专题12 几何最值模型之将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.几何最值模型之将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度）。(1)请在图中作出关于直线l成轴对称的 (2)在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称，∴，∴， 此时取得最小值，最小值为的长，则点即为所作． 例2（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ， 则，，∴， ∴的值最小为的值，且，∵是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在三角形中，，，点在边上，，，是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点C关于的对称点，连接交于P，连接．如图， 此时的值最小．，，， ∵，，∴ 连接， ∵点C关于的对称点，∴，，∴ 根据勾股定理可得．即的最小值为．故答案为：． 例4（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】①则线段长度是______；②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是_；②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是_． (3)【拓展延伸】①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）解：①∵，∴；故答案为：； ②点， 点 ，∴；故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点，∴最大为的长， ∵，∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，为：的长， ∵，∴，∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ，∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 例5（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，点是的中点，连接，分别是，上的动点，已知，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】解：∵，点是的中点，∴平分， 将关于对称至，则点落在线段上，过C作于点F， M，N分别是上的动点，∴最小值为垂线段的值， ，，，则，的最小值为．故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    【答案】6 【详解】解：∵的垂直平分线交于点N，交于点M，∴， ∵的周长是16，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，，，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为6，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：6． 例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，，此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时，∴． ∵，，∴，由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为：90 例3（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，，，设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 直线的解析式为，当时，，，故选：A． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ∵，∴，∵， ∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则， 连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴∴的最大值为，故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（25-26八年级上·江苏·期中）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小．连接，，，． ∵点P与点C关于对称，∴垂直平分，∴，，， 同理，可得，，． ∴，，∴． 又∵的周长，∴， ∴是等边三角形，∴，∴．故选：A． 例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【详解】如图，作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，连接， 由对称性可知，，的周长为， 当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，为的长． ，，， ，，， 又，是等边三角形，，当时，最短，此时的周长最小， 由，得，解得，的周长最小值为．故答案为：． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且，∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为，故选：B． 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3(2)3(3)5 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，， ∴，∴∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高 ∴，∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高，∴平分，， ∴，，∴，∴，故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E，∴． ∵点P关于的对称点为D，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴．∴．∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为∴． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形的边在轴上，顶点，关于轴对称，、分别是、上的动点，若，，，则的最小值是 ．    【答案】7 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，    ∴，∴， 当点四点共线时，的值最小，即的值最小， ∵是等边三角形，，，，， ∴，，，， 根据对称可得，，， ∴，，， ∴， ∵轴，∴在中，，∴，， ∴，同理，，，∴，∴， ∵点四点共线，轴，轴，且， ∴，∴的最小值是，故答案为：． 例2（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D．3 【答案】B 【详解】解：如图，作关于的对称直线，取A在其对称直线上的对称点为，则，作关于的对称直线，连接交于M点，延长交于点，设在上的对称点为N，则，故， 由于A为定点，则也为定点，故当垂直于时，的长最短，即此时取得最小值，因为直线和与轴相交所成的锐角分别为，， 所以，则， 故，而A坐标为，故， 而，所以， 即长度的最小值为，故选：B． 例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴，∴，由对称性可得，， 由勾股定理得，，∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小， 即的最小值为13．故答案为：13. 1．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ，，此时的周长最小， 过点作于点，，， ，，， ，，周长的最小值是，故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【详解】作点关于的对称点，连接、，则， ∵，∴，∴，∴是等边三角形， 连接、、，则，∴， ∴当、、在同一直线上，且时，则最小值为的长， 此时，为中点，故与重合，∵，∴， 在中，， ∴最小值为．故答案为：．故选：D． 3．（24-25山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 【解答】B 【解析】∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC， 又∵＝BM＋MC＋BC＝20，BM＋MA＝AB＝12，∴BC＝20－12＝8， 在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC， ∴PA－PB＝PC－PB，在△PBC中PC－PB＜BC 当P、B、C共线时（PC－PB）有最大值，此时PC－PB＝BC＝8，故选B. 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，∴，，， ∵，∴， ∴，∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6，故选C． 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，连接，如图所示： ∵点关于的对称点为，关于的对称点为∴ ∵点关于的对称点为∴∴ ∵周长的最小值是4∴∴即 ∴，即是等边三角形∴∴．故选：B． 6．（24-25八年级·重庆·培优）在直角坐标系中，已知点及动点，当四边形周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D．非以上答案 【答案】A 【详解】解：∵为定长，∴当最小时，四边形周长最小 作点A关于x轴的对称点，作点B关于y轴的对称点，连交y轴于点C，交x轴于点D．如图所示：    ∵∴此时四边形周长最小， 设的解析式为：，则解得：∴的解析式为， 令得；令得；则，故．故选：A 7．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、； 由轴对称图形的性质可知：，， ∴即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形，∴， ∴∴是等边三角形∴ 即：的最大值为故答案为： 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）小明从A点出发，走到水平直线上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； 则， ∴，过点B作于点C，则， ∴，∴，∴最小值．故答案为：． 9．（24-25福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 【答案】15°##15度 【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD， ∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°， ∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形， ∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°． 10．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    【答案】/90度 【详解】∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，    ∴，即：此时，取得最小值， ∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵是等边三角形的角平分线，∴点A关于对称点是B点，过B作交于一点即为P点，此时的值最小等于，，， ∵∴，∵，是等边三角形， ∴，，∴，∴，故答案为：；    【点睛】本题考查轴对称最短距离和问题及垂线段最短，解题的关键是根据轴对称找到最短距离点． 12．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是等腰三角形，点是边的中点，∴，， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，∴点关于直线的对称点为点，∴的长为的最小值， ∴的周长最短，故答案为：． 13．（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 【答案】10 【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．∵△CFE的面积为8，即EC⋅FH=8，CE=8，∴FH=2， 过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A−F'C'|的值最大，即|FA−FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ， ∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE−EK=10−4=6， ∴AC'=，∴|FA−FC|的最大值为10．故答案为10． 14．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵，∴由勾股定理得，， 作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，连接，，则，，，，， ，∴， 过作，，，， ，，的周长为， 当、、、四点共线时，的周长最小，为，即为，故答案为：． 15．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图， ∵点关于轴的对称点，∴，， ∵A点关于直线的对称点，，∴，， ∴，此时，值最小，最小值， ∵，，∴．∴最小值为．故答案为：． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求： (1)画出点N关于的对称点； (2)当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 【答案】(1)图见解析(2)的最小值是 【详解】（1）解：如图所示：点即为所求， （2）解：作，当与E重合时，取得最小值 由轴对称可知：，∴． ∵∴即： ∴即的最小值是． 17．（2024·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大． 【答案】（1）见解析；B1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连结，则△为所求， 点，关于y轴对称，横坐标符号改变B1（2，0），如图；B1（2，0）； （2）连结AC1，交y轴于点P，两用两点之交线段最短知AC1最短， 则PA+PC=PA+PC1=AC1，则点P为所求，如图； （3）延长C1B1交y轴于M，利用两边之差小于第三边，最大=C1B1，如图． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式的最小值；(3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F， 由题意得，，，∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则，代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，，∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，，∴为等边三角形， ∴的最小值为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.几何最值模型之将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．（图中每个方格的边长均为个单位长度）。(1)请在图中作出关于直线l成轴对称的 (2)在直线上找一点，使得最小．（保留必要的作图痕迹） 例2（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在三角形中，，，点在边上，，，是上的动点，则的最小值为 ． 例4（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】①则线段长度是______；②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是_；②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是_． (3)【拓展延伸】①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 例5（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，点是的中点，连接，分别是，上的动点，已知，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 例3（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（25-26八年级上·江苏·期中）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 例3（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形的边在轴上，顶点，关于轴对称，、分别是、上的动点，若，，，则的最小值是 ．    例2（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，已知直线和与轴相交所成的锐角分别为，，点A坐标为，点为直线上的一个动点，、为直线上的两个动点，则长度的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D．3 例3（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 1．（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 3．（24-25山东八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20，若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 2 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级·重庆·培优）在直角坐标系中，已知点及动点，当四边形周长最小时，的值为（　　） A． B． C． D．非以上答案 7．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为 ． 8．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）小明从A点出发，走到水平直线上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为 ． 9．（24-25福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 10．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．    11．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，等边中，点是边的点，的平分线交边于点，，点是线段上的任意一点，连接，则的最小值为 ．    12．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，等腰底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一个动点，则周长的最小值为 ． 13．（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___． 14．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ． 15．（24-25九年级下·上海·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 16．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求：(1)画出点N关于的对称点；(2)当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值． 17．（2024·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ；(2)代数应用：求代数式的最小值；(3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $