精品解析：吉林省松原市实验高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期高二第一次考试数学学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式求出答案. 【详解】A，B两点间的距离为. 故选：B 2. 经过点,的直线在x轴上的截距为 A. 2 B. C. D. 27 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0得x＝27．故选D． 考点：求直线方程及截距． 3. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦点位置,写出,求得值即得. 【详解】由题意， 在中，椭圆的焦点在轴上,且, ∴， ∴椭圆焦点的坐标为. 故选：C. 4. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 整理：，代入平行直线距离公式， 则. 故选：D 5. 已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键. 6. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 7. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设求得（t为参数），进而求出取椭圆上顶点时的值，从而得不会为直角即可求解. 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 8. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离应小于等于，列出不等式即可求解, 【详解】由题意：圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， 所以 ， ，解得 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式.因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论： 焦点在轴时，确定、，由求出，结合离心率公式列方程求解与关系.  焦点在轴时，同样确定、、，再根据离心率公式列方程求解与关系. 【详解】因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆.  方程可化为.  当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简，则 当焦点在轴上时，此时，即，，， 根据可得. 已知离心率，则，即. 化简得， 实数与的关系为或. 故选：AC. 10. 方程有实数解，则实数m的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，即可数形结合求解的范围求解. 【详解】设，， 故有实数根即为两个函数的图象有交点， 在同一直角坐标系中，画出的图象，如图： 则为直线的纵截距， 当直线与半圆相切时，可得， 当直线经过半圆的右端点时，可得， 所以， 故选：ABC 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断焦点所在轴，再求m判断选项A；以椭圆定义巧求的周长判断选项B；以勾股定理判断选项C；直接去求的值去判断选项D. 【详解】A中没有指明焦点在x轴还是y轴，应该有两个值，所以A不正确； B中，由题意，则，所以，则的周长为，所以B正确； C中，由题意可得，，，要使椭圆为“黄金椭圆”，则，所以，所以， 所以，， 因为，， 所以，所以，所以C正确； D中，由题意可得，，设， 则， 因为P在椭圆上，所以，所以， 因为“黄金椭圆”上动点P，所以， 所以，而， 所以，即，所以，可得D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再结合勾股定理可求弦长. 【详解】圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为， 圆心到直线的距离为：， 所以直线被圆截得的弦长为：， 故答案为：. 13. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米． 【答案】32 【解析】 【详解】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为. 14. 已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围. 【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以． 设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为． 点的轨迹是以为圆心半径为的圆. 设点，，到直线的距离分别为，，， 所以，，， 所以． 因为点到直线的距离为，所以， 即，所以． 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）由题意设直线方程为：，代入即可求； （2）分直线截距为0和不为0两种情况讨论即可求. 【详解】（1）设所求直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，解得， 所以直线的一般式方程为； （2）当直线的截距为0时，直线方程为：， 当直线的截距不为0时，由题意可设直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，所以， 所以直线方程为：，即， 综上所述：直线方程为或. 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 17. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； （2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程； 【答案】（1）和；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用点到直线的距离构建关于斜率的方程，解出斜率即可.注意检验斜率不存在的情形.（2）因为，所以到直线的距离为，但是，因此为的中点，故可直接写出以为直径的圆的方程. 解析：（1）若直线的斜率存在，则方程为. 即.又圆的圆心为，半径，由 ， 解得.所以直线方程为， 即. 若的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件. （2）由于，而弦心距，所以，所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为. 点睛：注意利用几何量的相互关系简化计算. 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； 【小问1详解】 由焦点在直线上，令，解得， 已知椭圆过点， 所以， 所以 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. 19. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. （1）求的方程； （2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 【答案】（1） （2）（i）垂直；（ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立， 所以直线与轴不平行，设，且，， 联立直线与椭圆， 得，， 则，， 又，即， 即， 即， 化简可得， 则或， 又当时，，， 又因为直线不过点，所以,所以，无解， 综上所述，，直线方程为， 所以恒过轴上的定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率可得，再代入点可得椭圆方程； （2）（i）设点，可得，可得点坐标，进而确定，并判断位置关系；（ii）设直线方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理，可证直线过定点. 【小问1详解】 由已知设椭圆方程为， 又椭圆离心率为，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点， 所以，则，， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）设，则， 又，， 因为，所以， 即， 解得，则， 即，， 所以， 即直线和垂直； （ii）略 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高二第一次考试数学学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则A，B两点间的距离为（ ） A. 5 B. C. 3 D. 2. 经过点,的直线在x轴上的截距为 A. 2 B. C. D. 27 3. 椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（） A. B. C. D. 4. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 5. 已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. C. D. 6. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 已知圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为 （    ） A. B. C. D. 10. 方程有实数解，则实数m的可能取值是（ ） A. B. C. D. 11. 如果称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，那么下列命题正确的有（ ） A. 若是“黄金椭圆”，则 B. 若点A在以，为焦点的“黄金椭圆”上，且，则的周长为 C. 若是左焦点，C，D分别是右顶点和上顶点，则 D. 设焦点在x轴上的“黄金椭圆”左右顶点分别为A，B，“黄金椭圆”上动点P（异于A，B），设直线PA，PB的斜率分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知直线与圆，则直线被圆所截得的弦长为__________. 13. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________ 米． 14. 已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. （1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 16. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 17. 已知点及圆：. （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程； （2）设过点P的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程； 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，直线与椭圆相交于不同的两点； （1）求椭圆的方程； （2）若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值． 19. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. （1）求的方程； （2）若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $