1.1 探索勾股定理 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

探索勾股定理 学习目标 1. 理解勾股定理的内容，能阐述直角三角形三边之间的数量关系。 2. 经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，体验从特殊到一般的认知规律。 3. 能够运用勾股定理解决已知直角三角形的两边求第三边的简单问题。 4. 通过对勾股定理历史的了解，增强民族自豪感和学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 (a) 和 (b)，斜边为 (c)，那么： 二、勾股定理的探索 勾股定理的发现经历了漫长的过程。我们可以通过以下方式初步探索： 1. 测量与计算： 对于一个等腰直角三角形，例如两条直角边都为1，测量其斜边长度，会发现斜边的平方约等于。 对于直角边分别为3和4的直角三角形，测量其斜边长度，会发现斜边的平方等于。 2. 归纳与猜想： 通过对多个不同直角三角形的测量和计算，可以观察到一个共同的规律：直角三角形两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。 例题解析 例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。 解：设斜边的长为 c。 根据勾股定理，得 将 ， 代入，得 计算得 所以 答：斜边的长为10。 例题2：在直角三角形中，一条直角边的长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。 解：设另一条直角边的长为 b。 根据勾股定理，得 将 ， 代入，得 计算得 移项得 所以 答：另一条直角边的长为12。 例题3：一个直角三角形的斜边长为25，其中一条直角边比另一条直角边长7，求这个直角三角形的两条直角边的长。 解：设较短的直角边的长为 x，则较长的直角边的长为 (x + 7)。 根据勾股定理，得 展开得 合并同类项得 两边同时除以2得 因式分解得 解得 或 。 因为边长不能为负数，所以 。 则较长的直角边为 。 答：这个直角三角形的两条直角边的长分别为15和22。 例题4：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 解：设旗杆的高度为 x米，则绳子的长度为 (x + 1) 米。 根据题意，旗杆、地面与拉开的绳子构成一个直角三角形，其中旗杆和地面为直角边，绳子为斜边。 根据勾股定理，得 展开得 移项得 解得 答：旗杆的高度为12米。 巩固练习 一、选择题 1. 在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 1，2，3 4. 一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. C.5或 无法确定 二、填空题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=______。 2. 若一个直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为8cm，则这个直角三角形的周长为______cm。 3. 已知一个等腰直角三角形的直角边长为1，则它的斜边长为______。 4. 一个直角三角形的面积为24，一条直角边长为6，则另一条直角边长为______，斜边长为______。 三、解答题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，c=10，求a和b的长。 2. 一个长方形的长为12cm，宽为5cm，求这个长方形的对角线长。 3. 一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。 （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 4. 有一个边长为10米的正方形水池，水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。求这个水池的深度和芦苇的长度。 巩固练习答案 一、选择题 1. A 解析：根据勾股定理，斜边。 2. C 解析：根据勾股定理，另一条直角边。 3. D 解析： A.，能构成直角三角形。 B.，能构成直角三角形。 C.，能构成直角三角形。 D.，不能构成直角三角形。 4. C 解析：当3和4为两条直角边时，第三边（斜边）长为5；当4为斜边，3为一条直角边时，第三边长为。所以第三边的长为5或。 二、填空题 1. 13 解析：。 2. 40 解析：另一条直角边长为。周长为 cm。 3. 解析：斜边长为。 4. 8，10 解析：设另一条直角边长为 (b)，则，解得 。斜边长为。 三、解答题 1. 解：设 ，（(k > 0)）。 根据勾股定理，得 计算得 （负值舍去） 所以，。 答：(a) 的长为6，(b) 的长为8。 2. 解：长方形的对角线将长方形分成两个全等的直角三角形，对角线为斜边，长和宽为两条直角边。 设对角线长为 (c)。 根据勾股定理，得 答：这个长方形的对角线长为13cm。 3. 解：（1）设梯子顶端距地面的高度为 (h) 米。 根据勾股定理，得 答：这个梯子的顶端距地面有24米高。 （2）梯子顶端下滑4米后，新的高度为 米。 设此时梯子底端离墙的距离为 (x) 米。 根据勾股定理，得 （负值舍去） 梯子底端滑动的距离为 米。 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米。 4. 解：设水池的深度为 (x) 米，则芦苇的长度为 (x + 1) 米。 正方形水池中央到岸边的距离为边长的一半，即米。 根据题意，水池深度、水池中央到岸边的距离与芦苇长度构成直角三角形，其中水池深度和中央到岸边距离为直角边，芦苇长度为斜边。 根据勾股定理，得 芦苇长度为 米。 答：这个水池的深度为12米，芦苇的长度为13米。 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索勾股定理 学习目标 1. 理解勾股定理的内容，能阐述直角三角形三边之间的数量关系。 2. 经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，体验从特殊到一般的认知规律。 3. 能够运用勾股定理解决已知直角三角形的两边求第三边的简单问题。 4. 通过对勾股定理历史的了解，增强民族自豪感和学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 (a) 和 (b)，斜边为 (c)，那么： 二、勾股定理的探索 勾股定理的发现经历了漫长的过程。我们可以通过以下方式初步探索： 1. 测量与计算： 对于一个等腰直角三角形，例如两条直角边都为1，测量其斜边长度，会发现斜边的平方约等于。 对于直角边分别为3和4的直角三角形，测量其斜边长度，会发现斜边的平方等于。 2. 归纳与猜想： 通过对多个不同直角三角形的测量和计算，可以观察到一个共同的规律：直角三角形两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。 例题解析 例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。 例题2：在直角三角形中，一条直角边的长为5，斜边长为13，求另一条直角边的长。 例题3：一个直角三角形的斜边长为25，其中一条直角边比另一条直角边长7，求这个直角三角形的两条直角边的长。 例题4：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 巩固练习 一、选择题 1. 在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 1，2，3 4. 一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. C.5或 无法确定 二、填空题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c=______。 2. 若一个直角三角形的斜边长为17cm，一条直角边长为8cm，则这个直角三角形的周长为______cm。 3. 已知一个等腰直角三角形的直角边长为1，则它的斜边长为______。 4. 一个直角三角形的面积为24，一条直角边长为6，则另一条直角边长为______，斜边长为______。 三、解答题 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，c=10，求a和b的长。 2. 一个长方形的长为12cm，宽为5cm，求这个长方形的对角线长。 3. 一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。 （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 4. 有一个边长为10米的正方形水池，水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。求这个水池的深度和芦苇的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $