湖北省腾云联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

数学试卷 考试时间：2025年10月15日下午15：00一17：00试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将答题卡上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=(1+2i)i,则其共轭复数z=() A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.已知实数集合A={1,a,b},B={a2,a,ab},若A=B,则(a+b)2025=（) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知抛物线C:4x-my2=0恰好经过圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心，则抛物线 C的焦点坐标为() A.(0,) B.(1,0) c.(-1,0) D.(0,-1) 4.在等比数列{an}中，a6,ao是方程xX2+6x+2=0的两个实数根，则a的值为() A.2 B.-2 C.√2 D.2 5.已知向量a,i满足a=2,b=1,若向量a在向量i上的投影向量为-√56，则 (a,b=（) 数学试卷第1页共5页 π A. B. 3π 12 c. 2元 D. 4 3 6.已知A,B是样本空间2中的随机事件，0<P(B)<1,若P(A+B)= P=,则P()=() A 3 B. c. 5 D. 7.如图，在扇形OAB中，半径IOA日OB=2,弧长为 ，点P是弧AB上的动点， 2 点M,N分别是半径OA,OB上的动点，则△PMN周长的最小值是() p M N B A.3 B.4 C.2W3 D.22 8.已知随机变量5~N(0,1),设函数f(x)=P(-4x<5<4-4x),则f(x)的图象大致 为() B 数学试卷第2页共5页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分 9.下列不等式恒成立的是() A.a2+b2>2ab(a,b∈R） B. a+b a2+b2 2 2(a>0,b>0) C.a+a-i 3(a≠1) D. b+m>b(a>b>0,m>0) a+m a 10.已知函数f)=2cos2 x-}1,则() A.2元π是f(x)的一个周期 B。心四在区间[？买]上单词递减 是偶函数 D.若f因=号在区间（Q,利内有两个根aA,则coa-月=月 11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线E:x2+y-|x02=1就是其中之 一.设曲线E与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点P是E上一个动点， 以下说法正确的是() A.曲线E关于y轴对称 B.曲线E恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C.△PAB面积的最大值为√2 D.满足|PCI+PD=2W3的点P有且只有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在 x 的展开式中x项的系数为 (用数字作答) 13.若x=1是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= 14.如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与 容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均 相切，则该容器的体积为 数学试卷第3页共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x2+3x,f(n)为数列{a,}的前n项和. (1)求{a}的通项公式： 1 (2)记数列 (a.-1)f'(n 的前项和为工，证明：工<名 16.(本小题满分15分) 如图，已知A(-2,0),B(-1,0),C(1,0),动圆D与x轴相切于点A,过B,C两点分 别作圆D的非x轴的两条切线，这两条切线的交点为P, (1)求证：PB+PC为定值，并写出点P的轨迹方程； (2)记点P的轨迹为E,过点C的直线与E交于M,N两点， D O为坐标原点，且△OMN的面积为N2 求直线MN的斜率 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC⊥AC,ABI∥DC. (I)证明：平面PBC⊥平面PAC; (2)若BC=2,CD=3,PA=AB=4,且P,A,B,C在同一个球 面上，球心为O (i)N为PC的中点，求直线DN与平面PAC所成角的正弦值： ()设球O的表面与线段PD交于点Q(异于点P), D2的值. P 数学试卷第4页共5页 18.(本小题满分17分) 某企业的生产设备控制系统由2k-1（k∈N)个相同的元件组成，每个元件正常工 作的概率均为卫(0<p<1),各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元 件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为P(例 如：P表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5 个元件组成时设备正常运行的概率)· 0诺p=号，当=2时， ()求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望； (ii)求P; (2)讨论P与P+1（k∈N)的大小关系 19.(本小题满分17分) 定义双曲正弦函数sihx=。,e,双曲余弦函数(cosh=。+e,双曲正切函数 2 2 tanhx= sinhx coshx (1)证明：(tanhx)=l-(tanhx)子； (2)若直线y=m与函数y=coshx和y=sinhx的图象共有三个交点，这三个交点的横 坐标分别为，2，为，求为+2十为的取值范围： (3)证明：n(coshx)>x-1. tanhx 数学试卷第5页共5页