精品解析：重庆市礼嘉中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

礼嘉中学2025-2026学年度上期 九年级10月月考 数学 全卷满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 礼 B. 嘉 C. 中 D. 学 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线交于点E，交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 4到5之间 B. 3到4之间 C. 2到3之间 D. 1到2之间 6. 如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第12个图形的菱形个数为（ ） A. 157 B. 127 C. 91 D. 51 7. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交点的横坐标为，与y轴正半轴的交点为C，其中，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（） A. B. 3 C. D. 2 10. 若，其中均为自然数，n为正整数，满足，且对于任意的正整数n，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6： ②若M满足，则这样的整式M有66个； ③若不仅为自然数，也可以为负整数，当时，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 已知二次函数的图像上有三个点，，，则的大小关系为______．（用“”连接）． 13. 央广网报道礼嘉中学校史舞台剧《弦歌不辍与国同行》的文章，在上线后第三天点击率达到万次，其中第一天的点击率为20万次．若每天点击率的平均增长率为x，则根据题意可列方程______． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积是______． 15. 如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则______， ______． 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. “温故而知新”，李嘉同学在复习正方形的相关知识时，进行了拓展性研究，并从中有所发现．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在正方形中，点E、F在上，平分．用尺规过点E作于点G，交于点H，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是正方形， ∴，． 平分，，， ，． 在和中， ， ∴， ∴（） 在和中，， ． ∴， ∴． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 20. 值此中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，某校举办了历史知识竞赛．现从该校八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的竞赛成绩是：65，67，72，80，84，86，87，88，88，89，89，93，93，93，95，97，97，98，99，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：90；86，87，82，83，90，89． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 88 a 89 九年级 88 94 b 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生历史知识竞赛的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1200人，九年级有学生1150人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩高于90分的学生人数共是多少？ 21. 中秋脚步渐近，重庆某超市的火腿与巧克力口味月饼悄然成为“新宠”．酥香火腿馅延续着传统韵味，浓醇巧克力馅彰显着现代格调，两款月饼凭借独特口感，成功俘获了众多消费者的心．该超市分别用2000元、1600元购进相同数量的火腿月饼和巧克力月饼，且每个火腿月饼的进价比每个巧克力月饼的进价多2元． （1）每个火腿月饼、巧克力月饼的进价分别是多少元？ （2）这批月饼很快销售一空，该超市计划再次购进一批这两种口味的月饼．恰逢“中秋佳节撞上国庆节”，此时每个火腿月饼的进价比此前上涨了a（）元，其购进数量在第一次的基础上减少了个；而每个巧克力月饼的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了．最终，这批追加采购的总花费与上一批相同，求a的值． 22. 如图，在正方形中，．P、Q两点从点B同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与x的函数图象与直线有两个交点，请直接写出k的取值范围． 23. 小礼同学计划国庆节去影院（记为点D）观看电影《731》，该影院位于家B的东北方向，已知从家B出发有两条不同路线可选：路线①：先步行至位于家B正北方向800米处的图书馆A，再沿图书馆A的北偏东方向步行至影院D；路线②：先步行至位于家B南偏东，且位于影院D南偏西方向处的智慧公园C，再从智慧公园C步行至影院D．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）由于时间原因，小礼决定选择一条较短路线去电影院D，请通过计算说明他应该选择路线①还是路线②？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B，两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，轴交于点D，点E是x轴上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 25. 在中，，，点为平面内一点，连接，点为中点，连接． （1）如图，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，点在内，连接，若，求证：； （3）如图，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼嘉中学2025-2026学年度上期 九年级10月月考 数学 全卷满分150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且 ， ∴ ． 2. 汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 礼 B. 嘉 C. 中 D. 学 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律即可得出答案，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度后得到新抛物线的解析式为：， 故选：D． 4. 如图，直线交于点E，交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行，内错角相等，得到，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 4到5之间 B. 3到4之间 C. 2到3之间 D. 1到2之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先化简表达式，再通过估算的值，进而估算整个表达式的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值应在4到5之间， 故选：A． 6. 如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第12个图形的菱形个数为（ ） A. 157 B. 127 C. 91 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类变化规律，根据题意得到第个图形中菱形的个数为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵第一个图形中菱形的个数为：， 第二个图形中菱形的个数为：， 第三个图形中菱形的个数为：， ， 第个图形中菱形的个数为：， ∴第12个图形的菱形个数为：， 故选：A． 7. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断出一次函数解析式中a、b的符号，根据二次函数图象的开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数图象开口向下，则，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第二、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者一致，符合题意； D、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，抛物线与x轴交点的横坐标为，与y轴正半轴的交点为C，其中，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根的判别式，由抛物线的开口方向判断a与的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ，故①正确； 由图象可知当时，，故②正确； 抛物线开口方向向下， ， 抛物线与x轴的交点是和，其中， 对称轴， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ，即．故④正确， 综上，正确的结论有①②④，共3个， 故选：B． 9. 如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过N作于G，连接，利用正方形的性质可判定是等腰直角三角形，求出，证明四边形是矩形可得出，则，利用证明，得出，从而可证明是等腰直角三角形，进而可求出，利用含角的直角三角形性质得出，即可求解，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过作于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ，，即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：A． 10. 若，其中均为自然数，n为正整数，满足，且对于任意的正整数n，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6： ②若M满足，则这样的整式M有66个； ③若不仅为自然数，也可以为负整数，当时，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和判断②；分别令，，即可求出和，即可判断③． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故①说法正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故②说法正确． 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． ∴，故说法③错误； 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算后求和即可． 【详解】解：， 故答案为：5 12. 已知二次函数的图像上有三个点，，，则的大小关系为______．（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 由题意可知该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】解：由二次函数可知该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵二次函数图像上有三点，，， ∴点A、B、C到抛物线对称轴的距离分别为，，1， ∵二次函数开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴； 故答案为：． 13. 央广网报道礼嘉中学校史舞台剧《弦歌不辍与国同行》的文章，在上线后第三天点击率达到万次，其中第一天的点击率为20万次．若每天点击率的平均增长率为x，则根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天点击率的平均增长率为x，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设每天点击率的平均增长率为x，依题意得： ， 故答案为：． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解分式方程．根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，根据分式方程的解为非负整数，得到且，则是2的非负倍数，最后确定符合条件的整数m的值，从而得到它们的积． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 把分式方程去分母得， 整理得， 分式方程的解为非负整数， ∴且为整数，， 且， 又因为； ∴是2的非负倍数， 当，即，此时，符合题意； 当，即，此时，符合题意； 当，即，此时，不符合题意，舍去； 当，即，不符合题意； ∴或， ∴符合条件的所有整数m的积是． 故答案为：． 15. 如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则______， ______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键是掌握翻折的性质，求出，的长度． 设，由翻折可得：，，，，即可得，从而，解方程即可；以为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过作交于M，交于N，用面积法和勾股定理可得，即得，直线解析式为，求出，可得，即可解答． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 【答案】 ①. 9216 ②. 【解析】 【分析】根据“阴阳数”的定义可得x与y的关系，进而根据的求法可得x的值，即可判断出y的值，进而可得A的值；根据“阴阳数”的定义可得a与b，c，d的关系，分别得到N和的值，根据所给条件，判断出a，b，c合适的值即可得到满足条件的N的最小值． 本题考查新定义的相关知识．理解并应用新定义的意义解决问题是解决本题的关键．难点是判断出各个数位上合适的数字． 【详解】解：四位数为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得， ； 为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∵为整数， ∴为整数， 为整数， ∴是11的倍数， ∵N的十位数字与千位数字调换后可以组成新的四位数， ∴， 当时，∴d可取的最小自然数为6（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为1（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个各数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为7（要满足是11的倍数）， ∴，此时不符合题意； 当c取别的自然数时，此时a的值一定大于3，即满足题意的N一定比大， 综上所述，满足条件的N的最小值为， 故答案为：9216，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）先化为一般式，再由因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. “温故而知新”，李嘉同学在复习正方形的相关知识时，进行了拓展性研究，并从中有所发现．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在正方形中，点E、F在上，平分．用尺规过点E作于点G，交于点H，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是正方形， ∴，． 平分，，， ，． 在和中， ， ∴， ∴（） 在和中，， ． ∴， ∴． 【答案】（1） 如图： （2），，等量代换， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于两点，以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，连接，交于点，交于点，连接； （2）由角平分线的性质得到，，再证明，得到，从而得到，证明，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简，再根据是方程的解，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 20. 值此中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，某校举办了历史知识竞赛．现从该校八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：八年级20名学生的竞赛成绩是：65，67，72，80，84，86，87，88，88，89，89，93，93，93，95，97，97，98，99，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：90；86，87，82，83，90，89． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 88 a 89 九年级 88 94 b 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a= ，b= ，m= ； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生历史知识竞赛的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有学生1200人，九年级有学生1150人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩高于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），，； （2） 解：八年级学生历史知识竞赛的成绩更好，理由如下， ∵九年级的中位数小于八年级的众数， ∴八年级学生的历史知识竞赛成绩较好； （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握样本百分比的计算，中位数、众数的计算，由样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，根据样本百分比，中位数，众数的计算方法求解即可； （2）根据中位数作决策即可； （3）根据样本估算总体数的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛， ∴九年级B组的人数为人，组的人数的占比为 即； ∵A组的人数为（人）， ∴中位数落在B组， 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是： 82，83，86，87，89 ,90，90． 则中位数为第位同学成绩的平均数，即， ∵八年级20名学生的竞赛成绩为：65，67，72，80，84，86，87，88，88，89，89，93，93，93，95，97，97，98，99，100， ∴出现次数最多的是，即众数为， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：样本中八年级历史知识竞赛成绩优秀（）的学生人数为人，九年级历史知识竞赛成绩优秀（）的学生占比为， ∴（人）， ∴估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩高于90分的学生人数共人． 21. 中秋脚步渐近，重庆某超市的火腿与巧克力口味月饼悄然成为“新宠”．酥香火腿馅延续着传统韵味，浓醇巧克力馅彰显着现代格调，两款月饼凭借独特口感，成功俘获了众多消费者的心．该超市分别用2000元、1600元购进相同数量的火腿月饼和巧克力月饼，且每个火腿月饼的进价比每个巧克力月饼的进价多2元． （1）每个火腿月饼、巧克力月饼的进价分别是多少元？ （2）这批月饼很快销售一空，该超市计划再次购进一批这两种口味的月饼．恰逢“中秋佳节撞上国庆节”，此时每个火腿月饼的进价比此前上涨了a（）元，其购进数量在第一次的基础上减少了个；而每个巧克力月饼的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了．最终，这批追加采购的总花费与上一批相同，求a的值． 【答案】（1）每个巧克力月饼的进价是元，则每个火腿月饼的进价为元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系． （1）设每个巧克力月饼的进价是元，则每个火腿月饼的进价为元，根据“用2000元、1600元购进相同数量的火腿月饼和巧克力月饼”建立分式方程求解； （2）先表示第一次购进火腿月饼（个），巧克力月饼（个），第二次采购每个火腿月饼的进价为元，数量为个，每个巧克力月饼的进价为元，数量为个，再根据“这批追加采购的总花费与上一批相同”建立一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设每个巧克力月饼的进价是元，则每个火腿月饼的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴每个火腿月饼的进价为（元） 答：每个巧克力月饼的进价是元，则每个火腿月饼的进价为元； 【小问2详解】 解：第一次购进火腿月饼（个），巧克力月饼（个）， 第二次采购每个火腿月饼的进价为元，数量为个， 每个巧克力月饼的进价为元，数量为个， 则由题意得， 整理得，， 解得或（舍）， 答：a的值为． 22. 如图，在正方形中，．P、Q两点从点B同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若与x的函数图象与直线有两个交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 解：函数图象如图，当时，随的增大而减小． （3）k的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点的运动速度有两种情况，再根据面积公式求解即可 ； （2）画出函数图象，根据图象得出性质即可； （3）由可得，则过定点，当过原点时，，当过点时，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 点从到所用的时间为：， 点从到所用的时间为：， 点从到所用的时间为：， 设点运动的时间为秒，则，， 当时，如图： ， 当时，如图： ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由可得：， ∴当时，， ∴过定点， 当过原点时，， ∴， 当过点时，， ∴， ∴与x的函数图象与直线有两个交点时，k的取值范围为：． 23. 小礼同学计划国庆节去影院（记为点D）观看电影《731》，该影院位于家B的东北方向，已知从家B出发有两条不同路线可选：路线①：先步行至位于家B正北方向800米处的图书馆A，再沿图书馆A的北偏东方向步行至影院D；路线②：先步行至位于家B南偏东，且位于影院D南偏西方向处的智慧公园C，再从智慧公园C步行至影院D．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）由于时间原因，小礼决定选择一条较短路线去电影院D，请通过计算说明他应该选择路线①还是路线②？ 【答案】（1）的长度为米； （2） 解：如图： 根据题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 米， 米， ∴线路①：（米）， 线路②：（米）， ∴他应该选择路线①． 【解析】 【分析】本题考查了方向角问题，含角的直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过A点作于H点，利用方向角的定义得到米，则利用三角形外角性质可计算出，再计算出米，然后在中利用得到米，即可求解； （2）根据方向角的定义得到，再计算出，则，根据含角的直角三角形算出，分别求出两条线路的长，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：过A点作于H点，如图： 根据题意得米， ∵， ∴， 在中， ， （米）， 在中，， ∴（米），（米）， （米）， ∴的长度为米； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B，两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，轴交于点D，点E是x轴上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）所有符合条件的点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由抛物线与x轴交于可得①，由抛物线的对称轴直线方程可得②，可求出，，即可求出抛物线的解析式； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，得，；，可得可求出当时，有最大值，此时；作点C关于x轴的对称点，则，连接，交x轴于点E，则的周长，当三点共线时，的周长最小，即最小值为，求出即可； （3）先求出平移后抛物线解析式及点M的坐标，得，求得，，,设，列方程，求解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴②， 由①②联立得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当时，, ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以，直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， 设， ∵交于点， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； 作点C关于x轴的对称点，则，连接，交x轴于点E，则的周长 ∵是定值， ∴当三点共线时，的周长最小，即最小值为， ∵，，， ∴；， ∴的周长最小值为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：由（2）知，当取得最大值时，点， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴点P的对应点M的坐标为，即， 而点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， 如图，设与轴交于点，则， ∴， ∵，且，， ∴， ∴, ∵N为抛物线上的一动点． ∴设， ∴， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去） ∴； 当时，解得或（不合题意，舍去） ∴； 综上，所有符合条件的点N的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 在中，，，点为平面内一点，连接，点为中点，连接． （1）如图，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图，点在内，连接，若，求证：； （3）如图，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：延长至点，使得，连接，在上取点，使得， ∵，点为中点， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（）首先确定，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进而得，然后结合三角形外角的定义和性质即可获得答案； （）延长至点，使得，连接，在上取点，使得，结合三角形中位线的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，即可证明结论； （）取中点，连接，结合三角形中位线的性质证明，可知点的运动轨迹在以为直径的圆上，设中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接，过点作于点，过点作于点，证明，结合相似三角形的性质解得的值，进而可求得的值，由折叠的性质可得，然后由四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取中点，连接， ∵点为中点，点为中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在以为直径的圆上， 设中点为，当三点共线时，取最小值，此时连接，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵把沿着翻折到的同一平面得到， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线的性质、三角形外接圆、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $