精品解析：吉林省长春市长春外国语(南关、净月)学校2025-2026学年九年级上学期10月考试数学试卷

长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年第一学期 初三年级第一次月考数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，a、b、c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 5. 网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（ ） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4， A. B. C. D. 7. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 11. 在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 12. 已知，若，，则与的面积比为______． 13. 某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为______． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 14. 如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，_______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 16. 解方程：（公式法）． 17. 作为《黑神话·悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸引了大量游客前来旅游．小明和小军准备到山西旅游，他们选了三处景点：A．五台山；B．平遥古城；C．乔家大院．小明和小军各自随机选择一个景点作为本次旅游的第一站．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小军选择同一景点的概率． 18. 磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 19. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 21. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 22. 小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． （1）求一次函数解析式； （2）当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； （3）点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 24. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的长； （3）当点在边上时，求证：； （4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语（南关、净月）学校2025-2026学年第一学期 初三年级第一次月考数学试卷 本试卷包括两道大题，共24道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 2. 用公式法解一元二次方程时，a、b、c的值是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二次方程的定义找到各项系数即可． 【详解】解：∵， ， 故选：． 3. 如图是一个游戏转盘，转盘表面平均分为3份，标为数字“1”“2”“3”．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“1”所示区域内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键，直接根据转盘中平均分配为3份，“1”有1份，进而即可得出答案． 【详解】解：由转盘可得，转盘平均分配为3份，“”有1份， 故自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字”1”所示区域内的概率是：， 故选：． 4. 下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，3cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm，8cm D. 3cm，4cm，5cm，10cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、 ，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 5. 网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 6. 如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（ ） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似，利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题．解题的关键是理解位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为，， ∴，， ∴与的周长之比为， ∵的周长为， ∴的周长为． 故选：B． 7. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积． 【详解】解：四边形是矩形，设， ∴，点纵坐标与点相同，为． 又∵在上， ∴点横坐标为，即， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，. ∴阴影总面积为． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴判别式 ， 解得 ， 故答案为：． 11. 在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 12. 已知，若，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， 与的面积比， ，， 与的面积比为， 故答案为：． 13. 某校九年级（1）班有40位同学，每人做10次抛掷两枚硬币的试验，累计所有同学试验结果数据如下表，根据表中数据估计“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为______． 抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 出现两个正面的频数 12 30 40 55 63 75 86 101 出现两个正面的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，通过观察可得出“出现两个正面的频分析:率"将稳定在附近，进而用其值来估计概率即可． 【详解】解：∵随着试验次数的增加，“出现两个正面的频率”将稳定在， ∴“抛掷这两枚硬币，出现两个正面”的概率为， 故答案为： ． 14. 如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， ，， 在中，是中点， ， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，将二次根式化成最简二次根式是解决此题的关键，先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：（公式法）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 17. 作为《黑神话·悟空》的创意来源之一，山西古建筑随着游戏的火爆收获无数关注，吸引了大量游客前来旅游．小明和小军准备到山西旅游，他们选了三处景点：A．五台山；B．平遥古城；C．乔家大院．小明和小军各自随机选择一个景点作为本次旅游的第一站．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小军选择同一景点的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，掌握树状图或列表法是解题关键． 根据题意，列出表格确定全部可能结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意，列出表格，如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 一共有9种等可能的情况，小明和小军选择同一景点的有3种情况， 所以小明和小军选择同一景点的概率为． 18. 磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 【答案】地铁的平均速度为40千米/时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时，由题意：A，B两站之间的距离为，乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：地铁的平均速度为40千米/时． 19. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F． （1）证明：； （2）若，，，则点A到直线的距离为______． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得是解题的关键， （1）由四边形是矩形，得到，由得出，由同角的余角可得出，进而即可得解； （2）根据勾股定理得到，通过，得到，列方程求解即可得到结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ，即， 点到直线的距离， 故答案为：． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 如图，即为所求： （3） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形，位似三角形，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据相似比取、的中点即可． （2）连接，分别取、、的中点、、，连接，即可． （3）取格点，满足；取格点，满足，，连接，与的交点即为，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作法：取格点，满足；取格点，满足，， 连接，与的交点即为，连接，即为所求． 理由：， ， ， ． 21. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示． （1）_______，_______； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.6 （2）甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） （3）300千米 【解析】 【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n的值； （2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【小问1详解】 根据题意得，（时） （时） 故答案为：2.6； 【小问2详解】 由（1）得（2，200）和（6，440）， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式（2≤x≤6） 【小问3详解】 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米， ∴乙车的速度为：240÷2=120（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：440÷120=（时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． 22. 小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 【答案】 （1）证明：，， ． （2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为． （3）解：由（2）可知，，， ， ． 23. 如图，一次函数的图象交x轴于点，交y轴于点，点P是直线（不与点A，B重合）上一个动点，过点P作和的垂线，垂足分别为C、D，连接，设点P的横坐标为m． （1）求一次函数解析式； （2）当，矩形的面积为1时，求此时点P坐标； （3）点P在运动过程中，当与相似时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与几何图形的应用等知识点，相似三角形的判定与性质等知识，根据点的坐标，用绝对值表示出，的长度是解题的关键，同时渗透了分类讨论思想， (1)将点、代入，解方程组即可； (2)根据点在第一象限知，，解方程可得的值； (3)首先可知，分两种情形和，根据对应边成比例，从而解决问题． 【小问1详解】 解：将点、代入得， ， ， 一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由(1)可知， 点的横坐标为， ， ， 或， 或； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 与相似且， 可分两种情况： ①当时， ， ，解得， ∴， ②时， ， ， 解得或， ∴或， 或或． 24. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的长； （3）当点在边上时，求证：； （4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； （4）的长为或. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $