精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高三上学期第一次段考数学试题

丰城九中2025-2026学年高三上学期段考一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，根据交集的定义求即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化解即可得解. 【详解】由，得， 又，所以， 故，所以． 故选：C． 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用分段函数求函数值即可. 【详解】. 故选：A. 4. 设函数的定义域为A，函数的值域为B，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，换元法求出值域，由于是的真子集，从而得到“”是“”的充分不必要条件. 【详解】，等价于，解得，故， 中，令，故， 则， 因为，故， 所以， 是的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先利用切化弦的思想将、都进行切化弦的处理，然后利用两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为，所以，即 又 所以 所以， 故选：C 6. 若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有唯一极值点，知有唯一正根，即有唯一正根，再对二次函数分类讨论即可. 【详解】，定义域为， ，且， 因为函数有唯一极值点，所以有唯一正根. 若，则在定义域内单调，不存在极值点，舍去； 若，即时，则必有一正一负两个根， 根据韦达定理得，所以. 故选：. 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中的假命题是（ ） A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BCD. 【详解】对于A，命题“，”的否定是：，，A正确； 对于B，取，满足，而，则“”不是“”充分条件，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，当时，，D错误. 故选：BCD 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得的表达式，即可利用整体法，结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知， 故，故A错误， 对于B，，故是的一个对称中心，B正确， 对于C,当时，，故函数在上单调递增，C正确， 对于D, 当，则，故，故，D错误， 故选：BC 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在的所有零点之和为 C. 存在，使得 D. 任意，存在，使得在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性定义可判断A项；根据函数的零点定义求出函数在给定区间上的零点再求和即可判断B项；将结论等价转化为，分和两个区间，构造函数，利用求导判断其单调性，再借助于偶函数特征即可推出C项正确；通过对函数求导，选定区间，，判断函数单调性，再考虑的取值，即可判断D项正确. 【详解】对于A，由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，故A错误； 对于B，令，因，则，即，， 故在区间内的所有零点之和为，故B正确； 对于C，由题可得，因此可化为①， 当时，因，，则①式等价于， 令，，则， 取，则有， 故在上单调递增，，即①式成立； 当时，仍取，则有，故①式成立， 综上，存在使得在上，均有， 又由为偶函数，可知在上，也有，故C正确； 对于D，对求导得， 当时，，，取区间，， 当时，，则在时单调递减，又，， 则当k足够大时，对任意，存在，使得在上单调递减，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】由， 得. 故答案为： 13. 函数的值域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域． 【详解】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程. （2）对函数求导，根据定义域确定函数的单调性，从而确定极值点和极值. 【小问1详解】 因为，所以. 所以切线斜率为，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，则，求得. 因为，当时，；当时，； 所以函数在单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值为. 所以函数的极大值为，无极小值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性． 【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据是上的奇函数即可得出，再根据即可求出，从而得出； （2），从而可以看出在上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的，然后作差，通分，提取公因式，得出，根据说明即可得出在上单调递减． 【详解】解：（1）∵是上的奇函数， ∴，且， ∴，解得， ∴； （2）在上单调递减，证明如下： 设，则， ∵， ∴，，且， ∴， ∴， ∴在上单调递减． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，求函数解析式，定义法证明函数的单调性，属于简单题． 17. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【小问1详解】 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. 【小问2详解】 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）当时，证明：； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而判断函数的单调性，即可求解最值； （2）由（1）可知，，则，，令，利用导函数研究单调性，则有，即，即可证明； （3）设，则在上恒成立，由得，，转化为证明当时，在上恒成立，令，分和两种情况，利用导数研究其单调性，求解最值即可证明. 【小问1详解】 当时，的定义域为，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，故的最大值为； 【小问2详解】 由（1）可知，，即，所以，， 令，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以在上单调递增， 因此，即，所以，， 则，，故时，； 【小问3详解】 ，不等式恒成立， 设， 则在上恒成立，由得，， 下面证明当时，在上恒成立. 当时，， 令，则， 当时，，则， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减； 所以成立，即在上恒成立， 当时，因为，， 所以，所以在上单调递增， 则，即在上恒成立； 综上可知，若，不等式恒成立， 则实数的取值范围为. 19. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点. （1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； （2）证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）， 则 ， 即为定值0. 【解析】 【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明. 【小问1详解】 由振幅为2，，可得，， 由噪声声波曲线经过点，得， 而，， 则，则， 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年高三上学期段考一数学试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 设函数的定义域为A，函数的值域为B，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12 6. 若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中的假命题是（ ） A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在的所有零点之和为 C. 存在，使得 D. 任意，存在，使得在上单调递减 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则______． 13. 函数的值域是_____． 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 三、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性． 17. 已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）当时，证明：； （3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点. （1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； （2）证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $