精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

德强学校9月份学情调研测试 数学试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 13，12，22 B. 8，7，15 C. 3，4，8 D. 5，5，12 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在和中，，下列条件中，不能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图在中，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②等腰三角形的高､中线､角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 12. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是______． 13. 已知点与点关于y轴对称，则______． 14. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 15. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． 16. 如图，中，，于D，E、F为上两点，连接、、、，，，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图所示，将—些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第l个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有l2个棋子，第四个图形有l6个棋子，依此规律，第lO个图形有____个棋子． 18. 如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为______． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 20. 如图，在中，，，平分交BC于点E，交的延长线于点D，交的延长线于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 在中，，，求的各内角度数． 22. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 23. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 如图，已知：于B，于C，与交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，取的中点F，连接，在不添加字母和辅助线的条件下直接写出图中等于面积的的所有三角形． 25. 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1，当时，直接写出线段与之间的数量关系是______． （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，直线m与的延长线交于点F．若，的面积是40，则与的面积之和为______． 26. 如图1，已知在中，，点D在的内部，连接，且平分． （1）求证：； （2）如图2，过点D作交于点E，若，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作交分别于点F，点H，，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，在y轴的正半轴上，满足，点B、点C在x轴上且关于y轴对称，． （1）求点A的坐标； （2）如图2，点D为边上一动点（不包含端点），点D的纵坐标为t，过点D作交y轴于点E，线段长为d，用含t的式子表示d； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，线段的垂直平分线交y轴于点F，当时，求d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强学校9月份学情调研测试 数学试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 13，12，22 B. 8，7，15 C. 3，4，8 D. 5，5，12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A．∵，∴13，12，22能够组成三角形，符合题意； B．∵，∴8，7，15不能组成三角形，不符合题意； C．，∴3，4，8不能组成三角形，不符合题意； D．，∴5，5，12不能组成三角形，不符合题意． 故选A． 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B.、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握知识点是解题的关键． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点是． 故选A． 4. 已知在和中，，下列条件中，不能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； B. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； C. ，， 则在和中， ， 此时符合， 不能使，故选项符合题意； D. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图在中，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，的度数，再由角平分线的性质得出，的度数，利用全等三角形的判定与性质可得的度数，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 6. 一个多边形的每个外角都等于，则此多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握“多边形的外角和等于”是解决问题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和等于， ∴， 则此多边形为八边形， 故选：D． 7. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 8. 如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，由垂直平分，则，由的周长为，，则，最后由等腰三角形的定义即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②等腰三角形的高､中线､角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． ①根据全等三角形和轴对称的性质即可判断； ②根据等腰三角形三线合一的性质判断即可； ③根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解判断即可； ④根据垂直平分线的性质判断求解即可． 【详解】①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，选项错误，不符合题意； ②等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，选项错误，不符合题意； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，选项正确，符合题意； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等，选项正确，符合题意． 故正确的有③④，有2个． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 12. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 13. 已知点与点关于y轴对称，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴， 故答案为：8． 14. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，掌握成轴对称的两个图形全等的性质是解题关键． 根据轴对称的性质得出，即可得出的度数，进而根据三角形内角和可得出的度数． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】解：根据中点的性质得，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 16. 如图，中，，于D，E、F为上两点，连接、、、，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，由三线合一定理和垂直的定义得到，，据此可证明，进而推出，据此可证明，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：20． 17. 如图所示，将—些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第l个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有l2个棋子，第四个图形有l6个棋子，依此规律，第lO个图形有____个棋子． 【答案】40 【解析】 【详解】试题分析：由图可得第l个图形有4=1×4个棋子，第2个图形有8=2×4个棋子，第3个图形有l2=3×4个棋子，第四个图形有l6=4×4个棋子，根据这个规律求解即可. 解：由题意得第lO个图形有4×10=40个棋子． 考点：找规律-图形的变化 点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题. 18. 如图，在中，，，点是边的中点，，交于，交于，若，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ， ∴， 当是钝角三角形时，，交的延长线于点D， ∴， ∴， 故答案为：或． 20. 如图，在中，，，平分交BC于点E，交的延长线于点D，交的延长线于点M，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、， 根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又，， ， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 三、解答题（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分） 21. 在中，，，求的各内角度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】先根据题意得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 解得， ，． 22. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，三角形的中线，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据作轴对称图形的作法解答即可； （2）确定的中点D，再连接，则直线即为直线n； （3）利用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 23. 如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知：于B，于C，与交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，取的中点F，连接，在不添加字母和辅助线的条件下直接写出图中等于面积的的所有三角形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），，， 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，可得，即可求证； （2）证明是等边三角形，再结合直角三角形的性质以及三角形中线的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∴， 同理； ∵，， ∴， 同理； 综上所述，等于面积的的三角形有，，，． 25. 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E，在直线m上方有，且满足． （1）如图1，当时，直接写出线段与之间的数量关系是______． （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，直线m与的延长线交于点F．若，的面积是40，则与的面积之和为______． 【答案】（1）， （2） 解：结论仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）10 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）证明，可得，即可解答； （3）证明，可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，再结合，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的面积之和为10， 故答案为：10． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 26. 如图1，已知在中，，点D在的内部，连接，且平分． （1）求证：； （2）如图2，过点D作交于点E，若，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作交分别于点F，点H，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：延长交于点M，连接，如图， ∵平分 ∴，且， ∵，M是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定（三线合一、等边对等角），全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半、勾股定理），三角形面积公式，掌握知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到一组角相等，结合等腰三角形和公共边，通过证明，从而得到，再根据等边对等角推出． （2）先由等腰三角形三线合一得到且，再结合直角三角形斜边中线性质得到，进而推出，最后结合角相等推出，从而得到． （3）先证明是等腰直角三角形，设；再利用勾股定理、三角形面积公式求出的长度；最后在中，根据勾股定理列方程求解x， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作于点N，连接，如图， 设． ∵ ∴，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 设，则，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵ ∴ 解得． 在中，， ∴． ∴， 在中， 由勾股定理，得 ，即， 展开得， 解得． ∴的长为． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，在y轴的正半轴上，满足，点B、点C在x轴上且关于y轴对称，． （1）求点A的坐标； （2）如图2，点D为边上一动点（不包含端点），点D的纵坐标为t，过点D作交y轴于点E，线段长为d，用含t的式子表示d； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，线段的垂直平分线交y轴于点F，当时，求d的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、含30度直角三角形的性质、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先解绝对值可得或，再结合点A在y轴正半轴上可得，然后再确定点A的坐标即可； （2）先说明，如图：过D作轴，则，由含30度角的直角三角形的性质可得，再运用勾股定理以及线段的和差可得，即；再根据两点间距离公式可得，再说明，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解答； （3）先求得，如图：连接，由垂直平分线的性质可得，设，运用两点间距离公式列方程可求得，即，则，进而得到；再根据、，可得，即；再列方程求得t，最后求d即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴或，解得或， ∵点A在y轴正半轴上， ∴，故， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：过D作轴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，即． 【小问3详解】 解：∵点B、点C在x轴上且关于y轴对称，， ∴， 如图：连接， ∵线段的垂直平分线交y轴于点F， ∴， 设，则， 解得：， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $