专题11 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题11.等腰三角形中重要模型-等直内接等直模型与等直+角分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 19 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，则四边形的面积与等腰直角的面积的比值为 ． 例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在等腰直角中，，是边上的中点，点、分别在、边上，且，交于，下列结论：①②③④⑤的面积是四边形面积的倍．其中正确的个数有（    ）    A． B． C． D． 例3（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例5（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，等腰中，，，于点D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，的延长线交BC于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④；⑤，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)求证：；(2)判断的数量关系，并说明理由；(3)若，求的长． 例4（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点E在线段上运动．①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在等腰直角中，，，点F为AB中点，点D、E分别在边AC、CB上运动，且始终保持，在此运动变化过程中，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积始终保持不变；其中正确结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①；②；③是等腰直角三角形；④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点、分别在边、上，且，则下列说法：①；②是等腰直角三角形；③周长的最小值是；④四边形的面积是一个定值．其中正确的序号是（    ）    A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 4．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，以下结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图所示放置，已知中，，，将另一个三角板的直角顶点放在的中点处，两条直角边分别交、于点、．当另一个三角板在内绕点旋转时（点不与A、重合）给出以下结论：①；②的最小值为1；③；④；⑤，上述结论始终正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），以下五个结论正确的个数是（    ） ①；②；③是等腰直角三角形；④四边形面积等于三角形面积一半． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于、、，交的延长线于，连接、，则下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（    ） A．5个 B．2个 C．4个 D．3个 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰中，于D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接；下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有 ． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 15．（2024八年级·广东·培优）如图，是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，作，连接交于点．求证：． 16．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）在等腰直角三角形中，，于点D，点E是平面内任意一点，连接，如图1，当点E在边上时，过点D作D交于点F． （1）线段，，之间满足的数量关系是 ．（2）如图2，当点E在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 ． 17．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点上，得到，将绕点旋转，射线，分别与边，交于，两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当，分别是，的中点时，试猜想线段与的数量关系是________，位置关系是________． (2)类比探究：如图3，当，不是，的中点，但满足时，判断形状，并说明理由． (3)拓展应用：①如图4，将绕点继续旋转，射线，分别与，的延长线交于，两点，满足，是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由； ②若在绕点旋转的过程中，射线，分别与直线，交于，两点，满足，若，，则________（用含，的式子表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.等腰三角形中重要模型-等直内接等直模型与等直+角分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 19 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，则四边形的面积与等腰直角的面积的比值为 ． 【答案】 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD，∠DAF=∠B=45°，∴∠ADE+∠BDE=90°， ∵DE⊥DF，∴∠EDA+∠ADF=90°，∴∠ADF=∠BDE，∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∵，∴， ∵，∴四边形的面积与等腰直角的面积的比值为；故答案为． 例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在等腰直角中，，是边上的中点，点、分别在、边上，且，交于，下列结论：①②③④⑤的面积是四边形面积的倍．其中正确的个数有（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰直角中，，是边上的中点， ，，，， ，，， 又，， 在和中，，， （故①正确），，（故③错误）， ，（故②正确）； ，，，（故④错误）； ，， （故⑤正确）．综上所述，正确的结论共有3个．故选C． 例3（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】不作辅助线，观察图中几个三角形，没有全等三角形，∴①错误；连接CF， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵∠C=90°，∠DFE=90°，∴∠AFD+∠DFC=∠DFC+∠CFE=90°，∴∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF； ∴CE=AD，S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC=S△ACB， 即△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍，∴②正确． ∵AC=BC，∠ACB=90°，F为AB中点，∴CF⊥AB，AF=CF=BF，∠A=45°，∠ACF=45°， ∴AF=CF，由勾股定理得：AC=CF=AF，由（2）知△ADF≌△CEF， ∴AC=AD+DC=CE+CD，∴CD+CE=AF，∴③正确； 易证△BEF≌△CDF，∴CD=BE，在Rt△CDE中， ∵CD=BE，AD=CE，∴，∴④正确；综上所述②③④正确，故选：C． 例4（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过O点的射线分别交，AC于点E，F，且，，交于点P，则下面结论：①图形中全等的三角形只有三对；②是等腰直角三角形；③正方形的面积等于四边形面积的4倍；④．其中正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，点O为对角线的中点， ∴， 在和中，，∴； 在和中，，∴；∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴； 同理：，∴，∴全等三角形有4对，∴①不正确； ∵，∴，∴是等腰直角三角形；∴②正确； ∵，∴四边形的面积，∴③正确； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴④正确． ∴正确的选项为：②③④，共3个．故选：D 例5（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 【答案】(1)相等(2)见解析(3)4 【详解】（1）解：相等；∵，D为的中点，，， ∵E，F分别是的中点，∴， ∴，，∴；故答案为：相等； （2）∵，∵D是中点，平分， ，，， 在，； （3）连接，∵四边形是正方形，， 在和中， ， 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，平分，与相交于点，，交延长线于，且垂足为，是边的中点，连接与相交于点，则下列结论①；②；③；④；⑤正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，故①正确； ∵平分，∴，∵， ∴，∴，∴，故②正确，连接， ∵，∴，∴，∵，∴，故③错误； ∵，∴，故④正确；作于M． ∵平分，，∴， ∵，且，∴，故⑤错误， ∴正确的有3个；故选：C． 例2（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，等腰中，，，于点D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，的延长线交BC于点N，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④；⑤，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，， 又∵M为的中点，∴，， ， 在和中，，，故①正确； 在和中，，， ，，故⑤正确； 在和中，，，∴点M是的中点， 又∵，∴，，是等腰三角形，故②正确； ，，， ，平分，故③正确；如图，连接， ∵，，∴垂直平分，∴， ，， 又∵，∴，且， 在中，，∴， ，故④错误，即正确的有4个，故选D． 例3（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)求证：；(2)判断的数量关系，并说明理由；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)3 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵，∴，在和中，，， 又，．，， ∴．． （2）解：由（1）得，∵H是边的中点，∴，∴， ∵平分， ∴，由（1）得，， ∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：连接， ∵，H为中点，∴为的垂直平分线， ，， ，， ，，． 例4（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点E在线段上运动．①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析；(2)①，理由见解析；②证明见解析． 【详解】（1）证明：∵，∴是等腰三角形， ∵于点M，∴，∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下：∵，∴， ∵于点H，∴，∴， ∵，∴， 在和△中，，∴，∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中， ∴，∴， ∵，∴平分． 1．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在等腰直角中，，，点F为AB中点，点D、E分别在边AC、CB上运动，且始终保持，在此运动变化过程中，下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积始终保持不变；其中正确结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】①正确∵，，∴，即①正确； ②正确 由①可知，∴，，且 ∴ ∴是等腰直角三角形，即②正确； ③正确 ∵∴，即③正确； ④正确∵ ∵的面积确定，∴四边形的面积始终保持不变，即④正确；故选：D 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①；②；③是等腰直角三角形；④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】如图，连接．    是等腰直角三角形 ∵点是的中点 同理可得：，结合（已证） ，故①正确．是等腰三角形， 又是直角，是等腰直角三角形，故③正确 过点P分别作，垂足为点M、N．如下图．      ，点是的中点是三角形的两条中位线 ，故④正确． 连接．假定点E与点N不重合． 由，为直角知，四边形是矩形． 又（前面已证）知，四边形是正方形． 则为等腰直角三角形． 由前面已证可知，也是等腰直角三角形．∴． 在直角中，总有：．∴．∴即：． 由四边形是正方形知，，∴． 只有当点E与点N重合时，．故②不正确．综上，正确的有①③④． 3．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，点为的中点，点、分别在边、上，且，则下列说法：①；②是等腰直角三角形；③周长的最小值是；④四边形的面积是一个定值．其中正确的序号是（    ）    A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接，∵，，点为的中点， ∴，，， ∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，   在和中，，∴，∴，故结论①正确；∴， ∵，∴是等腰直角三角形，故结论②正确； ∵，  ∴周长为：， 当取得最小值时，的周长取得最小值， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴当最小时，也最小，即当时，最小，此时， ∴的周长取得最小值：，故结论③正确； ∵，∴，∴， ∵，，点为的中点， ∴，即， ∴四边形的面积是一个定值，故结论④正确；∴正确的序号是①②③④．故选：D．    4．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G，以下结论中： ①是等腰三角形；②；③；④． 正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵平分，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，故②正确； ∵H是边的中点，∴，，∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接，∵， ∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴，故④正确；故选A．    5．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，； 在和中，∴；∴，； ∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此选项正确； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小； 即当时，最小，此时．∴．故此选项错误； ②∵，∴，∴， 当面积最大时，此时的面积最小， ∵，，∴，∴， 此时，故此选项正确； 故正确的有①②，故选：B 6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图所示放置，已知中，，，将另一个三角板的直角顶点放在的中点处，两条直角边分别交、于点、．当另一个三角板在内绕点旋转时（点不与A、重合）给出以下结论：①；②的最小值为1；③；④；⑤，上述结论始终正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：连接，作于点，，，为的中点，， ，，，， ，，， 在和中，，，，，故①正确； ，，于点，，， ，，的最小值为1， 当时，，故②错误； 取的中点，连接、，则，， ，，，故③错误； ，，故④错误； ，，，， ，，故⑤正确，故选：D． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），以下五个结论正确的个数是（    ） ①；②；③是等腰直角三角形；④四边形面积等于三角形面积一半． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵，，P是中点，∴，， ∴和是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，，∴，②正确； ∴，∴，，①正确；∴是等腰直角三角形，③正确； ∵，∴，∴，④正确； 综上，正确的有4个，故选：D． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、、于、、，交的延长线于，连接、，则下列结论：①；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵垂直平分，∴，∴，故①正确； ∵垂直平分，∴，∴， ∵，，，∴，故②正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，即，故③正确； ∵垂直平分，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，即④正确．综上，正确的有4个． 故选：D． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（    ） A．5个 B．2个 C．4个 D．3个 【答案】C 【详解】①，，， 又，，，， 又，，∴是等腰直角三角形，， 在和中，，，．故①正确； ②平分，，，， 在和中，，，，， 又，，即：，故②正确； ③，平分，， ，，，故③正确； ④如图所示，过G作于点M， 为等腰直角斜边BC的中点，，即， 又平分，，，又，， 又，，， ，故④错误； ⑤，，， ，又，， 为等腰三角形，故⑤正确．正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC边的中点，∴DH=CD，∴①正确； ②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，      ∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②错误； ③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD， ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD， 在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正确； ④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°， ∴在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC， ∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正确．所以，正确的结论是①③④，故选：C． 11．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°， ∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角， 而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确， ∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误； 延长CF交AB于H， ∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确； ∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC， ∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB， 即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，等腰中，于D，的平分线分别交于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接；下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解： 平分， 为的中点， 在和中，，故①正确； 在和中，，∴，故②正确；∴， 在和中， 故④正确；∵，∴， 又∵是钝角，∴不是等腰三角形，故③错误；故选：C． 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确结论有 ． 【答案】①②④ 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，，， ，， 在和中，，，，①正确； 在和中，，，， ，，④正确；连接，如图， ∵，， ∴，∴．∵，∴是的垂直平分线，∴， ∵，∴为斜边上的中线，∴，∴为等腰三角形，∴②正确； 若，则，若平分，则是的中位线， ，，不是的中位线，  不能垂直平分，故③错误； 故答案为：①②④． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 【答案】1 【详解】连接CO，如图所示： ∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°， ∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°，∴∠AOD=∠COE， 在△ADO和△COE中 ∴△ADO≌△COE（ASA）， ∴AD=CE，∴CD+CE=CD+AD=AC=1，故答案是：1． 15．（2024八年级·广东·培优）如图，是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，作，连接交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于点， 在和中，，， ，，又，， 在和中，，，，， ，，，． 16．（24-25八年级下·四川成都·开学考试）在等腰直角三角形中，，于点D，点E是平面内任意一点，连接，如图1，当点E在边上时，过点D作D交于点F． （1）线段，，之间满足的数量关系是 ．（2）如图2，当点E在内部时，连接，，若，，，求线段的长为 ． 【答案】 1 【详解】⑴解：结论： ，如图， 连接． ，，， ，， 在与中，，，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，， ∵，∴，在中， ， ，故答案为：； ⑵解：如图， 过点作于， 过点作交于， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 在与中，∴，∴， 在中， ，∴，∵，∴， 在中， ，，∴，故答案为：1. 17．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点上，得到，将绕点旋转，射线，分别与边，交于，两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当，分别是，的中点时，试猜想线段与的数量关系是________，位置关系是________． (2)类比探究：如图3，当，不是，的中点，但满足时，判断形状，并说明理由． (3)拓展应用：①如图4，将绕点继续旋转，射线，分别与，的延长线交于，两点，满足，是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由； ②若在绕点旋转的过程中，射线，分别与直线，交于，两点，满足，若，，则________（用含，的式子表示）． 【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由见详解 (3)①是等腰直角三角形，理由见详解；②或或 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，为的中点，∴，， ∴都是等腰直角三角形，∵，分别是，的中点， ∴，，， ∴，，∴；故答案为，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下：连接，如图所示： ∵，，为的中点，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形； （3）解：①仍然具有（2）中的情况，理由如下：连接，如图所示： ∵，，为的中点，∴，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形； ②由①和（2）可知：在绕点旋转的过程中，始终有， 当，是，上的点，如图3，∵，，∴； 当射线，分别与直线，交于，两点，如图4，∴； 当射线，分别与直线，交于，两点，如图所示：∴ 故答案为或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $