期中试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 3．地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 5．若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 6．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 7．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 9．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　 　 ． 12．如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 　 　 （填“A”或“B”）的影子长一些． 13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 14．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＜PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片AP的长度为 　 　 cm． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为，则CD的长为 　 　 ． 16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CD的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：①BE＝DF；②∠BEH＝∠BAH；③；④若AB＝4，DF＝1，则△BEH的面积为．其中正确的是 　 　 ．（将所有正确结论的序号填在横线上） 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法解） （2）2x2﹣2x+6＝5x．（用公式法解） 18．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 20．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　 　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 21．已知一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若原方程的两个根x1，x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）＝10，求m的值． 22．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶． （1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为 　 　 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为1200元； （3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 24．如图1，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG． （1）求证：△AEG∽△FAG； （2）若GE•GF＝16，求GC的长． （3）结合前两步的解答，你能得出GE、GF和GC的数量关系吗？如果把图1中的正方形变为菱形，其余条件不变（如图2），以上关系还成立吗？（请直接写出答案，不需要证明） 2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C A B D D D C 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2 【分析】据此即可判定求解． 【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等 【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等； 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等； 故选项B、C、D不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键． 3．地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【解答】解：列出表格如下： 入口 出口 A B D （A，D） （B，D） E （A，E） （B，E） F （A，F） （B，F） 由表可知，一共有6种情况，从A入口进，F出口出的有1种， ∴从A入口进，F出口出的概率， 故选：D． 【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．如图是某景区大门部分建筑，已知AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF：DE＝4：3时，则AB的长是（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行线分线段成比例，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴，即， ∴AB＝12m． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 5．若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，整理原式即可得出关于a的方程求出即可． 【解答】解：依题意Δ＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0， 即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴1﹣a， 解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x2＝1﹣a得出关于a的方程是解决问题的关键． 6．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】解：如图： ∵AB⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△EDC， ∴， 即， ∴DE＝8（m）， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答． 7．如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　） A．（9，4） B．（4，9） C．（1，） D．（1，） 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形OABC按相似比缩小，点B的坐标为（3，2）， ∴顶点B在第一象限对应点的坐标为（3，2），即（1，）， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 9．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 【分析】直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，再利用平行线的性质证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝3，则AD＝5，所以BC＝5，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明∠DEF＝∠F得到DE＝DF＝2，则可对C选项进行判断；由于DE∥BC，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得BO平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝AE+DE＝3+2＝5， ∴BC＝5，所以B选项不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠F， ∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意； ∵DE∥BC， ∴，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质． 10．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先证四边形AEPF是矩形，可得PE＝AF，∠PFD＝90°，由等腰直角三角形的性质可得PF＝DF，可求AF，DF的长，由勾股定理可求AP的长，由“SAS”可证△ABP≌△CBP，可得AP＝PC． 【解答】解：连接AP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°， ∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴PE＝AF，∠PFD＝90°， ∴△PFD是等腰直角三角形， ∴PF＝DF， ∵PE：PF＝1：2， ∴AF：DF＝1：2， ∴AF＝1，DF＝2＝PF， ∴AP， ∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴AP＝PC， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．若，则 　　 ． 【分析】根据等比性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 12．如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 　B　 （填“A”或“B”）的影子长一些． 【分析】根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 【解答】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置B离路灯比位置A离路灯远， ∴在位置B的影子长些； 故答案为：B． 【点评】本题考查投影，解题的关键是掌握同一物体，离光源越远，影子越长． 13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 　m≤4且m≠2　 ． 【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣2）×2≥0且m﹣2≠0， 解得m≤4且m≠2， 故答案为：m≤4且m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 14．校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＜PB），如果AB的长度为8cm，那么叶片AP的长度为 　（12﹣4）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义求出BP的长，即可解决问题． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝8cm， ∴BPAB8＝（44）（cm）， ∴AP＝AB﹣BP＝8﹣（44）＝（12﹣4）（cm）， 即叶片AP的长度为（12﹣4）cm， 故答案为：（12﹣4）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为，则CD的长为 　4　 ． 【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得BD＝2OH＝4，由菱形的面积公式可求AC的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH＝OB＝OD＝2，BD＝2OH＝4， ∵菱形ABCD的面积为8， ∴8AC×4， ∴AC＝4， ∴AO＝CO＝2， ∴CD4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CD的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：①BE＝DF；②∠BEH＝∠BAH；③；④若AB＝4，DF＝1，则△BEH的面积为．其中正确的是 　①②④　 ．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【分析】先证明△AEB≌△AFD，利用全等三角形的性质即可说明①和②，进一步得到A，E，B，H四点共圆，再过H点作NH⊥EC于点N，得到△ENH∽△ECF，得到，利用三角函数得到，即可说明③和④． 【解答】解：∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADF＝∠BCD＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵点E在CB的延长线上， ∴∠EBA＝90°＝∠ADF， ∴△AEB≌△AFD（ASA）， ∴BE＝DF，故①正确； ∵点H是EF的中点， ∴AH⊥EF， ∴∠AHE＝90°， 将AB与EF的交点记为M，如图所示， ∵∠EMB＝∠AMH， ∴180°﹣∠EMB﹣∠ABE＝180°﹣∠AMH﹣∠AHE， ∴∠BEH＝∠BAH，故②正确； ∴A，E，B，H四点共圆， ∴∠ABH＝∠AEH， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴∠ABH＝45°， 过H点作HN⊥EC于点N， ∴△ENH∽△ECF， ∴， ∴，BH， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵AB＝4，DF＝1， ∴CF＝3，EB＝1 ∴， ∴△BEH的面积为，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数、相似三角形的判定与性质等，解题关键是牢记相关概念与性质，以及能正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形等． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）2x2﹣x﹣1＝0；（用配方法解） （2）2x2﹣2x+6＝5x．（用公式法解） 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0， 移项得：2x2﹣x＝1， 把二次项系数化为1：， 配方得：， ， 直接开平方得：， ∴或． ∴x1＝1，x2； （2）2x2﹣2x+6＝5x， 移项，合并同类项得：2x2﹣7x+6＝0， 这里a＝2，b＝﹣7，c＝6， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×6＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 18．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长． 【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似； （2）根据（1）中的相似列比例式可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA， ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； （2）解：∵△ABC∽△AEB， ∴， ∵AB＝6，AC＝4， ∴， ∴AE9． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2：1； （2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2； （3）判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据位似中心的性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所作图形； （2）如图，△O2A2B2即为所作图形； （3）△OA1B1和△OA2B2是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为（﹣4，2）． 【点评】本题主要考查了作图﹣位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 20．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 　　 ； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：． （2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．已知一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若原方程的两个根x1，x2满足（2x1+x2）（x1+2x2）＝10，求m的值． 【分析】（1）根据题意可知Δ≥0，据此可得关于m的一元一次不等式，求解即可获得答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2m，，将（2x1+x2）（x1+2x2）＝10整理并代入可得关于m的一元二次方程，求解即可获得答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个根， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2+m）＝﹣4m≥0， 解得m≤0； （2）对于一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0， 可有x1+x2＝﹣2m，， ∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝10， ∴25x1x2+22[（x1+x2）2﹣2x1x2]+5x1x2＝10， ∴2（x1+x2）2+x1x2＝10， 即8m2+（m2+m）＝9m2+m＝10， 解得，m2＝1， 由（1）可知，m≤0， ∴m的值为． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 22．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶． （1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为 　480　 瓶； （2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为1200元； （3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【分析】（1）根据日均销售量为560﹣40计算可得； （2）根据“总利润＝每瓶利润×日均销售量”列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为560﹣40480瓶， 故答案为：480； （2）设每瓶的售价为x元， 根据题意可得：（x﹣9）（560﹣40）＝1200， 整理，得：x2﹣26x+168＝0， 解得：x1＝12、x2＝14， 答：当每瓶售价为12元或14元时，所得日均总利润为1200元； （3）设每瓶的售价为x元，日均利润为y元， 则y＝（x﹣9）（560﹣40） ＝﹣80x2+2080x﹣12240 ＝﹣80（x﹣13）2+1280， 当x＝13时，y取得最大值，最大值为1280， 答：当每瓶售价为13元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为1280元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t为多少时，四边形ABQP成为矩形？ （2）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度． 【分析】（1）因为∠B＝90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形； （2）因为PD∥BQ，当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形，先由PD＝BQ求出运动时间t的值，再代入求BP，发现BP≠PD，判断此时四边形PBQD不能成为菱形；设Q点的速度改变为vcm/s时，四边形PBQD在时刻t为菱形，根据PD＝BQ＝BP列出关于v、t的方程组，解方程组即可求出点Q的速度． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AP∥BQ， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP成为矩形， 此时有t＝22﹣3t，解得t． ∴当ts时，四边形ABQP成为矩形； （2）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下： ∵PD∥BQ， ∴当PD＝BQ＝BP时，四边形PBQD能成为菱形． 由PD＝BQ，得16﹣t＝22﹣3t，解得t＝3， 当t＝3时，PD＝BQ＝13，BP13， ∴四边形PBQD不能成为菱形； 如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形， 由题意，得，解得． 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形． 【点评】本题借助动点主要考查了矩形、菱形的判定，勾股定理，等腰梯形的判定与性质，以及方程和方程组在几何图形中的应用，难度适中，用含t的代数式正确表示出相关线段的长度是解题的关键． 24．如图1，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG． （1）求证：△AEG∽△FAG； （2）若GE•GF＝16，求GC的长． （3）结合前两步的解答，你能得出GE、GF和GC的数量关系吗？如果把图1中的正方形变为菱形，其余条件不变（如图2），以上关系还成立吗？（请直接写出答案，不需要证明） 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB，从而证明△ABG≌△CBG（SAS），利用全等三角形的性质得到∠BAG＝∠BCG，由平行线的性质得出∠BCG＝∠F，得出∠EAG＝∠F，即可得出三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得出GA2＝GE⋅GF＝16，再根据△ABG≌△CBG，即可得出答案． （3）由（1）△AEG∽△FAG，得出GA2＝GE⋅GF，由△ABG≌△CBG，即可得出GC2＝GE⋅GF，若四边形ABCD为菱形，同理即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝CB， 又∵BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCG， ∵AD∥CB， ∴∠BCG＝∠F， ∴∠EAG＝∠F， 又∠EGA＝∠AGF， ∴△AEG∽△FAG； （2）解：由（1）得△AEG∽△FAG， ∴，即GA2＝GE•GF＝16， ∴GA＝4或GA＝﹣4（舍去）， ∵△ABG≌△CBG， ∴GC＝GA＝4． （3）解：数量关系为GC2＝GE•GF；在图2中仍成立． 由（1）△AEG∽△FAG， ∴，即GA2＝GE•GF， ∵△ABG≌△CBG， ∴GC＝GA， ∴GC2＝GE•GF， 如图2：∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD，AB＝CB， 又∵BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCG， ∵AD∥CB， ∴∠BCG＝∠F， ∴∠EAG＝∠F， 又∠EGA＝∠AGF， ∴△AEG∽△FAG； 同理可得：GC2＝GE•GF． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，菱形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/15 16:09:27；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $