精品解析：江苏省盐城市第一初级中学2025-2026学年九年级上学期10月课堂检测数学试题

江苏省盐城市第一初级中学2025-2026学年九年级上学期10月课堂检测数学试题 满分：150分 考试时间：100分钟 一、选择题 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断． 【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确； B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误； C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误； D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误； 故选：A． 2. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误，弧是圆上两点间的部分，不符合题意； B、如图， 弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误，不符合题意； C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径，故本选项错误，不符合题意； D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本知识，解题的关键是记住弦、弧、半圆、直径等一个概念，属于基础题，中考常考题型． 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 6. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解∶ 设矩形的边，则， 根据题意，得， 故选∶A． 7. 边长为的正三角形的外接圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可． 【详解】如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC； ∵BC=1, ∴BD=, ∵△ABC是正三角形， ∴∠BOC==120°， ∵OB=OC， ∴∠BOD==60°， ∴∠OBD=30°，OB=． 故选C． 【点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形． 8. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 二、填空题 9. 若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是______． 【答案】在圆上 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据，点在圆上即可判断求解，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点到圆心的距离为，即， ∴点在圆上， 故答案为：在圆上． 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及直径所对的圆周角等于，根据圆内接四边形的性质可得出，再根据直径所对的圆周角等于可得出，再利用角的和差关系可得出答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：15． 11. 已知，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 12. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解． 【详解】解：∵有x个队参赛， ∴共比赛场， ∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛， ∴， 故答案为： 13. 圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于_______. 【答案】45°或135° 【解析】 【详解】试题分析：如图弦AB把圆分成度数的比为1：3的两条弧，∴∠AOB=360÷（1+3）=90°，∠P=45°，∴∠P’=180°-∠P=135°，故答案为45°或135°； 考点：1．圆周角定理；2．圆内接四边形的性质． 14. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 15. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，连接，设该拱门的半径，根据垂径定理求出，将用含r的代数式表示出来，在中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 16. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 17. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】4049 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，，再由根与系数的关系得到，求出，，，进而得到，据此先把所求式子变形为，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解；∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴ ， 故答案为：4049． 18. 如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； （2）的半径为__________； （3）若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】（1） （2） （3）圆内 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵，， ， ∴点在内． 21. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 22. 如图，DE为的直径，A为ED的延长线上点，过点A的一条直线交于B，C两点，已知，，求的度数． 【答案】26° 【解析】 【分析】连结OB，由AB=OC，OC=OB，可得∠A=∠BOA，∠C=∠CBO，利用三角形外角性质可得∠C=2∠A，∠A+∠C=∠COE=78°，消元可得3∠A=78°即可． 【详解】解：连结OB， ∵AB=OC，OC=OB， ∴∠A=∠BOA，∠C=∠CBO， ∵∠CBO是△ABO的外角， ∴∠CBO=∠A+∠BOA=2∠A， ∴∠C=2∠A， ∵∠COE是△ACO的外角， ∴∠A+∠C=∠COE=78°， ∴3∠A=78°， ∴∠A=26°． 【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，二元一次方程组，掌握圆的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，二元一次方程组是解题关键． 23. 如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵点A，B，D在同一个圆上， ∴是圆的直径． 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据90°的圆周角所对的弦是直径即可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及圆周角定理的推论，等腰三角形底边的中线、底边的高线及顶角的角平分线“三线合一”；90°的圆周角所对的弦是直径；熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 24. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，且是半径， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接由等腰三角形的性质可得,由垂径定理可得，然后借助角关系转化出∠OAC＝90°，可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴（不合题意舍去），， ∴的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理． 25. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 26. 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）； （2）2或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【小问1详解】 解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 【小问3详解】 解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 【答案】（1）50，130； （2）； （3）如图（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形． （4） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可求出，根据圆内接四边形即可求出； （2）分在优弧上和在劣弧上两种情况分类讨论即可求解； （3）作线段的垂直平分线，以为直径作圆，交垂直平分线于点，以点为圆心，以为半径作圆，则（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接CO，证明，进而得到，，根据勾股定理求出，根据，可得，即可求出的最小值为． 【详解】解：（1）， ． 故答案为：50，130； （2）当在优弧上时，； 当在劣弧上时，； 故答案为：或 （3）证明：∵为的直径， ∴， 在中，∵点C在上， 由（2）得， ∴（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是， ∴． 连接CO， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，综合性强，难度较大，解题时要熟知相关知识，注意在解决每一步时都要应用上一步结论进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市第一初级中学2025-2026学年九年级上学期10月课堂检测数学试题 满分：150分 考试时间：100分钟 一、选择题 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧 C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 边长为的正三角形的外接圆的半径为 A. B. C. D. 8. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是______． 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_____°． 11. 已知，则的值是 _____． 12. 在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为__________． 13. 圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于_______. 14. 若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则______． 15. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是________． 16. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 17. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 18. 如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； （2）的半径为__________； （3）若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 21. 关于的一元二次方程． （1）如果方程有实数根，求的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 22. 如图，DE为的直径，A为ED的延长线上点，过点A的一条直线交于B，C两点，已知，，求的度数． 23. 如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 24. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 26. 阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． （2）类比探究：已知实数m，n满足，． ． （3）思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 27. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______，　　； （2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ______；（用的代数式表示） 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）； 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $