专题07 全等三角形模型之奔驰模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题07.全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，由题意可知，则，，， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， 又∵，，，∴，∴， ∵为等边三角形，∴，∴ ∴，故选：D． 例2（24-25八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】∵ 是等边三角形 ∵将绕点 逆时针旋转得到 即 ∴ 是等边三角形故选：A 例3（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，点是等边内一点，，，．则与的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，是等边三角形， ，作于，则，， ，， 与的面积之和，故选：B． 例4（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，， 将绕点顺时针旋转到的位置，， ，，，， ，是等边三角形，， ，，， ，即是直角三角形，故B正确； 是等边三角形，，故A正确； ，故C正确；是等边三角形，， 是等边三角形，，在中，， 即，故选项D错误．故选：D． 例5（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∴，且，∴，∴结论①正确；如图所示，连接， 根据结论①正确可得，，∴是等边三角形， ∴，∴结论②正确；∴， ∵，∴，且，， ∴，即是直角三角形，， ∴，故结论③正确； ∵是等边三角形，，如图所示，作， ∴，，∴， ∵是直角三角形，，∴， ∴，故结论④错误；综上所述，正确的有①②③，故选：A ． 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    【答案】105° 【详解】解：过点P作PH⊥AB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，    在△APB和△APD中∴△APB≌△APD，∴∠BAP=∠DAP， 由∠BAD=90°，可知∠BAP=∠DAP=45°，∴∠APH=90°-45°=45°，∴PH=AH, ∵PA=1，在中，由勾股定理可得：， ∵PB=，∴∠PBA=30°，∴∠BPH=90°-30°=60°，∴∠APB=∠APH+∠BPH=45°+60°=105°故答案为：105° 例2（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴∴，∴ ∵∴∴故选C． 例3（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）已知：如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：①：②点B到直线的距离为；③；④．⑤．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【详解】解：①，，，又，， 在和中，，；故此选项成立； ③，，，， ，；故此选项成立； ②过B作，交的延长线于F，，，， 又③中，，， 又，，故此选项错误； ④如图，连接，在中，，， 又，，，， ，，在中，， .故此选项不正确.，，故此选项不正确.故答案为：①③. 例4（24-25九年级上·四川广安·期中）阅读下列材料： 【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求的度数； 【解决问题】如图2，将．．绕点逆时针旋转得到，连接，可得等边，则，且，又由可得且，所以； 【类比问题】（1）如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； 【探索问题】（2）如图4，在正六边形内有一点且，，，则______； 【答案】解决问题：见详解；（1）；（2） 【详解】解决问题：解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、， ，， ∴是等边三角形，， ，∴是直角三角形，， ，． （1）解：将绕点逆时针旋转，得到了，连接． 由旋转的性质可得， ， ，， ，． （2）∵六边形是正六边形，，， 如图所示，将绕点逆时针旋转120度得到， ，， 过点作于点，，， ，， ，， ，． 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形，∴，， 可将绕点顺时针旋转得，连，如下图， ∴，，，，∴为等边三角形，∴， 在中，，，，∴，∴为直角三角形，且， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：把绕点C顺时针旋转得，连接，如图： 由旋转的性质得：，，，则为等边三角形， ∵，∴，∴， ，∴．故选A． 例3（24-25·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    【答案】 【详解】解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：    则，，∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∵，∴， 又，，∴．故答案为：． 例4（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D是外一点，且，请猜想线段之间的数量关系 ； (2)证明你的结论；(3)如图2，点D是等边三角形外一点，若，，，试求∠BDC的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）猜想结论：，以为边向下作等边，连接． ∵，都是等边三角形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：； （2）见第一问 （3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于H ∵，都是等边三角形，∴， ∴，∴，∴， 设在中，，则， 在中，，则，整理得， ∴，解得 把代入得（负值舍去）， ∴，∴,∵，∴，∴， ∵，∴． 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， 即，是等边三角形，，故选：B． 2．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段'，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤若，点为内一点，则点到三个顶点的距离和最小为．其中正确的结论是(　　) A．①③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ 【答案】A 【解答】解：如图，连接，线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段 ，是正三角形，，①正确，符合题意； 由①可得，为正三角形，，， ，， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∴无法判断∴②错误，不符合题意； 过点作垂直的延长线于点，如图所示： 由①知又，在，， ③③正确，合题意； ，④错误，不合题意； 如图所示，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点），连接，则，．，为等边三角形， ，， 当四点在同一直线上时，的值最小，此时 由旋转的性质可得，，又， 为等边三角形，，，， ，，∴， 设交于点，则∴，则∴ ∴，即∴则 ⑤正确，符合题意．故选：A． 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形，∴； ∵，∴，∴，即； ∵，∴，故①正确； ∵，∴，∴； ∵，∴，故②正确； ∵，∴；∵， ∴在中，由勾股定理得，故③错误； ∵，∴，∴， 而，， ∴；故④正确；综上，正确的有3个；故选：C． 5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【答案】3 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ，，∴， 在和中，∵，∴， ∴，∴，∴．答案为：3． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 【答案】 /150度 / 【详解】解：由旋转的性质得， ∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，即，∴，∴， ∵，∴， ∴是以为直角的直角三角形，∴； 过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为， ∵，是等边三角形，， ∴，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：，． 7．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，∵为等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到，则 ∴，∴是等边三角形， ∵∴∴， 过点作于点∵∴∵，∴ 在中，∴解得：（负值舍去） ∴故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD  中，AD＝3，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 【答案】． 【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAD′中，∵BA=CA，∠BAD=∠CAD’，AD=AD’，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′． ∵∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=， ∵∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为． 9．（24-25八年级上·山东·专题练习）如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】解：如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接DE， ∴△BCD≌△BAE，∠DBE＝60°，∴BE＝BD，AE＝CD，∠BDC＝∠BEA， ∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD，在△BDE中，∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°， ∴60°+∠BEA+∠AED+∠ADE+∠BDA＝180°，∴∠AED+∠ADE+∠BDC+∠ADB＝120°， ∴∠AED+∠ADE＝120°﹣∠ADC＝90°，∴∠EAD＝90°，∴，∴． 10．（24-25八年级下·江西·期中）如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)若，，，求的度数． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）∵绕点C顺时针旋转得到，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴，，... 在和中，，，，∴，∴.. （2）∵，，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴；∴ 11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形． ∴，又∵，∴ ∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【详解】解：（1）解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是等边三角形，∴，又∵，，∴， ∴是直角三角形，即，∴； （2）如图，把绕点B顺时针旋转得到，∴， ∵旋转角是，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∵， ∴，∴， 在中，由勾股定理得，； （3）∵六边形是正六边形，∴，， 如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴； 如图所示，过点A作于M，则，∴， 又∵，，∴， ∴是直角三角形，即 ，∴； 如图所示，过点B作交延长线与H，则， ∴，∴，∴， ∴，∴正六边形的边长为． 12．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 【答案】【思考探究】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】 【详解】解：思考探究：由旋转可知：， 是等边三角形，， ，是直角三角形，； 理解应用：，理由如下：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形，，， ，， ∴在中，，即，； 类比迁移：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形，，， ∵，∴点在线段上，，是直角三角形， ，的长为． 13．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图，点是等边内的一点，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则的度数为________； 【变式应用】（2）如图，是正方形内一点，连结，，．若，，，求的长； 【拓展延伸】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图，在四边形中，，，，若，，求的长．    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵将绕着点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等边三角形；∴，， 在中，，，，∴，∴为直角三角形，， ∴，故答案为； （2）将△绕点顺时针旋转得，连接，    根据旋转的性质可知：，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，在中，，， 根据勾股定理可得：； （3）将绕点顺时针旋转后落在处，得到，连结，如图，    根据旋转的性质得：，，，∴为等腰直角三角形， ∴，，∵，∴， 在中，，∴的长为． 14．（24-25八年级上·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵，∴ ∴为 三角形．∴的度数为 ． (2)类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； (3)拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 【答案】(1)等边，直角，150度(2)6(3)45度 【详解】（1）解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵，∴， ∴为直角三角形．∴的度数为．故答案为：等边，直角，150度； （2）如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到，则， ∵旋转角是，∴，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理得，； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴，∴， 在中，，∴，根据勾股定理得，， ∵，∴，∵，∴， ∴是直角三角形，且，∴． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°． 简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°． （2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　． 拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC． （4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长． 【答案】（1）135；（2）13；（3）见解析；（4） 【详解】解：简单应用：（1）如图2， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将 △ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'， ∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°， 根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'， ∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，∴∠BPP'＝90°， ∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，故答案为：135； （2）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB， 将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'， ∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°， ∵∠APB＝150°，∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°， 根据勾股定理得，BP'＝＝13，∴CP＝13，故答案为：13； 拓展延伸：（3）如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC， 将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD+∠BCD'＝180°， ∴点D'在DC的延长线上，∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD， 在Rt△DBD'中，DD'＝BD，∴BD＝CD+AD； （4）如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接BD，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'， ∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°， ∵∠AGD＝∠BGC，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠BAD＝∠BAD'， ∴点D'在AD的延长线上，∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）构造模型问题： 问题背景：如图1，是等边外一点，，则． 小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明： 迁移应用：(1)如图2，是等边内一点，且；求的度数； 拓展提升：(2)如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．          【答案】(1)(2)18 【详解】（1）证明：如图2，将绕点B逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴∴是直角三角形，即， ∴，∴．故答案为：．       （2）解：如图3：过B作交的延长线于点M，连接，则, ∵，、∴为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴的面积为．故答案为18． 17．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 【独立思考】（1）如图1，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接、连接，判断形状为________，________． 【探索发现】（2）如图2，点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，是四边形的两条对角线，，，且，，求的长．    【答案】（1）等边三角形，；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）如图，连接，∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，       ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴是直角三角形，， ∴，故答案为：等边三角形，； （2），理由如下： 将线段以点C为旋转中心顺时针旋转得到线段，；连接，如图， ∴，，∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴； （3）如图，过点A作交的延长线于点M，连接，    ∵，∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵，，∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴ 18．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)同意，证明见解析；(2)成立，证明见解析；(3)(4) 【详解】（1）同意，理由如下：∵在等边三角形中，∴，， ∵，∴， ∴，，∴，即， （2）（1）的结论成立，证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接， 在等边，等边中，，，， ∴，∴∴， ∵，∴，∴，∴， （3）如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，， 在等腰直角，等腰直角中，，，， ∴，，∴∴， ∵，∴， ∴，∴，即. （4）过点A作，交延长线于点D， ∵，∴，∴， ∵，∴，即， 又∵，∴∴， ∵，，∴，∴ 19．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点是等边三角形内一点，，求的度数．为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，．求的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出的长． 【答案】（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2． 【详解】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）． 由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2， 在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2； ∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=PC，∴∠AP′P=30°； ∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案为2；30°；90°； （2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′． 由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=， 在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2； ∴△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90° （3）如图3，∵AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG， ∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG， ∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E， ∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°， ∴CG===2，∴BD=CG=2． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07.全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 5 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 9 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 12 16 奔驰模型因图形构造类似奔驰车标志而得名，尤其在等边三角形中通过特定线段连接形成的结构‌。在等边三角形中，通过从一个顶点向对边引线段，再向另两个顶点连线，形成的“三叉”对称结构酷似奔驰车标的三叉星图案。这一形象化的关联使其在初中几何教学中更易被学生记忆，成为几何模型中的经典案例。在等腰直角三角形或正方形中应用奔驰模型时，意外发现旋转角度可调整为45°或90°，进一步验证了模型的普适性。‌ （2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内） 例1（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，点是等边内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·山西·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 例3（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，点是等边内一点，，，．则与的面积之和是（    ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例5（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA=1，PB=PD=，则∠APB的度数为 ．    例2（24-25九年级上·黑龙江·期中）如图，点是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）已知：如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：①：②点B到直线的距离为；③；④．⑤．其中正确结论的序号是 ． 例4（24-25九年级上·四川广安·期中）阅读下列材料： 【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求的度数； 【解决问题】如图2，将．．绕点逆时针旋转得到，连接，可得等边，则，且，又由可得且，所以； 【类比问题】（1）如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； 【探索问题】（2）如图4，在正六边形内有一点且，，，则______； 模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 例1（24-25九年级上·广东·专题练习）如图，是等边三角形外一点，，，，则的度数为 ． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．7.5 D．6.5 例3（24-25·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    例4（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）已知是等边三角形． (1)如图1，点D是外一点，且，请猜想线段之间的数量关系 ； (2)证明你的结论；(3)如图2，点D是等边三角形外一点，若，，，试求∠BDC的度数． 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段'，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤若，点为内一点，则点到三个顶点的距离和最小为．其中正确的结论是(　　) A．①③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 7．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD  中，AD＝3，CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 9．（24-25八年级上·山东·专题练习）如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：． 10．（24-25八年级下·江西·期中）如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)若，，，求的度数． 11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数． 解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形． ∴，又∵，∴ ∴为直角三角形∴∠APB的度数为______． （2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长； （3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长． 12．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，求的长． 【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，小李家位于空地旁的点，通过测量．，请直接写出线段的长． 13．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图，点是等边内的一点，将绕着点顺时针旋转得到，若，，，则的度数为________； 【变式应用】（2）如图，是正方形内一点，连结，，．若，，，求的长； 【拓展延伸】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图，在四边形中，，，，若，，求的长．    14．（24-25八年级上·四川成都·期中）平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． (1)探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵，∴ ∴为 三角形．∴的度数为 ． (2)类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； (3)拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°． 简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°． （2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　． 拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC． （4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）构造模型问题： 问题背景：如图1，是等边外一点，，则． 小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明： 迁移应用：(1)如图2，是等边内一点，且；求的度数； 拓展提升：(2)如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，则的面积是 （不必证明）．          17．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题： 【独立思考】（1）如图1，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接、连接，判断形状为________，________． 【探索发现】（2）如图2，点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，是四边形的两条对角线，，，且，，求的长．    18．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 19．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点是等边三角形内一点，，求的度数．为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，．求的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $