1.1探索勾股定理学案讲义 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

本讲义以勾股定理为核心，前铺三角形三边关系、角平分线性质及等腰三角形性质等基础知识点，后延勾股定理在几何计算、实际问题解决及数轴表示无理数等应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于结合梯子靠墙、风筝高度测量等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论直角边与斜边关系发展推理意识，练习题型多样且解析详尽，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

探索勾股定理学案讲义 考点卡片 1 ．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短 的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹， 容易忽略． 2 ．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有 时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图， ∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA ，CE⊥OB∴CD ＝CE 3 ．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线． 以上四个元素中，从中任意取出两个 元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 4 ．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2+b2 ＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式 a2+b2 ＝c2 的变形有及 （4）由于 a2+b2 ＝c2＞a2 ，所以 c＞a ，同理c＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角 边． 5 ．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中 抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形 的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边． 课堂巩固练习 一．选择题（共 5 小题） 1 ．如图 Rt△ABC 中，∠C = 90。， AC = 2，则 BC 的长是 ( ) A ．7 B ．3 C ． 1 D ．2 2 ．如图，一架靠墙摆放的梯子长 10 米，底端离墙脚的距离为 6 米，则梯子顶 端离地面的距离为（ ）米． A ． 8 B ．7 C ．6 D ．5 3 ．在 Rt△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 所对的边分别是 a ，b ，c ，则下列结论正 确的是 ( ) A ．a2+b2 ＝c2 B ．a2+c2 ＝b2 C ．b2+c2 ＝a2 D ．无法确定 4 ．如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包底面直径是 12 米，中间 最高点 D 距地面 4.5 米，则 AD 的长度为 ( ) A ．10 米 B ．8 米 C ．6 米 D ．米 5 ．如图，AC⊥AB ，BD⊥AB ，若 AB ＝8 ，AC ＝5 ，BD ＝1 ，连接 CD ，则 CD 的长为 ( ) 学科网（北京）股份有限公司 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 二．填空题（共 5 小题） 6 ． 如果直角三角形的两条边长分别为 2 和 3 ，那么它的第三条边长 为 7 ．如图．在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° . 点 P 在线段 BC 上，当 AP ＝BP 时，AP 的长度为 cm． 8 ． 若直角三角形的两直角边长分别为 6 ， 12 ，则该直角三角形的斜边的长 为 9 ．在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° , BC ＝2 ，D 为 AC 中点，E 为边 AB 上一 动点，当构成的四边形 BCDE 有一组邻边相等时，则 AE 的长可以是 ． 10 ．如图是一台手机支架的示意图，AB ，CD 可分别绕点 A，B 转动，测得 BD ＝5cm， AB ＝ 12cm ， 若 AB⊥BD ， DE⊥AP ， 垂 足 为 点 E ， DE ＝ AE ， 则 点 D 到 AP 的 距 离 为 cm． 三．解答题（共 5 小题） 11 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , AB ＝6 ，AC ＝5 ，求 BC 的长． 学科网（北京）股份有限公司 12 ．如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形 的边长均为 1 ．求边 AB ，AC 的长． 13 ．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 CE ，他们进行 了如下操作： ①测得水平距离 BD 的长为 15 米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米； ③牵线放风筝的小明的身高为 1.6 米． （1）求风筝的垂直高度 CE； （2）如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 14．图 1 是某品牌婴儿车，图 2 为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 BC⊥CD， 现测得 AB ＝CD ＝6dm ，BC ＝3dm ，AD ＝9dm ，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接（即 ∠ABD ＝90°), 通过计算说明该车是否符合安全标准． 15 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2.5 ，BC ＝1.4 ，AD 平分∠BAC． （1）求 AD 的长； （2）求△ABC 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 探索勾股定理 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C A D D A 一．选择题（共 5 小题） 1 ．如图 Rt△ABC 中，∠C = 90。， AC = 2，则 BC 的长是 ( ) A ．7 B ．3 C ． 1 D ．2 【答案】C 【分析】在直角三角形中，如果两条直角边分别为 a 和b ，斜边为 c ，那么 a2+b2 ＝c2 ．根据勾股定理求 解即可． 解； ∵匕 的长是为 1， 综上所述，只有选项 C 正确，符合题意， 故选：C． 2 ．如图，一架靠墙摆放的梯子长 10 米，底端离墙脚的距离为 6 米，则梯子顶 端离地面的距离为（ ）米． 学科网（北京）股份有限公司 A ． 8 B ．7 C ．6 D ．5 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：梯子长 10 米，底端离墙脚的距离为 6 米， 由勾股定理得：梯子顶端离地面的距离为 故选：A． 3 ．在 Rt△ABC 中， ∠A ， ∠B ， ∠C 所对的边分别是 a ，b ，c ，则下列结论正 确的是 ( ) A ．a2+b2 ＝c2 B ．a2+c2 ＝b2 C ．b2+c2 ＝a2 D ．无法确定 【答案】D 【分析】根据勾股定理判断即可． 【解答】解： ∵Rt△ABC 中，没有确定直角边和斜边， ∴无法利用勾股定理得出三边 a ，b ，c 的关系， 故选：D． 4 ．如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包底面直径是 12 米，中间 最高点 D 距地面 4.5 米，则 AD 的长度为 ( ) A ．10 米 B ．8 米 C ．6 米 D ．米 【分析】在直角△ACD 中利用勾股定理作答即可． 【解答】解：根据题意知 米，DC ＝4.5 米， 则由勾股定理得到 故选：D． 5 ．如图，AC丄AB ，BD丄AB ，若 AB ＝8 ，AC ＝5 ，BD ＝1 ，连接 CD ，则 CD 的长为 ( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】A 【分析】过 D 作DE丄CA 交 CA 的延长线于 E ，根据矩形的性质得到 AE ＝BD ＝2 ，DE ＝AB ＝8 ，根据 勾股定理得到 【解答】解：过 D 作DE丄CA 交 CA 的延长线于 E， “AC丄AB ，BD丄AB， : ∠BAE = ∠E = ∠ABD ＝90° , :四边形 ABDE 是矩形， :AE ＝BD ＝2 ，DE ＝AB ＝8， ∴CE ＝AC+AE ＝6， 故选：A． 二．填空题（共 5 小题） 6 ．如果直角三角形的两条边长分别为 2 和 3 ，那么它的第三条边长为 13 或 5 ． 【答案】 13或 5． 【分析】由于题目未明确两条边是直角边还是斜边，需分两种情况讨论：当 2 和 3 均为直角边时，利用 勾股定理求斜边；当 3 为斜边、2 为直角边时，利用勾股定理求另一条直角边，排除 3 为直角边、2 为 斜边的不合理情况（斜边需长于直角边）． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当2 和 3 均为直角边时，根据勾股定理，第三条边（斜边）的长度为 ②当 3 为斜边，2 为直角边时，根据勾股定理，第三条边（直角边）的长度为 因为直角三角形中斜边最长，3 不可能是直角边而 2 是斜边（2＜3），故这种情况不存在． 故答案为： 13或 5． 7 ．如图．在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° . 点 P 在线段 BC 上，当 AP ＝BP 时，AP 的长度为 【答案】1.5 【分析】 由勾股定理求出 BC ＝2cm ，设 AP ＝BP ＝xcm ，则 CP ＝（2 - x）cm ，再在 Rt△ACP 中， 由勾 股定理列出方程，解方程即可． 【解答】解：在 Rt△ACB 中， 由勾股定理得 设 AP ＝BP ＝xcm ，则 CP ＝（2 - x）cm， 在 Rt△ACP 中， 由勾股定理得：AC2+CP2 ＝AP2， 即（ 2）2+（2 - x）2 ＝x2， 解得： 故答案为： 8．若直角三角形的两直角边长分别为 6，12，则该直角三角形的斜边的长为 6 ． 【答案】 ． 【分析】 由勾股定理得出斜边长为即可得解． 【解答】解： 由题意可得：斜边长为 故答案为： 9 ．在 Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90° , BC ＝2 ，D 为 AC 中点，E 为边 AB 上一 动点，当构成的四边形 BCDE 有一组邻边相等时，则 AE 的长可以是 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】分 BC ＝BE 、CD ＝DE、BE ＝DE 三种情况考虑，当 BC ＝BE 时，由 AE ＝AB - BE 即可求出 AE 的长度；当 CD ＝DE 时，过点 D 作 DF⊥AE 于 F，通过解直角三角形可得出 AF 的长度，再根据等腰三 角形的三线合一即可得出AE 的长度；当 BE ＝DE 时，过点 D 作 DF⊥AE 于 F，设 EF＝x，则 ， 利用勾股定理表示出 DE2的值，结合 BE ＝DE 即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出 x 的值， 进而即可得出 AE 的长度．综上即可得出结论． 解：在 Rt△ABC 中 :AB ＝4， : ∠A ＝30° , “D 为 AC 中点， 当构成的四边形 BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况． （1）如图 1 ，当 BC ＝BE 时， :BE ＝BC ＝2， :AE ＝AB - BE ＝4 - 2 ＝2； （2）如图 2 ，当 CD ＝DE 时，作 DF丄AE ，垂足为点 F， AD ＝CD ＝DE， 在 Rt△ADF 中 （3）如图 3 ，当 BE ＝DE 时，作 DF丄AE ，垂足为点 F， 设 EF＝x ，则 在 Rt△DEF 中 ∴EF2+DF2 ＝DE2 ，即 解得： 即 故答案为：2 或 3 或． 10 ．如图是一台手机支架的示意图，AB ，CD 可分别绕点 A，B 转动，测得 BD ＝5cm， AB ＝12cm ，若 AB⊥BD ，DE⊥AP ，垂足为点 E ，DE ＝AE ，则点 D 到 AP 的距离为 【答案】见试题解答内容 【分析】连接 AD，根据勾股定理得到 根据垂直的定义得到∠AED =90° , 根据等腰直角三角形的性质得到 于是得到结论． 【解答】解：连接 AD， :AB丄BD， : ∠ABD ＝90° , :DE丄AP， : ∠AED ＝90° , :AE ＝DE， :点 D 到AP 的距离为 故答案为 三．解答题（共 5 小题） 11 ．如图，在 Rt△ABC 中， ∠C ＝90° , AB ＝6 ，AC ＝5 ，求 BC 的长． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求解即可． 解：在 Rt△ABC 中 12 ．如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为 1 ．求边 AB ，AC 的长． 【答案】 【分析】利用勾股定理解答即可． 【解答】解： ∵每个小正方形的边长均为 1， 由勾股定理得 13 ．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度 CE ，他们进行 了如下操作： ①测得水平距离 BD 的长为 15 米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米； ③牵线放风筝的小明的身高为 1.6 米． （1）求风筝的垂直高度 CE； （2）如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据勾股定理求出 CD 的长即可得出结果； （2）根据勾股定理求出 BF 的长即可得出结果． 【解答】解：（1） 由勾股定理得 ∴CE ＝CD+DE ＝20+1.6 ＝21.6（米）； （2）如图， 由勾股定理得， BF= DF2 + BD2 = (20 - 12)2 + 152 =17（米）， 25 - 17 ＝8（米）， ∴他应该往回收线 8 米． 14．图 1 是某品牌婴儿车，图 2 为其简化结构示意图．根据安全标准需满足 BC⊥CD， 现测得 AB ＝CD ＝6dm ，BC ＝3dm ，AD ＝9dm ，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接（即 ∠ABD ＝90°), 通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见试题解答内容 【分析】在 Rt△ABD 中， 由勾股定理求出 BD ，在△BCD 中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即 可． 【解答】解：在 Rt△ABD 中，BD2 ＝AD2 - AB2 ＝92 - 62 ＝45， 在△BCD 中，BC2+CD2 ＝32+62 ＝45， ∴BC2+CD2 ＝BD2， ∴ ∠BCD ＝90° , ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 15 ．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2.5 ，BC ＝1.4 ，AD 平分∠BAC． （1）求 AD 的长； （2）求△ABC 的面积． 【答案】（1）2.4； （2）1.68． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）AB ＝AC ＝2.5 ，AD 平分∠BAC， ∴ ∠ADB ＝90° , 学科网（北京）股份有限公司 $