专题08 解直角三角形之新定义模型 （几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题08.解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB；在中， ,.根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，。 例2（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 例3（2025·山东青岛·三模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 例4（24-25·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）．    (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长． 例5（24-25·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 例6（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 例7（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 例8（24-25九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 例9（2025·湖南·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 1．（24-25·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2020·四川广元·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级下·湖北·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列说法正确的有(    ) ①sinA＞cosA　②sin2A＋cos2A＝1　③tanA·tanB＝1　④tanA＝ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4．（24-25·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 5．（2025·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 7．（2025·江苏苏州·校考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ． 8．（2024·湖南娄底·校考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 9．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在中，，的正对记作．若为锐角，，则 ． 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）①sin2A+cos2A= ，②tanA•cotA= ． 11．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ，， ．利用这些公式求出下列三角函数值．(1)(2) 12．（24-25·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）科普书上和（差）角正切公式为，根据公式求. 13．（24-25九年级上·湖北·周测）若的三边长分别为,根据三角形面积公式（h为边a上的高）及正弦三角函数的定义，我们很容易得到； (1)根据上述想法，试证明正弦定理； (2)若外接圆的半径为R，试用含R的代数式表示出上述正弦定理的比值结果 (3)若上述问题中运用所得结论，求的面积 14．（2025·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：====== 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据） 15．（24-25河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式． 【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为米，米，米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理由． 16．（24-25·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 17．（24-25江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 18．（24-25湖北·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理： 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2． 解：S△DEF=EF×DFsin∠F= ； DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ． （2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4． 19．（24-25江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，， （1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论． （3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明． 20．（24-25·山东济宁·九年级统考期末）【阅读材料】某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式： ， ， ，， 【理解应用】请你利用以上信息求下列各式的值：（1）；（2） 【拓展应用】（3）为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是3丈，两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和在同一平面内，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角75°，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角30°，山峰的高度即的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：）    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 17 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，，∴， 即，∴； 故答案为：，，，； （2）解：，， 由（1）知：，，， ，，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径，， 在中，，∴， 在中，，  ∴， ∴ ，同理，在中，， 在中，可得，， ∴； （4）解：过O作，连接，， ，，，， ，，在中，，， ，当时，最小，此时也最小， 过A作于，在中，， ，，长度的最小值是，故答案为：． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB；在中， ,.根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，。 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】(1)证明：如图2，过点作于点，在中，， 在中，，，； (2)解：如图3，过点作于点，，，， 在中， 又，即，，． 例2（2022·湖南湘西·统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍． 用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC 现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得， BC2＝AB2＋AC2﹣2AB•AC•cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，故答案为：． 例3（2025·山东青岛·三模）【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 【性质探究】探究一：如图1，在中，，，，， ∵，∴，∴，∴，      探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含a、b、代数式表示），写出探究过程． 探究三：中，，，，求的面积（用a、b、表示）写出探究过程． 【性质应用】（1）如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用a、b、表示）写出解题过程． （2）如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用a、b、c、d、、表示），其中，，，，，． 【答案】探究二：，见解析；探究三：，见解析；（1），见解析；（2） 【详解】解：探究二：如图2中，作于H，              ∵，，，∴， 在中，，∴，∴，∴； 探究三：如图3中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（1）：如图4中，作于H， 在中，，∴，∴∴； 性质应用（2）：连接，由探究三的结论可得：， 则，∴． 例4（24-25·四川泸州·八年级校考期中）平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）．    (1)一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积； (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长． 【答案】(1)(2)的面积为84；边上得高的长为12 【详解】（1）解：， 由海伦公式可得； 由秦九昭公式可得． （2）解：设，则，，，， ，解得；∴ ∴．∴． 例5（24-25·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 【答案】(1)(2)84米(3)飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为 【详解】（1）解： ； （2）解：如图，延长交于点，∵，米， ∴米， ∵，米∴、垂直距离为ED=米， ∴米．答：建筑物的高为84米． （3）解：延长交于点，作交于点，并使， ∴米，由（2）得、垂直距离米， ∵，， ∴，∴米，∴米． 答：飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为． 例6（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析(2)；；证明见解析 【详解】（1）解：，，，，，， 规律：对于任意锐角有，故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，，． （2）解：，，， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图，，，．故答案为：，，，． 例7（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题： 图1            图2              备用图 (1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________； (3)如图2，已知，其中为锐角，求的值； 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为， ∴此时该三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图2，过点作于点．． 图2 在中，，设，则．． ，．在中，利用勾股定理得，． 在等腰中，． 例8（24-25九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为；； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为． 例9（2025·湖南·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【详解】（1）解：∵，∴点在第四象限，∴， ∵，∴， ∴取取正值的是；故答案为： （2）解：如图1中，    ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或；故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．    由题意， ，∴， ∴，∴； （4）解：根据题意得：， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． 1．（24-25·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 2．（2020·四川广元·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：（1），故此结论正确； （2），故此结论正确； （3） 故此结论正确； （4）==， 故此结论错误.故选：C． 3．（24-25九年级下·湖北·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列说法正确的有(    ) ①sinA＞cosA　②sin2A＋cos2A＝1　③tanA·tanB＝1　④tanA＝ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】∵∠C=90°，∴，已知中不知BC与AC在大小关系，故①错误； ，故②正确；，故③正确； ，故④正确，故选B. 4．（24-25·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 5．（2025·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7， 则面积是：S=，故选A. 6．（2025·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 7．（2025·江苏苏州·校考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作，垂足为H，在中，，即， 在中，，即，所以．故答案为． 8．（2024·湖南娄底·校考一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny． 据此判断下列等式成立的是 写出所有正确的序号 ①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny． 【答案】②③ 【详解】解：①cos（−60°）＝cos60°＝，原等式不成立； ②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝ ，原等式成立； ③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx⋅cosx，原等式成立； ④sin（x−y）＝sin[x+（−y）]＝sinx⋅cos(−y) ＋cosx⋅sin(−y)＝sinx⋅cosy−cosx⋅siny，原等式不成立． 故答案为：②③． 9．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在中，，的正对记作．若为锐角，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：在中，过点B作，垂足为D， ∵，设为，为，则， 则，则， 则sad=，故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）①sin2A+cos2A= ，②tanA•cotA= ． 【答案】 1 1 【详解】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为， 则sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，， ∴（1）sin2A+cos2A=； （2）tanA•cotA=. 11．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式： ，， ．利用这些公式求出下列三角函数值．(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（24-25·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）科普书上和（差）角正切公式为，根据公式求. 【答案】 【详解】解：，设，， 代入差角正切公式： 13．（24-25九年级上·湖北·周测）若的三边长分别为,根据三角形面积公式（h为边a上的高）及正弦三角函数的定义，我们很容易得到； (1)根据上述想法，试证明正弦定理； (2)若外接圆的半径为R，试用含R的代数式表示出上述正弦定理的比值结果 (3)若上述问题中运用所得结论，求的面积 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 每项都除以，得，故 （2）作直径，连接，如图， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； （3）∵∴，∵, ,∴, ∵∴． 14．（2025·贵州·中考模拟预测）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：====== 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据） 【答案】（1）．（2）27.7米 【详解】（1）=====． （2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴∠DBE=15°． ∴． ∴AB="AE+BE=1.62+" （米）．答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米 15．（24-25河南南阳·九年级统考阶段练习）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，即p为的周长的一半，则（表示的面积），把这个公式称为海伦公式． 【思考应用】某中学准备开辟一块面积为5平方米的空地作为劳动实践用地，现有一块三角形空地，它的三边长分别为米，米，米，那么这块三角形空地能否满足学校的需求，请通过计算说明理由． 【答案】这块三角形空地不能满足学校的需求．理由见解析 【详解】分析题意，首先利用给出的条件和公式，求得p的值，然后利用及求得的的值，将它们代入到海伦公式进行计算即可 不能，理由如下：∵，，，∴， ∴（平方米）． ∵， ∴这块三角形空地不能满足学校的需求． 16．（24-25·浙江杭州·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，并解决问题． 如图（1），在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD⊥BC于点D，则，，即AD＝csinB，AD＝bsinC．于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素． （1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号） 【答案】（1）海里；（2） 【详解】解：（1）由题意得：，，海里， ∴，过点B作BM⊥AC于M， ∵，∴海里 在Rt△ABM中，∠A=45°，， ∵，即海里，在Rt△BMC中，∠BCM=60°，BC=40海里， ∴∠MBC=30°，∴海里，∴海里 （2）∵，∴海里 ∵，∴，∴． 17．（24-25江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 【答案】（1）；（2）①，② 【详解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ （2）过点作于，过作于，过作于，如图 是等边三角形 ， ② tan（α+β） 18．（24-25湖北·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理： 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2． 解：S△DEF=EF×DFsin∠F= ； DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ． （2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4． 【答案】（1），49；（2）证明见解析． 【详解】（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=， DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为，49； （2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab．∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4． 19．（24-25江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，， （1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论． （3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）由余弦定理可得，故答案为：； （2）如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∴，， ∴，在直角三角形BDC中，， ∴ ，∴； （3）如图所示，连接AG并延长，分别与BC交于D，连接AI并延长交延长交BC于E，交圆O于F，连接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，FO，∵G是重心，∴， ∵GI∥BC，∴△AGI∽△ADE∴，∴，则， ∴，∴，，∴， 设三角形ABC内切圆半径为r，∴，∴ 如图2所示，四边形ABCD为圆O内的内接四边形，现在证明，在BD上取一点P使得，∵，， ∴，∴，即① ∵，∴， 又∵，∴，∴即②， ∴①+②得； ∴如图1所示，，∵I是内心，∴，∠ABI=∠CBI，∴， ∴，∴，即AF=2BF， ∵∠BIF=∠BAF+∠ABI，∠FBI=∠CBI+∠CBF=∠CBI+∠CAF=∠CBI+∠BAF， ∴∠BIF=∠FBI，∴FB=FI，∴AF=2FI，又∵OA=OF，∴OI⊥AI． 20．（24-25·山东济宁·九年级统考期末）【阅读材料】某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式： ， ， ，， 【理解应用】请你利用以上信息求下列各式的值：（1）；（2） 【拓展应用】（3）为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是3丈，两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和在同一平面内，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角75°，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角30°，山峰的高度即的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：）    【答案】（1）；（2）；（3）山峰的高度即的长大约是719步 【详解】解：（1） （2） （3）连接，返向延长交于点，则，步，    在中，同理： ∵ ∴ ∴解得：（步）∴（步） 答：山峰的高度即的长大约是719步. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $