专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学人教版2024七年级上册

专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 例2（24-25七年级上·广东肇庆·期末）如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 例3（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 例4（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 例7（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 例9（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，是的平分线，为的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（    ）（多选题）    A． B． C．是的角平分线 D．若，则和互余 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，，平分，平分，则的度数是 ． 6．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ． 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，已知，．、分别是、的角平分线，求的度数． 9.（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，已知，是的平分线，是的平分线．(1)求的度数；(2)求的度数 10．（24-25七年级下·甘肃·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分，且．(1)求的度数；(2)过点作射线OP，若，求的度数． 11．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1，∵是的平分线，∴ ，∴， ∵，∴ ， ，∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 12．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，已知平分，平分（在的内部）．(1)若，，则___________； (2)如果，，那么是多少度？ (3)如果，，那么与之间有怎样的数量关系？请进行判断，并说明理由． 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数．(2)若平分，． ①求的度数；②若过点O作射线，求的度数． 14．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，点在直线上，平分平分． (1)若，则的度数；(2)若，求的度数． 15．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数．(2)若，求的度数． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知平分平分． (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？ 17．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 18．（24-25七年级上·山东东营·期末）线段的计算和角的计算有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段已知线段… ，分别是线段，的中点， ， ① ． ② ③ ．， ④ ． 可以利用线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质来解决． (2)【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，请你求的度数． (3)【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线绕点旋转到的外部，则的度数_____． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【详解】解：因为平分， 平分，所以 ， ， 所以 ，．故答案为：． 例2（24-25七年级上·广东肇庆·期末）如图，已知直线是直线上一点．是的平分线，是的平分线， 【答案】 【详解】解：由题意得， 又，，， 是的平分线，，故答案为：． 例3（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】C 【详解】解：，， ∵平分，，∵平分，， ，故选： C． 例4（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，直线，交于点，平分，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，平分，，， 平分．， ，，解得，，故选：B． 例5（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴ ∵射线，分别平分，∴， ∴ ∴．故选：B． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵，平分，，∴， ①当射线在内时，如图，； ②当射线在内时，如图，； ∴度数是或．故选：B． 例7（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，是的三等分线，∴每一份是， 如图所示，，∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，，∴，∴； 如图所示，，∴， ∴；故答案为：或或 ． 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 例9（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴，∴， 则，故选：D． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，是的平分线，为的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的平分线，，∴， ∵为的平分线， ∴．故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵∴互为“优角”； ∵，∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； ∵∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角”故选∶B． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知，是的三等分线，，是的三等分线，则结论正确的有（    ）（多选题）    A． B． C．是的角平分线 D．若，则和互余 【答案】AC 【详解】解：∵，是的三等分线，，是的三等分线， ∴，， ∴是的角平分线，，不能判断与的大小关系，，故B不正确； 若，因为， 所以，故D不正确；故选：AC． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）一副三角板与如图摆放，，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∵平分，∴， ∵∴， ∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知，，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示：第一种情况如下图 ∵，∴ ∵平分平分，∴ ∴ 第二种情况如图此时，故答案为：或． 6．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵，； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵，，； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，，，解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，，，解得； 综上，的度数为或或，故答案为：或或． 7．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】120°或60° 【详解】解：如下图所示，，， ，、分别平分和， ，，， ； 如下图所示，，， ， 、分别平分和，，， ， ； 综上所述，的度数是或.故答案为：或. 8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图，已知，．、分别是、的角平分线，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，，∴． ∵平分平分，∴， ∴，解得：，∴． 9.（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，已知，是的平分线，是的平分线．(1)求的度数；(2)求的度数 【答案】(1)(2) 【详解】（1）平分，， ，，同理：； （2）． 10．（24-25七年级下·甘肃·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分，且．(1)求的度数；(2)过点作射线OP，若，求的度数． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解：∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴， ∴，， 当在内部时，则：， 当在外部时，则：． 11．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1，∵是的平分线，∴ ，∴， ∵，∴ ， ，∴ ． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，(2)，理由见解析 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线，∴，∴， ∵，∴， ，∴，故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴，则． 12．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，已知平分，平分（在的内部）．(1)若，，则___________； (2)如果，，那么是多少度？ (3)如果，，那么与之间有怎样的数量关系？请进行判断，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵∴，故答案为：． （2）∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， （3），理由如下：∵，，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，即． 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，直线与直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数．(2)若平分，． ①求的度数；②若过点O作射线，求的度数． 【答案】(1)(2)①；②的度数为或 【详解】（1）解：平分，， ，； （2）解：①平分，设， ，， 平分，， ，，解得， ，； ②由①知，时，， 分两种情况：当在上方时，如图1，； 当在下方时，如图2，； 综上可知，的度数为或． 14．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，点在直线上，平分平分． (1)若，则的度数；(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：点在直线上，平分，， 平分，，∴； （2）解：平分，，平分，， 设为，可得：，解得：，． 15．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）已知：如图OM，ON分别平分和， (1)若，若，求的度数．(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）平分，，， 平分，，，． （2）由题知，，平分，平分， ，，，． 16．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知平分平分． (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵平分平分，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 17．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)45(2)(3)能，的度数为135°或45° 【详解】（1） ，， 平分，， 平分，， ； （2），，， 平分，平分，，， ； （3）如图①所示，平分，平分，，， ； 如图所示，平分，平分，，， ．综上，的度数为或． 18．（24-25七年级上·山东东营·期末）线段的计算和角的计算有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)【探索发现】课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，，分别是线段，的中点，当时，求线段的长度．下面是小华根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 未知线段已知线段… ，分别是线段，的中点， ， ① ． ② ③ ．， ④ ． 可以利用线段中点的定义，线段的和、差，等式的性质来解决． (2)【知识迁移】小华举一反三，发现有些角度计算也可以用类似的方法进行转化．如图2，已知，是角内部的一条射线，，分别是，的平分线，请你求的度数． (3)【拓展延伸】如果（2）中其他条件不变，将射线绕点旋转到的外部，则的度数_____． 【答案】(1)，，，10(2)(3)或 【详解】（1）解：∵C，D分别是线段，的中点， ∴，，∴， ∵，∴．故答案为：，，，10． （2）解：如图，∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，∴； （3）解：分三种情况：第一种情况：如图， ∵，分别是，的平分线，∴，， ∴，； 第二种情况：如图，∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴； 第三种情况：如图，∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ．综上，的度数为或 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $