精品解析：湖南省衡阳市一中教育集团2025年中考数学第一次模拟考试

衡阳市一中教育集团2025年中考第一次模拟考试初三 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本卷满分：120分，考试时量：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定． 【详解】解：的倒数为． 故选C． 【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键． 2. 如图的几何体的左视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的定义：一般指由物体左边向右做正投影得到的视图，据此判断即可． 【详解】解：如图所示的几何体的左视图为： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，熟知左视图即为由物体左边向右做正投影得到的视图是本题的关键． 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式（其中，为整数）表示即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，其形式为，且n为正整数，它等于原数的整数数位与1的差． 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，则的度数为（　　） A. 110° B. 100° C. 80° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 6. 下列运算一定正确的是（ ） A. a+a＝a2 B. a2•a3＝a6 C. (a+b)(a－b)＝a2－b2 D. (2a2)3＝6a6 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可. 【详解】A、a+a=2a，故此选项错误； B、a²×a3=a5，故此选项错误； C、(a+b)(a－b)＝a2－b2，故此选项正确； D、(2a2)3＝8a6，故此选项错误； 故选：C. 【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键． 7. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形 B. 从0，1，2中任意抽取一个数字都是正数 C. 抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件，叫做相对条件的必然事件，简称必然事件． 【详解】解：A、平行四边形属于中心对称图形，故此选项属于必然事件，符合题意； B、从0，1，2中任意抽取一个数字都是正数，属于随机事件，不符合题意； C、抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6，属于随机事件，不符合题意； D、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，属于随机事件，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相关事件的分类，熟练掌握相关事件的定义是解本题的关键． 8. 据统计某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是6 B. 众数是6 C. 平均数是6 D. 方差是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，解决本题的关键是掌握众数：一组数据中出现次数最多的数值；平均数：在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差：每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数． 根据中位数与众数的定义、平均数和方差公式逐项判断即可得． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排序后，第4个数即为中位数， 则中位数是6，选项A正确； 因为6出现的次数最多， 所以众数是6，选项B正确； 平均数是，选项C正确； 方差是，选项D错误； 故选：D． 9. 已知点，是双曲线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，得到反比例函数图象过第一、三象限；接下来结合已知两点的横坐标，判断两点所在的象限即可得到答案． 【详解】解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴点A、点B在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是明确反比例系数与函数图象所处象限的关系． 10. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集中是否含有等号确定圆圈的虚实，方向，表示即可． 【详解】∵ 不等式组中， 解①得，x≤2， 解②得，x＞-1， ∴不等式组的解集为-1＜x≤2， 数轴表示如下： 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集的数轴表示方法，熟练掌握解不等式的基本要领，准确用数轴表示是解题的关键． 11. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接、，如图： ， ， 是的内切圆，与、分别相切于点、， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 12. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分当0≤x≤1时，M点在BC边上，1＜x≤2时，M在CD边上，2＜x≤3时，M点在AD边上，三种情况分别求出对应的表达式，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得BN=x，AN=AB-BN=3-x ①当0≤x≤1时，M点在BC边上，BM=3x， 则△AMN的面积=BM•AN ∴； ②1＜x≤2时，M在CD边上， 则△BPQ的面积=AN•BC ， ∴ 可得y=•x•3=； ③2＜x≤3时，M点在AD边上，AM=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AM•AN， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 第II卷（非选择题） 二、填空题(共18分) 13. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 14. 化简：_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】由于两分式的分母相同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 详解】． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同分母的分式加减法，关键是掌握分母不变，分子相加减的运算法则． 15. 若一元二次方程有两个不相等的实数根和，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可直接得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 16. 如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：15． 17. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度定义，由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意得：斜坡的坡度：米，， ， 米， ∴在中， （米） 故答案为：． 【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 18. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(-2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键． 三、解答题(共66分) 19. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】根据实数的混合运算顺序进行计算即可． 【详解】解： =8． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是计算本题的关键． 20. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． （1）n= ，补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角 （3）若成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1），频数直方图见解析；（2）；（3）全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生有672人． 【解析】 【分析】（1）用“60-70”的频数÷所占百分比即可得到总数n，再求出 “90-100”的人数即可补全频数直方图； （2）用“70-80”的频数10除以调查人数50 即可得出所占百分比，所占百分比×，即可到圆心角的度数； （3）用样本估计总体，用总人数×样本中优秀所占的百分比即可得到答案． 【详解】解：（1）8÷16%=50（人）， 即． “90-100”这组人数=50-4-8-10-12=16（人），补全频数直方图如图所示： （2）m=10÷50=20%， 所以，“70-80”这组扇形圆心角= 故答案为：． （3）（人）， 答：全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生有672人． 【点睛】本题考查频数分布直方图及制作方法、圆心角度的求法、扇形统计图的意义，以及用样本估计总体，理解和掌握统计图中的数量关系是正确计算的关键． 21. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚A处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，米，米． （1）求点B距地面的高度； （2）求广告牌的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）米； （2）宣传牌高约米． 【解析】 【分析】（1）过B作于H．分别在中，通过解直角三角形求出； （2）在中，，解直角三角形求得的长，在解直角三角形求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【小问1详解】 解：过B作于H， 中，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是矩形． ∵由（1）得：米， ∴米， 中，， ∴． 中，，米， ∴米． ∴（米）． 答：宣传牌高约米． 【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 22. 为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同． （1）A产品和B产品每件分别是多少元？ （2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值． 【答案】（1）A产品每件60元，则B产品每件80元 （2）购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元 【解析】 【分析】（1）设A产品每件x元，则B产品每件元，然后根据300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同列出方程求解即可； （2）设购买A产品a件，则购买B产品件，所需费用为w元，根据总费用A的费用B的费用，列出w关于a的一次函数关系，再结合，A的数量不少于B的2倍，求出a的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A产品每件x元，则B产品每件元， 由题意得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：A产品每件60元，则B产品每件80元； 【小问2详解】 解：设购买A产品a件，则购买B产品件，所需费用为w元， ∴， ∵A的数量不少于B的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴当购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元． 答：购买A产品100件，则购买B产品50件，购买总费用最大，最大值为10000元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程，不等式和函数关系式是解题的关键． 23. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证； （2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论． 详解】（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABC=30°， 根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°， 连接OA， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°， ∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在⊙O上， ∴直线AD是⊙O的切线； （2）连接OA， ∵∠AEC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵BC⊥AE于M， ∴AE=2AM，∠OMA=90°， 在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2， ∴AE=2AM=4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键． 24. 在中，点是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点 （1）如图，若点是内一点，，，，试说明点是的一个勾股点． （2）如图，已知点是的一个勾股点，且，若，，求的长； （3）如图，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点是的勾股点时，的长为或或 【解析】 【分析】（1）延长交于，根据三角形的外角得，即可得，即可得； （2）根据勾股定理求出，根据角之间的关系得，根据勾股定理即可得； （3）在中，根据勾股定理求出的长度，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得． 【小问1详解】 证明：如图1所示，延长交于， 是外角， ∴， ∴， ∴点是的一个勾股点； 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，，，， 则， ∴； ①如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ②如图，当时，设，， 在和中，， ， 解得：； ③如图，当时，点为的中点， ， ， 综上所述，点是的勾股点时，的长为或或． 【点睛】本题考查了三角形的外角，勾股点的定义，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，E（，）或（，）；（3）点E（，）或（，）． 【解析】 【分析】（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），即可求解；（2）＝=＝或，即可求解；（3）分当点E在直线BC上方、点E在直线BC的下方两种情况，分别求解即可． 详解】（1）直线l：y＝x+2过点C（2，n），且与y轴交于点B， ∴n=×2+2=3，当x=0时，y=2， ∴B（0，2），C（2，3） 将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2）， ∴DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2， ＝=＝或， 解得：m＝或， ∴﹣m2+2m+3=，或﹣m2+2m+3=， ∴点E（，）或（，）； （3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，m+2）， DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2， ①如图2，当点E在直线BC上方时， ∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠AED+∠EDB＝180°， ∴AE∥CD， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1， 解得：m＝0或（舍去0）； ∴﹣m2+2m+3=，即E（，）. ②如图3，当点E在直线BC的下方时， 设AE、BD交于点N，过点N作x轴的平行线交DE于点M ∵AB∥DE， ∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC， ∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC， ∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形， ∴点M的纵坐标和AB中点的坐标同为， 由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝， 解得：m＝0或（舍去0）， ∴﹣m2+2m+3=，即E（，）． 综上，点E（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，知识点有二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识并灵活运用分类讨论思想是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中教育集团2025年中考第一次模拟考试初三 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本卷满分：120分，考试时量：120分钟 第I卷（选择题） 一、选择题（共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图的几何体的左视图是（    ） A. B. C. D. 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，则度数为（　　） A. 110° B. 100° C. 80° D. 70° 6. 下列运算一定正确的是（ ） A. a+a＝a2 B. a2•a3＝a6 C. (a+b)(a－b)＝a2－b2 D. (2a2)3＝6a6 7. 下列事件中，是必然事件的是（    ） A. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形 B. 从0，1，2中任意抽取一个数字都是正数 C. 抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6 D. 经过有交通信号灯路口，遇到绿灯 8. 据统计某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ） A. 中位数是6 B. 众数是6 C. 平均数是6 D. 方差是6 9. 已知点，是双曲线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A B. C. D. 12. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为 y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题(共18分) 13. 函数中，自变量的取值范围是_____． 14. 化简：_____． 15. 若一元二次方程有两个不相等的实数根和，则______． 16. 如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为________． 17. 如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米． 18. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个． 三、解答题(共66分) 19. 计算： 20. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． （1）n= ，补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角 （3）若成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 21. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚A处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，米，米． （1）求点B距地面的高度； （2）求广告牌高度．（结果保留根号） 22. 为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同． （1）A产品和B产品每件分别是多少元？ （2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，当采购A、B两种农副产品为多少时，购买总费用最大？并求购买总费用的最大值． 23. 已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 24. 在中，点是平面内任意一点（不同于A、B、C），若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点为的一个勾股点 （1）如图，若点是内一点，，，，试说明点是的一个勾股点． （2）如图，已知点是的一个勾股点，且，若，，求的长； （3）如图，在中，，，，点在上，且，点在射线上．若点是的勾股点，请求出的长． 25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由； (3)如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $