。 2.核心方法与公式 分类法：按图形组成的基本单元数量分类（如“由1个基本线段组成”“由2个基本线段组成”等），适用于所有图形计数。 公式法（针对规则图形）： 数线段：若一条直线上有个点（含端点），线段总数为（即从1加到）。 数角：若一个顶点引出条射线（含两边），角的总数为（即从1加到）。 数长方形（不含正方形）：长边上有条线段，宽边上有条线段，长方形总数为（需减去正方形个数）。 数正方形：在的网格中（、为长、宽方向小格数，），正方形总数为。 二、核心题型与技巧 题型1：数线段 技巧：按“包含基本线段的条数”分类（基本线段：相邻两点间的线段），或直接用公式“从1加到（点数-1）”。 题型2：数角 技巧：类比数线段，按“包含基本角的个数”分类（基本角：相邻两条射线组成的角），或用公式“从1加到（射线条数-1）”。 分类法：1个基本角（∠AOB、∠BOC、∠COD）：3个；2个基本角（∠AOC、∠BOD）：2个；3个基本角（∠AOD）：1个；总数个。 题型3：数三角形 技巧：若三角形顶点固定，底边为一条线段，则三角形个数=底边上线段的条数（每条线段对应一个三角形）。 题型4：数长方形 技巧：先求“含正方形的长方形总数”（长线段数×宽线段数），再减去“正方形个数”。 题型5：数正方形 技巧：按“边长”分类，边长为1的正方形个数=长小格数×宽小格数，边长为2的=（长小格数-1）×（宽小格数-1），……，直到边长为（），再相加。 题型6：复合图形（组合图形） 技巧：分解为基本图形，先数各部分个数，若有重叠区域需减去重复计数的个数。 题型7：含特殊条件（如含标记点、重叠区域） 技巧：按特殊条件分类（如“含中心点”“不含阴影”），优先数满足条件的基本图形，再数组合图形。 三、易错点提醒 1.分类要“全”：按“组成个数”“位置”“尺寸”等单一标准分类，不交叉； 2.公式要“准”：明确公式中各字母含义（n为点数/射线条数，m/n为网格长/宽小格数）； 3.图形要“辨”：区分正方形与长方形，复合图形先整体后局部； 4.特殊要“细”：含标记点时，先确定方向线段数，再用“分步乘法”计算； 5.计算要“稳”：每步标记结果，汇总时复查。 例题讲解 例题1：在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有几条？用字母表示出来。 跟踪练习1：把每两个点用线段连接起来，一共画出了几条线段？ 例题2：数一数，下图中一共有多少个锐角？ 跟踪练习2：如图，∠AOE、∠BOF、∠COG均为直角。图中一共有多少个角？有多少个锐角？有多少个钝角？ 例题3：数一数图中共有( )个三角形。 跟踪练习3：数一数，图中一共有几个三角形？ 例题4：数一数，图中有多少个长方形？ 跟踪练习4：下图中有( )个三角形，有( )个长方形。 例题5：    ( )个长方形       ( )个正方形 跟踪练习5：数一数。     有( )个长方形      有( )个正方形 提升练习 1．下图中一共有( )个长方形。 2．数一数。 ( )个角      ( )个长方形 3．图中有( )个三角形。 4．下图中有( )个正方形。 5．数一数。 ( )个长方形       ( )个正方形     ( )个三角形 6．同学们终于登上了山顶，那里有一座亭子可以休息，从不同的方向看亭子顶是不一样的，如图（包含组合图形）。 ( )个长方形   ( )个三角形 7．带有的正方形有几个？带有的三角形有几个？ ( )个      ( )个 8．同学们终于登上了山顶，那里有一座亭子可以休息，从不同的方向看亭子顶是不一样的，如图。 ( )个长方形    ( )个正方形    ( )个三角形 9．下图包含的三角形有( )个。 10．数一数，下图中一共有( )个长方形，包含★的长方形有( )个。 ★ 11．在直线l上有A、B、C三个点，以点B为一个端点的线段有( )条。 12．如图中，共有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 13．图中共有( )条线段；图中共有( )个角。 14．下图中有( )条线段，有( )条射线，有( )条直线。 15．下面图形中，有( )条线段，( )个角，其中有( )个锐角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第06讲 分类数图形 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 数图形是指按一定顺序和规则，不重复、不遗漏地数出图形中特定类型图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形等）的个数。关键方法是分类计数：将图形按“组成部分的多少”（由1个基本图形组成、2个基本图形组成……）或“位置特征”（上层、下层、左半部分、右半部分等）分类，再将各类个数相加。 2.核心方法与公式 分类法：按图形组成的基本单元数量分类（如“由1个基本线段组成”“由2个基本线段组成”等），适用于所有图形计数。 公式法（针对规则图形）： 数线段：若一条直线上有个点（含端点），线段总数为（即从1加到）。 数角：若一个顶点引出条射线（含两边），角的总数为（即从1加到）。 数长方形（不含正方形）：长边上有条线段，宽边上有条线段，长方形总数为（需减去正方形个数）。 数正方形：在的网格中（、为长、宽方向小格数，），正方形总数为。 二、核心题型与技巧 题型1：数线段 技巧：按“包含基本线段的条数”分类（基本线段：相邻两点间的线段），或直接用公式“从1加到（点数-1）”。 题型2：数角 技巧：类比数线段，按“包含基本角的个数”分类（基本角：相邻两条射线组成的角），或用公式“从1加到（射线条数-1）”。 分类法：1个基本角（∠AOB、∠BOC、∠COD）：3个；2个基本角（∠AOC、∠BOD）：2个；3个基本角（∠AOD）：1个；总数个。 题型3：数三角形 技巧：若三角形顶点固定，底边为一条线段，则三角形个数=底边上线段的条数（每条线段对应一个三角形）。 题型4：数长方形 技巧：先求“含正方形的长方形总数”（长线段数×宽线段数），再减去“正方形个数”。 题型5：数正方形 技巧：按“边长”分类，边长为1的正方形个数=长小格数×宽小格数，边长为2的=（长小格数-1）×（宽小格数-1），……，直到边长为（），再相加。 题型6：复合图形（组合图形） 技巧：分解为基本图形，先数各部分个数，若有重叠区域需减去重复计数的个数。 题型7：含特殊条件（如含标记点、重叠区域） 技巧：按特殊条件分类（如“含中心点”“不含阴影”），优先数满足条件的基本图形，再数组合图形。 三、易错点提醒 1.分类要“全”：按“组成个数”“位置”“尺寸”等单一标准分类，不交叉； 2.公式要“准”：明确公式中各字母含义（n为点数/射线条数，m/n为网格长/宽小格数）； 3.图形要“辨”：区分正方形与长方形，复合图形先整体后局部； 4.特殊要“细”：含标记点时，先确定方向线段数，再用“分步乘法”计算； 5.计算要“稳”：每步标记结果，汇总时复查。 例题讲解 例题1：在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有几条？用字母表示出来。 【答案】2条；AB、AC 【分析】线段的两端都有端点，不可延长，两个端点间的线条是直的。 【详解】在直线l上有A、B、C三个点，以点A为一个端点的线段有AB、AC，共2条。 跟踪练习1：把每两个点用线段连接起来，一共画出了几条线段？ 【答案】见详解 【分析】线段有两个端点，中间是直直的线，长度可测量，由此将每两点连起来，画一画，数出数量即可。 【详解】根据分析画图如下： 答：把每两个点用线段连接起来，一共画出了3条线段。 例题2：数一数，下图中一共有多少个锐角？ 【答案】55个 【分析】根据题意，对于由多条射线从一个公共端点出发组成的图形，每两条射线都可以组成一个角，所以要找出所有不同的两条射线的组合情况，就能确定角的个数。通过依次累加的方式来计算角的个数。首先数出射线的数量，A、B与9条C，共11条，先选第一条射线，它可和另外10条射线组成10个角；选第二条射线，它可和除第一条射线外的9条射线组成9个角，以此类推，共有11条线，但由于线B是最后一条线，无法再与其它线组成角，故角的总数为：10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝10＋（9＋1）＋（8＋2）＋（7＋3）＋（6＋4）＋5 ＝10＋10＋10＋10＋10＋5 ＝55（个） 答：下图中一共有55个锐角。 跟踪练习2：如图，∠AOE、∠BOF、∠COG均为直角。图中一共有多少个角？有多少个锐角？有多少个钝角？ 【答案】角21个；锐角15个；钝角3个 【分析】锐角：大于0°而小于90°的角。直角：等于90°的角。钝角：大于90°而小于180°的角。 根据从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，每两条射线即可组成一个角，有7条射线即可组成个角；已知∠AOE、∠BOF、∠COG均为直角，即直角有3个，∠AOE是直角，则∠AOF、∠AOG是钝角，∠BOF是直角，则∠BOG是钝角，即钝角有3个，那么用角的总数减去直角的数量再减钝角的数量可得锐角的数量。 【详解】 （个） （个） 答：图中一共有21个角；有15个锐角；有3个钝角。 例题3：数一数图中共有( )个三角形。 【答案】44 【分析】按照一定规律来找：先找单个三角形的个数，再找2个图形、4个图形、8个图形组合的三角形个数，相加即可图中三角形的总个数。 【详解】图中单个的三角形有16个； 2个图形组合的三角形有16个； 4个图形组合的三角形有8个； 8个图形组合的三角形有4个； 一共有三角形：16＋16＋8＋4＝44（个） 所以，图中共有44个三角形。 跟踪练习3：数一数，图中一共有几个三角形？ 【答案】44个 【分析】单独1个的三角形有16个，2个组合的三角形有16个，4个组合的三角形有8个，8个组合的三角形有4个，再把个数加起来即可。 【详解】16＋16＋8＋4＝44（个） 答：图中一共有44个三角形。 例题4：数一数，图中有多少个长方形？ 【答案】9个 【分析】长方形：有四个尖尖的角，四条直直的边，相对的两条边一样长；根据长方形的特点数一数图中长方形的个数，以及组合图形的个数，最后相加即可。 如图： 图中有1、2、3、4，共4个小长方形；1和2，3和4，1和3，2和4分别组成4个大一点的长方形；1、2、3、4合起来组成1个最大的长方形；把小长方形和组合图形数量相加，即是长方形的个数；据此解答。 【详解】由分析可得： 4＋4＋1＝9（个） 答：图中有9个长方形。 跟踪练习4：下图中有( )个三角形，有( )个长方形。 【答案】 5 3 【分析】长方形：有四个尖尖的角，四条直直的边，相对的两条边一样长；像这样长长方方的图形是长方形； 三角形：有三个尖尖的角，三条直直的边；像这样尖尖的图形是三角形；由此数出单独的图形和组合成的图形，相加就是总数量；据此解答。 【详解】根据分析：单独的三角形有4个；2个三角形组成的大三角形有1个，一共有4＋1＝5（个）；单独的长方形有2个；2个长方形组成的大长方形有1个，一共有2＋1＝3（个）；图中有5个三角形，有3个长方形。 例题5：    ( )个长方形       ( )个正方形 【答案】 3 6 【分析】根据平面图形的特征来解决即可。 长方形是长长方方的，由4条边围成，且对边一样长；正方形是正正方方的，由4条边围成，且4条边都一样长； 三角形由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形。 左图，基本的长方形有2个，由2个基本的长方形组成的长方形有1个，一共有3个长方形； 右图，基本的正方形有4个，由4个基本的正方形组成的正方形有1个，由4个基本的三角形组成的正方形有1个，一共有6个正方形。 【详解】由题意分析得： 3个长方形   6个正方形 跟踪练习5：数一数。     有( )个长方形      有( )个正方形 【答案】 6 8 【分析】长方形：由四条边围成，且对边相等，四个角都是直角。 正方形：由四条边围成，且四条边都相等，四个角都是直角。 单个的长方形有3个，2个单个的长方形组成大的长方形有2个，3个单个的长方形组成大的长方形有1个，一共（3＋2＋1）个长方形； 单个的正方形有6个，4个单个的正方形组成大的正方形有2个，一共（6＋2）个正方形；据此解答。 【详解】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 6＋2＝8（个） 则有6个长方形；有8个正方形。 提升练习 1．下图中一共有( )个长方形。 【答案】10 【分析】由题意得，可以分层来数长方形的个数。上面一层，单个的小长方形有2个，2个小长方形合起来的大长方形有1个，即上面一层有3个长方形。下面一层，单个的小长方形有3个，2个小长方形合起来组成的大长方形有2个，3个小长方形合起来组成的大长方形有1个，即下面一层有6个长方形。接着把两层的长方形合起来一起数，5个小长方形组成1个大长方形。最后把它们的数量全部加起来即可算出一共有多少个长方形。 【详解】3＋6＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 故图中一共有10个长方形。 2．数一数。 ( )个角      ( )个长方形 【答案】 6 9 【分析】 角有一个顶点两条边。如图：，有∠1、∠2、∠3，还有∠1和∠2拼成的角，∠2和∠3拼成的角，以及∠1、∠2、∠3拼成的角。 长方形有4条边，对边相等，四个角都是直角。如图：，有长方形1、长方形2、长方形3、长方形4，长方形1和长方形2拼成的长方形，长方形1和长方形3拼成的长方形，长方形3和长方形4拼成的长方形，长方形2和长方形4拼成的长方形，以及长方形1、长方形2、长方形3、长方形4拼成的大长方形。 【详解】 3．图中有( )个三角形。 【答案】10 【分析】由图可知，单独的小三角形有4个，由两个小三角形组成的大三角形有3个，由三个小三角形组成的大三角形有2个，由四个小三角形组成的大三角形有1个。然后把三角形的数量全部加起来即可。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 故图中有10个三角形。 4．下图中有( )个正方形。 【答案】3 【分析】正方形是方方正正的，有4条直直的边，由此数出图形的数量即可。 【详解】由分析得： 图中有3个正方形。 5．数一数。 ( )个长方形       ( )个正方形     ( )个三角形 【答案】 6 5 3 【分析】长方形是长长方方的，有4条直直的边，对边相等；正方形是方方正正的，有4条直直的边，每条边都相等；三角形有3条直直的边；由此数出各图形的数量填空即可。 【详解】由分析可得： 6个长方形                   5个正方形                  3个三角形 6．同学们终于登上了山顶，那里有一座亭子可以休息，从不同的方向看亭子顶是不一样的，如图（包含组合图形）。 ( )个长方形   ( )个三角形 【答案】 5 7 【分析】长方形是四个角相等的四边形，长长的方方的；三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段“首尾”顺次连接所组成的封闭图形。一个一个地数，不重复，不遗漏。 【详解】 7．带有的正方形有几个？带有的三角形有几个？ ( )个      ( )个 【答案】 6 6 【分析】正方形是正正方方的，由4条边围成且4条边一样长；三角形是由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形。 带有的基本的正方形有1个，带有的由4个基本的正方形组成的正方形有4个，带有的由9个基本的正方形组成的正方形有1个，把它们加起来就能算出一共有多少个。 带有的基本的三角形有1个，带有的由2个基本的三角形组成的三角形有2个，带有的由3个基本的三角形组成的三角形有2个，带有的由4个基本的三角形组成的三角形有1个，把它们加起来就能算出一共有多少个。 【详解】由题意分析得： 1＋4＋1＝6（个） 1＋2＋2＋1＝6（个） 即， 6个 6个 8．同学们终于登上了山顶，那里有一座亭子可以休息，从不同的方向看亭子顶是不一样的，如图。 ( )个长方形    ( )个正方形    ( )个三角形 【答案】 5 5 7 【分析】长方形是长长方方的，由4条边直直的边围成，且对边一样长，4个角都是直角；正方形是正正方方的，有4条直直的边，每条边都相等；三角形由3条线段首尾依次连接组成的封闭图形，有3个尖尖的角，3条直直的边；据此数出各种图形的数量即可。 【详解】由分析可知： 图形一有5个长方形； 图形二有5个正方形； 图形三有7个三角形。 9．下图包含的三角形有( )个。 【答案】4 【分析】单独的小三角形中只有中间1个包含的；2个小三角形组成的三角形中，有2个包含的；3个小三角形组成的三角形中，有1个包含的；将它们相加即可。 【详解】1＋2＋1＝4（个） 下图包含的三角形有4个。 10．数一数，下图中一共有( )个长方形，包含★的长方形有( )个。 ★ 【答案】 9 4 【分析】长方形是长长方方的，有4条直直的边，有4个直角，对边相等。先给小长方形编号如下： ★① ② ③ ④ 单个的长方形有：①、②、③、④，一共有4个； 由两个单个的长方形组成的长方形有：①②、③④、①③、②④，一共有4个； 由四个单个的长方形组成的大长方形有：①②③④，只有1个； 据此用加法求出长方形的总数即可； 包含★的单个的长方形有：①，只有1个； 包含★的由两个单个的长方形组成的长方形有：①②、①③，一共有2个； 包含★的由四个单个的长方形组成的大长方形有：①②③④，只有1个； 据此用加法求出包含★的长方形的总数即可。 【详解】4＋4＋1＝9（个） 1＋2＋1＝4（个） 所以图中一共有9个长方形，包含★的长方形有4个。 11．在直线l上有A、B、C三个点，以点B为一个端点的线段有( )条。 【答案】2/两 【分析】线段的两端都有端点，不可延长，两个端点间的线条是直的。 【详解】在直线l上有A、B、C三个点，以点B为一个端点的线段有BA、BC，共2条。 12．如图中，共有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 6 1 【分析】线段：一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。线段有两个端点，有长短；直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。直线没有端点，是无限长的；射线：把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，是无限长的。据此填空即可。 【详解】经过两个端点有一条直线； 第一个端点向上向左向右各有一条射线，第二个端点向斜上向左向右各有一个射线，一共有6条； 两个端点之间的连线是一条线段。 图中，共有1条直线，6条射线，1条线段。 13．图中共有( )条线段；图中共有( )个角。 【答案】 15 6 【分析】 以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF，一共5条，以B为端点的线段有BC、BD、BE、BF，一共4条，以C为端点的线段有CD、CE、CF，一共3条，以D为端点的线段有DE、DF，一共2条，以E为端点的线段有1条EF，最后相加求和；图中单独的角有3个，2个小角组成的角有2个，3个小角组成的角有1个，最后相加求和，按顺序不重复、不遗漏地数出所有的线段和角即可。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝（5＋4＋3）＋（2＋1） ＝12＋3 ＝15（条） 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 所以，图中共有15条线段，图中共有6个角。 14．下图中有( )条线段，有( )条射线，有( )条直线。 【答案】 9 14 2 【分析】根据对直线、射线、线段的认识，直线是把线段的两端无限延长，得到一条直线，射线是经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。把线段的一端无限延长，得到一条射线。线段是直线上任意两点之间的一段叫做线段。据此可数出线段、射线、直线的数量。 【详解】 将图中的几个端点命名为A、B、C、D、E、F，如图：。 图中的线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD、EB、EF、BF，共有9条线段。 根据射线的概念，其中A、C、D、E、F这5个点每个端点可有两个方向的射线，其中B点可有四个方向的射线，所以射线共有5×2＋4＝10＋4＝14（条）。 图中的直线是线段AD所在的直线和线段EF所在的直线，所以有2条直线。 因此，图中有9条线段，有14条射线，有2条直线。 15．下面图形中，有( )条线段，( )个角，其中有( )个锐角。 【答案】 8 7 3 【分析】线段是一条直直的线，有限长，有两个端点，可以测量； 角有两条直直的边和一个公共端点，这两条直直的边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点； 三角板上最大的角就是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角。据此数出图中线段、角、锐角的数量即可。 【详解】由图可知，单条的线段有6条，由2条单条的线段组成的线段有2条，所以一共有6＋2＝8（条）； 数出一共有7个角，其中锐角有3个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $