1.3勾股定理的应用学案讲义 2025-2026学年北师大版(2024)八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，系统梳理方向角概念、几何图形中辅助线构造直角三角形的方法、实际问题与方程结合的应用，以及古代数学问题（如“引葭赴岸”“折竹抵地”）的解法，构建从概念到多情境应用的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如楼道铺地毯、拉船靠岸）和古代算题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过推理计算（如判断四边形田地面积）发展数学思维，以方程模型解决问题提升数学语言表达。课中例题解析助力教师教学，课后答案详解帮助学生查漏补缺。

勾股定理的应用学案讲义 考点卡片 1 ．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90°的角 （1）方向角是表示方向的角； 以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边， 以对象所处的射线为终边，故描述方向 角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南， 西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 2 ．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中 抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形 的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边． 课堂巩固练习 一．选择题（共 5 小题） 1 ．如图，瓢虫在地图上从 A 点先向南爬 7cm ，又向东爬 4cm ，再向北爬 2cm ，又向 东爬 4cm ，再向南爬 1cm 到 B 点，如此爬行比从 A 点直接爬到 B 点多爬行 ( ) A ．8cm B ．7cm C ．6cm D ．5cm 2 ．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何” ．其大意为：有一个水池，其水面是边长为 1 丈的正方形（即 AB ＝1 丈＝10 尺），在水池正中央有一根芦苇 GE ，它高出水面 AB 的部分为 1 尺（即 EF＝1 尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A 处，则芦苇 GE 的长是 ( ) A ．10 尺 B ．12 尺 C ．13 尺 D ．15 尺 3 ．松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度 CE ，测得如下 数据：①测得 BD 的长度为 12m；（BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 15m； ③松松身高 AB 为 1.6m ，若松松同学想使风筝沿 CD 方向下降 4m ，则他应该往回收线（ ）米． A ．2 B ．5 C ．5.4 D ．3.6 4 ．如图，李伯伯家有一块四边形田地 ABCD ，其中∠A ＝90° , AB ＝3m，BC =12m ，CD ＝13m ，AD ＝4m ，则这块地的面积为 ( ) A ．36m2 B ．42m2 C ．66m2 D ．76m2 5 ．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根 六尺， 问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地 处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面 x 尺，根据题意，列出的正确方程 为 ( ) A ．x2+62 ＝102 B ．（10 - x）2+62 ＝x2 C ．x2+62 ＝（ 10 - x）2 D ．（10 - x）2+x2 ＝62 二．填空题（共 5 小题） 6 ．如图，某会展中心准备将高 5m ，长 13m ，宽 2m 的楼道铺上地毯，若地毯 每平方米 30 元，则铺完这个楼道至少需要 元． 7 ．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里．它们离 开港口一个半小时后分别位于点 Q ，R 处，且相距 30 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天” 号沿 方向航行． 8 ．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了一条“路” ，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为 ． 9 ．如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 17 米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为 10 米， 问船向岸边移动了 米． 10 ．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股 定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB 的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直 高度 BC ＝0.5m ，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点 D 的位置，测得推送的水平距离为 2m ，即 DE = 2m ，此时秋千踏板离地面的垂直高度 DF＝1.5m ，那么绳索AB 的长度为 m． 三．解答题（共 5 小题） 11 ．消防车上的云梯示意图如图 1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高 4米，如图 2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长， 此时消防车的位置 A 与楼房的距离 OA 为 15 米． （1）求 B 处与地面的距离． （2）完成 B 处的救援后，消防员发现在 B 处的上方 4 米的 D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地 救出小孩，消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离 AC 为多少米？ 12．图 1 是某品牌婴儿车，图 2 为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 BC⊥CD， 现测得 AB ＝CD ＝6dm ，BC ＝3dm ，AD ＝9dm ，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接（即 ∠ABD ＝90°), 通过计算说明该车是否符合安全标准． 13．如图所示，A、B 两块试验田相距 200 米，C 为水源地，AC ＝160m，BC ＝120m， 为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到A 、B； 乙方案；过点 C 作AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 分别向A 、B 进行修筑． （1）请判断△ABC 的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 14 ．星期天小明去钓鱼，鱼钩 A 在离水面 BD1.3 米处，在距离鱼线 1.2 米处 D 点的 水下 0.8 米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以 0.2m/s 的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这 鱼饵处？ 15 ．2025 年是“全运年” ，第十五届全运会将于 2025 年 11 月 9 日～21 日在粤港澳 大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园 的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A 点到D 点有两条路线，分别是A→B→D 和A→ C→D．已 知 AB ＝160m ，AC ＝200m ，点 C 在点 B 的正东方 120m 处，点 D 在点 C 的正北方 50m 处． （1）试判断 AB 与 BC 的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着 A→ C→D 的路线跑，爸爸沿着 A→B→D 的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线 更短． 学科网（北京）股份有限公司 勾股定理的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 A C A A C 一．选择题（共 5 小题） 1 ．如图，瓢虫在地图上从 A 点先向南爬 7cm ，又向东爬 4cm ，再向北爬 2cm ，又向 东爬 4cm ，再向南爬 1cm 到 B 点，如此爬行比从 A 点直接爬到 B 点多爬行 ( ) A ．8cm B ．7cm C ．6cm D ．5cm 【答案】A 【分析】过点 B 作 BC⊥AC 于 C，根据勾股定理求出 AB 即可求出答案． 【解答】解：过点 B 作 BC⊥AC 于 C， 在 Rt△ABC 中，AC ＝7 - 2+1 ＝6（cm），BC ＝4+4 ＝8（cm）， ∴AB= AC2 + BC2 = 62 + 82 = 10（cm）， 7+4+2+4+1 - 10 ＝8（cm）， 答：如此爬行比从 A 点直接爬到 B 点多爬行了 8cm． 故选：A． 2 ．《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、葭长各几何” ．其大意为：有一个水池，其水面是边长为 1 丈的正方形（即 AB ＝1 丈＝10 尺），在水池正中央有一根芦苇 GE ，它高出水面 AB 的部分为 1 尺（即 EF＝1 尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A 处，则芦苇 GE 的长是 ( ) A ．10 尺 B ．12 尺 C ．13 尺 D ．15 尺 【答案】C 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理解答． 【解答】解：设水深 GF 长为 x 尺，则芦苇 GE ＝AG ＝（x+1）尺， ∵GF2+AF2 ＝AG2， 解得：x ＝12， 则芦苇的长度为 x+1 ＝12+1 ＝13（尺）， 故选：C． 3 ．松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度 CE ，测得如下数据：①测得 BD 的长度为 12m；（BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 15m；③松松身高 AB 为 1.6m ，若松松同学想使风筝沿 CD 方向下降 4m ，则他应该往回收线（ ）米． A ．2 B ．5 C ．5.4 D ．3.6 【答案】A 【分析】 由勾股定理求出 CD 的长，再由勾股定理求出 BM 的长，即可解决问题． 【解答】解： ∵BD⊥CE， ∴ ∠BDC ＝90° , 在 Rt△CDB 中， 由勾股定理得：CD= BC2 - BD2 = 152 -122 =9（m）， 设风筝沿 CD 方向下降 9m 至点 M，连接 BM，如图， 则 CM＝4m， ∴DM＝CD - CM＝9 - 4 ＝5（m）， ∴BC - BM＝15 - 13 ＝2（m）， 即松松同学应该往回收线 2 米， 故选：A． 4 ．如图，李伯伯家有一块四边形田地 ABCD ，其中∠A ＝90° , AB ＝3m，BC = 12m ，CD ＝13m ，AD ＝4m ，则这块地的面积为 ( ) A ．36m2 B ．42m2 C ．66m2 D ．76m2 【答案】A 【分析】连接 BD ，运用勾股定理逆定理可证△DBC 为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块 地的面积为两个直角三角形的面积和． 【解答】解：如图，连接 BD， 在 Rt△ADB 中， ∠A ＝90° , AB ＝3m ，AD ＝4m， 由勾股定理得：BD2 ＝AB2+AD2 ＝32+42 ＝25， ∴BD ＝5（负值已舍去）， 在△DBC 中，CD2 ＝169 ，DB2+BC2 ＝25+122 ＝169， ∴DC2 ＝BD2+BC2， ∴ ∠DBC ＝90° , 故选：A． 5 ．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根 六尺， 问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地 处离竹子底部 6 尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面 x 尺，根据题意，列出的正确方程 为 ( ) A ．x2+62 ＝102 B ．（10 - x）2+62 ＝x2 C ．x2+62 ＝（ 10 - x）2 D ．（10 - x）2+x2 ＝62 【答案】C 【分析】根据图形和勾股定理，可以得到 x2+62 ＝（ 10 - x）2 ，然后即可得到哪个选项符合题意． 【解答】解： 由图可得， x2+62 ＝（ 10 - x）2， 故选：C． 二．填空题（共 5 小题） 6 ．如图，某会展中心准备将高 5m ，长 13m ，宽 2m 的楼道铺上地毯，若地毯 每平方米 30 元，则铺完这个楼道至少需要 1020 元． 【答案】1020． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 AB 与 BC 的和，在直角△ABC 中，根据勾股 定理即可求得 AB 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解： 由勾股定理得 则地毯总长为 12+5 ＝17（m）， 则地毯的总面积为 17×2 ＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要 34×30 ＝1020（元）． 故答案为：1020． 7 ．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离 开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里．它们离 开港口一个半小时后分别位于点 Q ，R 处，且相距 30 海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天” 号沿 西北方向 方向航行． 【答案】西北方向， 【分析】根据题意，得出△PRQ 的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出△PRQ 是直角三角形，再求 解即可． 【解答】解： 由题知，PQ ＝16×1.5 ＝24 海里，PR ＝12×1.5 ＝18 海里，QR ＝30 海里， ∠SPQ ＝45° , ∵PQ2+PR2 ＝242+182 ＝900 ，QR2 ＝900， ∴PQ2+PR2 ＝QR2， ∴∠RPQ ＝90° , ∴∠SPR = ∠RPQ - ∠SPQ ＝90° - 45° =45° . 故答案为：西北方向． 8 ．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花 圃内走出了一条“路” ，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为 4m ． 学科网（北京）股份有限公司 【答案】4m． 【分析】先利用勾股定理求出AB ，再计算少走的路长即可． 【解答】解： 由题意知∠ACB ＝90° , 在 Rt△ACB 中，AC ＝6m ，BC ＝8m， 由勾股定理得 AC+BC - AB ＝6+8 - 10 ＝4（m）， ∴他们少走的路长为 4m， 故答案为：4m． 9 ．如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 17 米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为 10 米， 问船向岸边移动了 9 米． 【答案】见试题解答内容 【分析】在 Rt△ABC 中，利用勾股定理计算出 AB 长，再根据题意可得 CD 长，然后再次利用勾股定理 计算出 AD 长，再利用 BD ＝AB - AD 可得 BD 长． 【解答】解：在 Rt△ABC 中： ∵ ∠CAB ＝90° , BC ＝17 米，AC ＝8 米， ∵CD ＝10（米）， ∴BD ＝AB - AD ＝15 - 6 ＝9（米）， 答：船向岸边移动了9 米， 故答案为：9． 10 ．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股 定理的知识测算公园里一架秋千的绳索AB 的长度，如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直 高度 BC ＝0.5m ，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点 D 的位置，测得推送的水平距离为 2m ，即 DE = 2m ，此时秋千踏板离地面的垂直高度 DF＝1.5m ，那么绳索AB 的长度为 2.5 m． 【答案】2.5． 【分析】可设秋千的绳索长为 xm ，根据题意可知 AE ＝（x - 1）m ，利用勾股定理可得 x2 ＝22+（x - 1）2 ，即可得出答案． 【解答】解： ∵EC ＝DF＝1.5m ，BC ＝0.5m， ∴EB ＝EC - BC ＝1m， 在 Rt△AED 中，AD2 ＝AE2+ED2 ，ED ＝2m， 设秋千的绳索长为 xm ，则 AE ＝（x - 1）m， 故 x2 ＝22+（x - 1）2， 解得：x ＝2.5． 答：绳索 AB 的长度为 2.5m， 故答案为：2.5． 三．解答题（共 5 小题） 11 ．消防车上的云梯示意图如图 1 所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防车高 4米，如图 2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长， 此时消防车的位置 A 与楼房的距离 OA 为 15 米． （1）求 B 处与地面的距离． （2）完成 B 处的救援后，消防员发现在 B 处的上方 4 米的 D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地 救出小孩，消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离 AC 为多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在 Rt△OAB 中，根据勾股定理求出 OB 的长，进而可得出结论； （2）在 Rt△OCD 中， 由勾股定理求出 OA 的长，利用 OC ＝OA - OC 即可得出结论． 【解答】解：（1）在 Rt△OAB 中， “AB ＝25 米，OA ＝15 米，OE ＝4 米， :BE ＝OB+OE ＝20+4 ＝24（米）， 答：B 处与地面的距离是 24 米； （2） 由题意得 BD ＝4 米， “CD ＝25 米，OD ＝OB+BD ＝20+4 ＝24（米）， :AC ＝OA - OC ＝15 - 7 ＝8（米）． 答：消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 8 米． 12．图 1 是某品牌婴儿车，图 2 为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 BC丄CD， 现测得 AB ＝CD ＝6dm ，BC ＝3dm ，AD ＝9dm ，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接（即 ∠ABD ＝90°), 通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见试题解答内容 【分析】在 Rt△ABD 中， 由勾股定理求出 BD ，在△BCD 中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即 可． 【解答】解：在 Rt△ABD 中，BD2 ＝AD2 - AB2 ＝92 - 62 ＝45， 在△BCD 中，BC2+CD2 ＝32+62 ＝45， ∴BC2+CD2 ＝BD2， ∴ ∠BCD ＝90° , ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 13．如图所示，A、B 两块试验田相距 200 米，C 为水源地，AC ＝160m，BC ＝120m， 为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地 C 直接修筑两条水渠分别到A 、B；乙方案；过点 C 作AB 的垂线，垂足为 H，先从水源地 C 修筑一条水渠到 AB 所在直线上的 H 处，再从 H 分别向A 、B 进行修筑 （1）请判断△ABC 的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【分析】（1） 由勾股定理的逆定理即可得出△ABC 是直角三角形； （2） 由△ABC 的面积求出 CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【解答】解：（1） △ABC 是直角三角形；理由如下： ∴AC2+BC2 ＝1602+1202 ＝40000 ，AB2 ＝2002 ＝40000， ∴AC2+BC2 ＝AB2， ∴△ABC 是直角三角形， ∠ACB ＝90° ; （2） 甲方案所修的水渠较短；理由如下： ∵△ABC 是直角三角形， ∴△ABC 的面积 ∵AC+BC ＝160m+120m ＝280m ，CH+AH+BH＝CH+AB ＝96m+200m ＝296m， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 14 ．星期天小明去钓鱼，鱼钩 A 在离水面 BD1.3 米处，在距离鱼线 1.2 米处 D 点的 水下 0.8 米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以 0.2m/s 的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这 鱼饵处？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意直接得出 AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出 AC 的长，进而求出答案． 【解答】解：如图所示：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E ，连接 AC， 由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB - BE ＝AB - DC ＝1.3 - 0.8 ＝0.5（m）， 则 1.3÷0.2 ＝6.5（s）， 答：这条鱼至少 6.5 秒后才能到这鱼饵处． 15 ．2025 年是“全运年” ，第十五届全运会将于 2025 年 11 月 9 日～21 日在粤港澳 大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园 的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A 点到D 点有两条路线，分别是A→B→D 和A→ C→D．已 知 AB ＝160m ，AC ＝200m ，点 C 在点 B 的正东方 120m 处，点 D 在点 C 的正北方 50m 处． （1）试判断 AB 与 BC 的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着 A→ C→D 的路线跑，爸爸沿着 A→B→D 的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线 更短． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可得 BC ＝120m，进而利用勾股定理的逆定理即可推理出△ABC 是直角三角形， 即可求解； （2）在 Rt△BCD 中， 由勾股定理求得 BD 的长度，求 AB+BD 和AC+CD 的长度，比较即可求解； 【解答】解：（1）AB丄BC． 理由如下： 由题意可知AB ＝160m ，AC ＝200m ，点 C 在点 B 的正东方 120m 处， 即 BC ＝120m， “AB2+BC2 ＝1602+1202 ＝2002 ＝AC2 ， :△ABC 是直角三角形， ∠ABC ＝90° , :AB丄BC； （2） 由题意可知BC丄CD ，CD ＝50m． 在 Rt△BCD 中， 由勾股定理，得： BD = BC2 + CD2 = 1202 + 502 = 130(m)， :AB+BD ＝160+130 ＝290（m）， 而 AC+CD ＝200+50 ＝250（m）， “290＞250， :AB+BD＞AC+CD． :小亮跑的路线更短． 学科网（北京）股份有限公司 $