专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 例6（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 例7（22-23七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 例9（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1．（24-25·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 4．（24-25·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（24-25·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 6．（24-25·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 7．（24-25·北京西城·七年级校考开学考试）如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 8．（24-25·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    9．（24-25·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，已知，在的外部画，然后分别画出与的平分线和． (1)下面的两个图形都符合题意．其中，图①中______度；图②中______度． (2)若，且当时，求；当时，______． 10．（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知，． (1)如图1，若，在的左侧，则_____________； (2)如图2，平分，平分，求． 11．（24-25辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，射线在的内部，已知（），与分别是和的平分线． (1)当时，求的度数；(2)当时，则的度数为__________； (3)继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：__________． 12．（24-25··陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分。(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示）；(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 13．（24-25江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 14．（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 15．（24-25·七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 16．（24-25··江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 17．（24-25·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 18．（24-25·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，平分，平分，若，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，， ∴， 设，则，∴，解得：， ∴，故选：A． 例2（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴，∴．故选：C． 例3（24-25·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， 平分，平分，，， ．故选：D． 例4（24-25七年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 【答案】/90度 【详解】解：∵分别是的角平分线，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，， 分别是的平分线，， ；故答案为： （2）解：，分别是的平分线， ，，； （3）解：，， 分别是的平分线，， ，． 例6（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：在的外部时， ，ON分别平分，，，， ； 在的内部时，此时B与N重合， ，ON分别平分、，，， ；因此的度数为或．故选D． 例7（22-23七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或，∴， ∴的度数为或．故选：C． 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 例9（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∴，则．故答案为：． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 1．（24-25·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平分，平分，，， ， ，，，故选：A． 2．（24-25·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．∵是的平分线，∴． ∵是的平分线，∴，∴，故A正确； B．∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，即，故B不正确； C．由B知，，即，故C不正确； D．，故D不正确；故选A． 3．（24-25·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平分，， ，，， ，，故选：C． 4．（24-25·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴，∴的度数为或．故选：C． 5．（24-25·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴∴； 综上所述，或，故答案为：或． 6．（24-25·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 【答案】 120 【详解】解：①，，， ，平分，平分， ，，， ，故答案为120； ②，，， ， ，故答案为： 7．（24-25·北京西城·七年级校考开学考试）如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解： ，OB是的三等分线， OC分别是的三等分线， 故答案为： 8．（24-25·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【详解】解：设，，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：，故答案为：． 9．（24-25·吉林长春·七年级校考开学考试）如图，已知，在的外部画，然后分别画出与的平分线和． (1)下面的两个图形都符合题意．其中，图①中______度；图②中______度． (2)若，且当时，求；当时，______． 【答案】(1)图①；图② (2)当时，；当时， 【详解】（1）两个图形都符合题意，对于图①有， ， ，，； 对于图②有， ，． （2）当时（如图①），，， 平分，平分，， ，，； 当时（如图②）， ，平分，平分， ， ． 10．（24-25·湖北武汉·七年级统考期末）已知，． (1)如图1，若，在的左侧，则_____________； (2)如图2，平分，平分，求． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：当在左侧时； ∵，，∴， ∵，∴， 当在右侧时；∵，，∴， ∵，∴，故答案为：或； （2）设，∵，，， ∴， ∵平分，∴， ∴， ∵平分，∴， ∴． 11．（24-25辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，射线在的内部，已知（），与分别是和的平分线． (1)当时，求的度数；(2)当时，则的度数为__________； (3)继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是：__________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵，，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴； （2）∵，，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴；故答案为：； （3）∵，∴， ∵与分别是和的平分线，∴， ∴，故答案为：． 12．（24-25··陕西榆林·七年级统考期末）如图，已知内有三条射线，其中平分角，平分 (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数；（用含的代数式表示）；(3)若将题中的“平分”的条件改为“，，且”，其他条件不变，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，∴； （2）由（1）可知，； （3）∵，∴， ∴． 13．（24-25江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 14．（24-25·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：，，， 是的平分线，， ；答：的度数为． （2）解：是的平分线．， 是的平分线，， ，，答：的度数为． （3）解：由（2）得 ，， 又， ，， ，，，， 当，，； 当，， 15．（24-25·七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵是的三等分线，∴， ∴，∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”，∴，∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”，∴，∴ 综上所述，的度数为或． 16．（24-25··江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 17．（24-25·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）∵是的平分线， ∴，∴． ∵， ∴，∴，∴． （2），设，则， ∵，∴， ∴，∴． 18．（24-25·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3) 【详解】（1）如图1，，在内部， ，，， ，； （2）；理由如下：如图2， ，射线、分别在内、外部， ，， ，； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，，， ，； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则，， ，，， ， ， .综合①②得． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $