专题09 解直角三角形之实际应用模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题09. 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴，答：两滑梯高度差为 （2）解：在中 ，，，∴， 在中，，，∴， ∴答：长． （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，，，在中，，． ，．． ．答：世纪钟建筑的高度约为． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 【答案】/ 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴．故答案为：． 例2（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】59.8米 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形，， 在中，由题意知米， ∴（米） 在中，由题意知米， ∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 例3（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 【答案】米 【详解】解：延长交于，如图所示： ，，米，米， 米， 又， ，米，又米，米． 例4（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)“大碗”的口径的长为；(2)“大碗”的高度的长为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形，∴， 答：“大碗”的口径的长为； （2）解：延长交于点，如图， ∵矩形碗底，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，答：“大碗”的高度的长为． 模型2.母子模型 例1（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．(1)求的长；(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长约为8米；(2)模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， 由题意可知，，，在中，，米， ，米，即的长约为8米； （2）解：米，米，米， 在中，，米，， 米，米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒，即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 例2（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【详解】解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米，，（米）．     在中，，，（米）． （米）．答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 例3（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，，，． 在中，，， ．故选B． 例4（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）      【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ，，， 在的中点处，，如图，过作于， 在中， ，在中，， ，故答案为：， 例5（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，由题意可知，，，， ，， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，，由题意可知，，，， ，， ，答：塔身的高度约为． 例6（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 【答案】(1)的长约为600m(2)的长为1049m 【详解】（1）在中，，，， ∴，即的长约为600m； （2）延长交于G， ∵，∴，∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，∵，， ∴， ∴，即的长为1049m． 模型3.拥抱模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 【答案】CD＝13（米）. 【详解】解：由题意知，∠EDF＝α＝38°，∴FD＝＝10（米）．EH＝8﹣2＝6（米） 在Rt△PEH中，∵．∴．∴BF＝12（米）PG＝BD＝BF+FD＝12+10＝22（米）． 在直角△PCG中，∵．∴CG＝PG•tanβ≈22×0.5＝11（米）．∴CD＝11+2＝13（米）． 例2（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）(1)的高度为______，的长为______；(2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2(2) 【详解】（1）解：，， ，是等腰直角三角形，， 在中，，，， ；故答案为：，2； （2），，， 由题意可知， ，， 在中，， ，即“美”字的高度约为． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)；(2)电线塔的高度． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，∴， ∵，∴，∵，∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，，设， 在中，，∴， 在中，，在中，，， ∴，∴，∴， ∴，∴ 答：电线塔的高度． 1．（2024·河北保定·一模）如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，∴ ∵为，∴，∴设， ∵，∴，∴在中，，解得：， 点离地面的高度长为故选：． 2．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：由题意得，在中，， 在中，，∴ 米．故选：C 3．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，在中，，， 在中，，， ， 这栋楼的高度为，故选：A． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 过点作于，∴米，∵在中，米，， ∴，∴米， ∵在中，米，，∴， ∴米，∴米， ∴点到地面的距离为米，故选：． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【详解】解：在中，，， ，， 在中，，，， 则，答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 6．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）∵，∴如图， 设，则，由勾股定理得，，∴， 又∵，∴，∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵，∴，∴． ∵四边形是矩形，点O是中点，∴，， 又∵，∴，在中，设，， 由勾股定理得，，∴． 又∵，∴，∴，∴， ∴截面的面积为：． 7．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）；(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为，． 在中，，． 在中，，． ．得．答：线段的长约为． （2）在中，， ． ．答：桥塔的高度约为． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为 【详解】解：由已知，，在图1中， ∵∴∴四边形是平行四边形，∴ 在中，；在图2中，过点作于点， ∴ ∵灯柱高，点到桌面的距离为 答：此时台灯最高点到桌面的距离为． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】这座宝塔的高度为46.8米 【详解】解：过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C， 则，，，． 设，则，在中，， ，，．                      ，，，，即，                     解得：，则．答：这座宝塔的高度为46.8米． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）；(2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 【答案】(1)(2)小刚先到学校，理由见解析 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，， ∴，∴，∴小明家到学校的距离约为； （2）小刚先到学校，理由如下：过A作于N， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴， ∵小明到学校用的时间是（分钟），小刚到学校用的时间是（分钟）， ∴小刚先到学校． 11．（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为(2)明明从C处到D处的距离约为 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴，∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵，∴是等腰直角三角形，∴，设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴，∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 12．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离；(2)求慈氏塔的高度． 【答案】(1)(2)慈氏塔的高度为 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，，； （2）解：过点D作，交延长线于点H， ，，， 设，则，在中， ，，解得：，， ，四边形是矩形， ，，答：慈氏塔的高度为． 13．（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中，，，． 在中，，，， ∴，． 答：水平距离的长为． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？(2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 【答案】(1)2.9厘米(2)能；理由见解析 【详解】（1）解：过C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在中，，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴小帅最少需要下蹲厘米才能被识别； （2）解：如图3，过B作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P， 在中，，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴小美踮起脚尖后头顶的高度为， ∴小美头顶超出点N的高度为：，∴踮起脚尖小美能被识别． 15．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） (1)求的长；（精确到个位）；(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 【答案】(1)长约1092米；(2)小华先到景点处，理由见解析． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 米，米， ，米，米， （米）．长约1092米． （2）解：小华先到达景点D处，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ，米，米，，米， 景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向． （米），，在中，，， （米），（米），（米）， 小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟，小明的游览时间为（分钟）， 在中，米，，（米）， 小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟，小华的游览时间为（分钟）， 小华的游览时间更短，先到达景点D处． 16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】(1) (2)飞船从处到处的平均速度约为 【详解】（1）解：在中，，，，， （2）在中，，，，， 在中，，， ，，， 飞船从处到处的平均速度． 17.（24-25·湖南·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米． （参考数据：）    (1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米） (2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米） 【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米；(2)对面B栋楼的高度约为米． 【详解】（1）解：过点P作，交的延长线于点E，       由题意得：，， ∵是的一个外角，∴， ∴，∴米， 在中，（米）， ∴米，∴A、B两栋楼的楼间距约为米； （2）解：如图：由题意得：米，米，， 在中，，∴（米）， ∴（米），∴对面B栋楼的高度约为米． 18．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    【答案】河流的宽度约为64米 【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．    ∴， ∵∴ 在中，∴，∴∴ 在中，， ∴，∴，∴ ∴米 答：河流的宽度约为64米． 19．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【详解】解：过作，垂足为， ∵，，∴四边形是矩形，∴，． ∵的长为，高为，∴． ∴在中，()． ∵，，∴．∴． ∴设．∴，．∴． ∵，，∴．∴．∴． 即信号塔的高为．∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 20．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    【答案】的长为米 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，    ∵在中，，，， ∴，∵四边形为矩形，∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，，设，则， 在中，，∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴，∴，∴的长为米． 21．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）    【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知，，， （2），，∴， ，，， ，，， 在中，． 22．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．    (1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，） 【答案】(1)(2)树的高度为5.25米 【详解】（1）如图1；；       （2）如图，过点作，垂足为，则米．设米． 在中，（米），在中，（米）， （米），解得． 答：树的高度为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09. 解直角三角形重要模型之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.背靠背模型 4 模型2.母子模型 7 模型3.拥抱模型 12 15 解直角三角形在实际应用中的模型不仅具有严谨的数学逻辑，还蕴含许多有趣的工程故事与历史背景。 1）古埃及人测量金字塔高度时，利用日影长度与木桩构造直角三角形，通过相似三角形原理计算高度，堪称最早的“背靠背模型”实践‌。现代无人机航测中，该模型通过双观测点仰角数据，将不可达高度转化为三角函数关系，误差可控制在厘米级。 2）山区修建拦水坝时，工程师通过坡面铅直高度与水平宽度的比例关系，建立母子三角形同步推导坝体参数。某案例中，仅用两个观测点的数据便精准计算出倾斜角度，节省了30%的勘测成本。‌ 解直角三角形中的实际应用模型源于实际问题抽象为几何结构，培养数学建模能力，其思想在工程测绘、建筑设计中具有重要实践意义，并为中考动态几何题提供系统化框架‌。 （2025·山东济南·中考真题）某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架，都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点B，C，F，E在同一条直线上）。(1)求两滑梯的高度差；(2)两滑梯的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） （2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 1）背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 2）母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 3）拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 模型1.背靠背模型 例1（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）． 例2（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 例3（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 例4（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，） 模型2.母子模型 例1（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．(1)求的长；(2)若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 例2（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 例3（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 例4（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东方向上，E在A的东北方向上，C，D相距，E在的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）      例5（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 例6（2024·湖南长沙·模拟预测）奇山秀水聚宝盆——湖南首届旅游大会在张家界召开．如图①为某景区山地剖面图，为给游客提供更好的游览体验，拟在山上修建观光索道．如图②所示为索道的设计示意图，以山顶为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山脚处，中途观光平台为，且与平行．索道与水平线的夹角为，与水平线夹角为，、两处的水平距离为，，垂足为点．（参考数据：，，，） (1)求索道的长（结果精确到0.）；(2)求水平距离的长（结果精确到0.）． 模型3.拥抱模型 例1（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 例2（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，）(1)的高度为______，的长为______；(2)求“美”字的高度． 例3（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 1．（2024·河北保定·一模）如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 6．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 7．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）；(2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 8．（2024·四川遂宁·中考真题）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（） 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，） 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）；(2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 11．（24-25九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离． 12．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离；(2)求慈氏塔的高度． 13．（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？(2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 15．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） (1)求的长；（精确到个位）；(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． (1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)    17.（24-25·湖南·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米． （参考数据：）    (1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米） (2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米） 18．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    19．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 20．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    21．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）    22．（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．    (1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $