专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.倍长中线模型 6 模型2.截长补短模型 12 21 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.截长补短模型 例1（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中，， 在中，， ，即：，， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点，，在和中，， ，， 平分，，， 在和中，，，． 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明： 方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）第一种辅助线做法： 证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，∵E是BC的中点∴BE=CE 在△BEF与△CED中 ∴△BEF≌△CED（SAS）∴BF=CD ， ∠F=∠CDE 又∵∠BAE=∠CDE∴∠BAE=∠F∴BF=AB ∴AB=CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E； 则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE 在△BEF与△CEG中∴△BEF≌△CEG （AAS）∴BF=CG， 在△ABF与△DCG中， ，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD ． （2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD．在△BDAˊ与△CDA中 ， ∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD， 又∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF=BAˊ ∴BF=AC． 例3（24-25八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 【答案】(1)证明见解析(2)①，；②；③(3)见解析 【详解】（1）证明：∵是边上的中线，∴， ∵，，，∴； （2）解：①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据作出符合条件的；若知道，则可以根据作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出．故答案为：，； ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为的．此作图过程需先做出一条线段等于线段的两倍，然后依据作出．故答案为：； ③在上截取得的中点，连接并延长至点，使得，可得． 故答案为：； （3）解：如图，，即为所求； 例4（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点，，，，， 在中，，，；            （2）如图，延长交于点，∵的中点为D，∴， ∵由题意可得：，而， ∴，∴，， ∵，，∴，是的垂直平分线，∴； （3），，理由如下：如图，延长，使，连接， ∵为的中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴．∵， ∴，∴，∴． 例5（2025·广西·校考一模）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】(1)A(2)；． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，， 在和中，，，故答案为：A； （2）解：，，，，，， ，，故答案为：； 解决问题：如图，延长交的延长线于点H， 四边形是正方形，，为边的中点，， 在和中，，，，， ，，，， ，，，，，． 模型2.倍长中线模型 例1（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 例2（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； 方法2：延长到，使，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由（1）知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，，． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，． 例3（24-25·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析． 【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB． ∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF． ∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD． ∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD． 在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED． ∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE； （2）猜想：AE=AB+DE+BD． 证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG． ∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC． 在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS）， ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE． ∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°， ∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD． ∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD． 例4（24-25八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    【答案】问题背景：；探索延伸：成立；理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为105海里 【详解】问题背景：解：如图，延长到点．使．连接，则，          在和中，∴，∴， ∵，，∴， ，， 在和中，，，， ，；故答案为：； 探索延伸：成立，即；理由如下：延长到点．使．连接，如图所示： ∵，，∴， 在和中，，，， ，，， 在和中，， ，； 实际应用：连接，延长、相交于点，如图所示： ，， ，， 符合探索延伸中的条件，成立，即(海里)， 此时两舰艇之间的距离为105海里． 例5（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 【答案】（1）DA=DC+BD，见解析；（2）；见解析；（3） 【详解】解：（1）DA=DC+BD，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°，又∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，∴∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形，∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，故答案为：DA=DC+BD； （2），如图2，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°， ∵∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，CE=BD，在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC=90°， ∴DA2+AE2=DE2，∴； （3）如图3，连接PQ，∵MN=2，∠QMN=30°，∠MQN=90°，∴QN=MN=1，∴， 由（2）知．∴． 1．（2024·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中， ∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5 又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C． 2．（24-25八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，∵平分，∴， ∵M是边的中点，∴，∴平分， ∵，∴；故选B． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    【答案】①②④ 【详解】解：在上截取．平分，，    又，．． ，．∵． 平方，∴，又， ．①，故，故①正确； ②，即是中点，故②正确；③与不一定相等，故③不正确； ④，，，故④正确． 故答案为：①②④． 4．（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 【答案】180°-2x 【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示， 在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC, ∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°， ∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°， ∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______）（______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【详解】证明：延长至点，使，连接， 为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义），（等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 6．（24-25八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中(1)若平分，求证：；(2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，在上取点E，使得，在与中， 平分，，，，， ，，，； （2）解：延长到点F，使得，连接， ，，为边上的中线， ， ，，，， 在中，，． 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 【答案】(1)(2)线段构成的三角形是钝角三角形，理由见解析.(3)证明见解析 【详解】（1）解：如图1，延长到E，使，连接， ∵，∴，∴， 在中，,∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：线段构成的三角形是钝角三角形，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵，，∴，∵， ∴，∴，∴线段构成的三角形为， ∴， ∴当为锐角时，为钝角三角形，即由三条线段BE、EF、CF构成的三角形为钝角三角形； （3）证明：如图3，延长至G，使，连接， 同理（2），，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形内角和定理等知识．熟练掌握倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山西运城·期中）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境：今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路：如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．    反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程．    问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 【答案】（1）①、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；②；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）①依据1是：、依据2是：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 ②∵，，，∴ （2）∵，∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，∴ ∵D、C、E三点在一条直线上，∴是等边三角形，∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵，，∴，∴， ∴，故答案为： 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中，，，， ，，，，故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接，是中线，， 又，，，，， ，，， 为中线，，，， 又，，，，，故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点，，又，，， ，，，， 与互补，，， 又，，，，； （4）如图3，，，，，， ，，， ，，，，， ，故答案为：8． 10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、∵，∴， ∴，∴； （3）解：作N关于的对称点，由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 11．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ∵，∴， ∴，，∴，∴． 延长到，使得，∵， ∴是等边三角形，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴是等边三角形，∴． 12．（24-25七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)FC＝CD+CE 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形，∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等边三角形，∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ，∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF，∴CD＝CG+DG＝CE+CF，∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ，∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 13．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE． （1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数； （2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明． 分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…… ②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的． 请根据上述分析过程，完成解答过程． 【答案】（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析 【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD， ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵，∴， ∵B、D关于AP对称，∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB， ∴，∴， ∴，∴∴∠AEB＝60°． （2）AE＝BE＋CE． 证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG． ∵∠AEB＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，∴∠ABG＝∠CBE． 在△ABG和△CBE中，∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG＝CE，∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)相等，见解析(3)，见解析 【详解】（1）解：∵在和中， ∵，，，∴，∴． （2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴， 由（1）可知，，设，∵，∴，且， ∴在中，， ∵，∴，∵，∴，∴． （3）解：过点作交延长线于点，延长交于点，      ∵，，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，，由（2）可知，， ∵，∴，∵，，∴， ∵，，，∴， ∴，，∴，则是等腰三角形，∴， ∴，∴． 15．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)；(2)的取值范围是 ； (3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）解：在和中，， 小明证明用到的判定定理是，故答案为：； （2）解：，，在中，， ，； （3）证明：延长到点E，使，连接， 在和中，，，，， 平分，，，，． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】(1)(2)B、C(3)见解析 【详解】（1）解：解：如图①中，延长至点E，使， 在和，，，， ，，，； （2）如下图2中，延长至F，使， 由（1）得，，， ， 点B为的中点，，， ，， 又，，，，故B、C正确； （3）如下图③中，延长到J，使得，连接， 同法可证，，，， 与互补，，， ，， 在和中，，，，，． 17．（2024·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【答案】详见解析 【详解】如图，延长至点，使得，并连结， ∵是三角形的中线，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，即． 18．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：；(2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）∵，，，∴， 在和中，，∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：∵F为的中点，∴，    在和中，，∴， ∴，，由（1）可知：，∴，∴，∴． （3）∵，∴，∴， 由（1）可知：，∴， ∵，∴，∴． 19．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）[阅读理解] “倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则 ．    [问题提出](1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照你（1）中的作图过程证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：以A为圆心，任意长度为半径画弧，与分别交于点M、N， 以M为圆心，的长度为半径画弧，以A为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点F，点F即为所求，   ；    （2）证明：延长交于点G，如图， 在平行四边形中， ∵，∴，由（1）得：，∴，∴， ∵，∴， ∵ 点E为的中点，∴，∴， ∴，∴∴； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.倍长中线模型 6 模型2.截长补短模型 12 21 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.截长补短模型 例1（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法． 第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接； 第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F. (1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：． 例3（24-25八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，此法称为：倍长中线． (1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在中，是边上的中线，点E在的延长线上，且．请证明：． (2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作：，使，，边上的中线．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据． ①已知共顶点两边，要想作出，还需要知道或．若知道，则可以根据______作出符合条件的；若知道，则可以根据______作出符合条件的；但目前只知道中线，所以不能直接作出． ②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的．此作图过程需先做出一条线段等于线段m的两倍，然后依据______作出． ③在上截取m得的中点D，连接并延长至点C，使得______，可得． (3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰，满足腰，底边BC上的高． 例4（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】（1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】（2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 例5（2025·广西·校考一模）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母） A．              B．              C．             D． (2)的取值范围是________． 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长． 模型2.倍长中线模型 例1（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 例2（24-25八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 例3（24-25·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点． (1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为　　　　；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明． 例4（24-25八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    例5（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______，并写出证明过程； 【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的平方为多少？ 1．（2024·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．3 2．（24-25八年级·广西贵港·期中）如图，在四边形中，，M是边的中点，平分，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于，连结，且也平分，则以下的命题中正确的有 ． ①；②为中点；③；④    4．（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示） 5．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接， 为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______）（______），∴． 6．（24-25八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，在中(1)若平分，求证：；(2)若为边上的中线，且，求的取值范围． 7．（24-25八年级上·福建莆田·期末）数学活动课中，老师给出以下问题： (1)如图1，在中，D是边的中点，若，则中线长度的取值范围 ． (2)如图2，在中，为锐角，D是边的中点，过D点的射线交边于E，再作交边于点F，连接，请探索由三条线段构成的三角形的形状，并说明理由． (3)已知：如图3，，且，F是线段的中点．求证：． 8．（24-25八年级下·山西运城·期中）学完平移与旋转后，数学老师再次介绍了截长补短法：截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 例如：如图1，已知点P是的平分线上一点，点A是射线上任意一点，在上截取B点，使（截长法），连接，易得：．如图2，已知中，平分，延长至点F（补短法），使得，连接，易得．    问题情境：今天我们继续运用截长补短法进行探究学习．如图3，点P是等边外一点，连接且满足，线段之间有何等量关系呢？ 经过探究，勤奋小组讲解了他们的思路：如图4，在上截取一点Q，使，连接． ∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，又∵  ∴ ∴（依据1： ）∴， ∴，即 可知是等边三角形（依据2： ），所以，因此最终得出线段 之间的等量关系是 ．      反思交流：（1）①上述证明过程中“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1： ．依据2： ．②图3中线段之间的等量关系是 ． 探索发现：（2）创新小组受勤奋小组的启发，把点D移动到边下方，如图5，是等边三角形，且点D是边下方一点，，将绕点A逆时针旋转得到，根据上述解题思路，继续探究三条线段之间的等量关系，并写出你的证明过程． 问题解决：（3）请你参考上面的解题思路，探究并解决下列问题：如图6，在正方形内有一点P，且，，则＝ ． 9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 11．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F． (1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 12．（24-25七年级上·山东烟台·期末）阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题：如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 13．（24-25八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE． （1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数； （2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明． 分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质…… ②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的． 请根据上述分析过程，完成解答过程． 14．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证；在此问题的基础上，老师补充：过点作于点，交于点，过作交于点，交于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，与有某种数量关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：    (1)求证；(2)猜想与的数量关系，并证明； (3)探究线段之间的数量关系，并证明． 15．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)；(2)的取值范围是 ； (3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 16．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 17．（2024·山西·一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 18．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：；(2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 19．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）[阅读理解] “倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在中，是边上的中线，若延长至E，使，连接，可根据证明，则 ．    [问题提出](1)如图2，平行四边形中，点E为边的中点，在边上找一点F，使得（要求∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照你（1）中的作图过程证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$