专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，射线在外，若平分，平分，则 ． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ． 例3（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 例6（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 例7（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 例9（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 1．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 2.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法：①已知，则M点是线段的中点：②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：；③如图甲，射线分别平分，若，则；其中正确的是 （填序号） 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：∵平分，，， ∴______=______，∴_______=_____， ∵平分，∴_______=______， ∴_______=________． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 10．（24-25七年级上·湖南·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数．(2)若比多，求的度数． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 14．（24-25七年级上·甘肃·期末）【问题背景】如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】（1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．(3)从（1）（2）的结果，你能看出什么规律吗？ 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示． (1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________； (2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点． (1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，∴， ∵是的平分线，， ∴；故答案为： （24-25七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，，所以．所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为，所以，所以，， 所以，，所以． ②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以； （3）设，因为，所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为，所以， 所以，所以，，所以． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，射线在外，若平分，平分，则 ． 【答案】111 【详解】解：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∴，故答案为：111． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ． 【答案】/29度 【详解】解：是的平分线，， ，， 是的平分线，．故答案为：． 例3（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∵是的平分线，， ∵是的平分线，， ，故选：B． 例4（24-25七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的平分线，，∴， ∵是的平分线，∴，故选：A． 例5（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，， 分别是的平分线，， ；故答案为： （2）解：，分别是的平分线， ，，； （3）解：，， 分别是的平分线，， ，． 例6（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：分为两种情况：如图1，当在内部时， ，，， 平分，平分，，， ； 如图2，当在外部时，，，， 平分，平分，，， ；综上，的度数是或．故选:C． 例7（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，，； 综上，为或或，故选：C． 例8（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求； （2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴，∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴；故答案为：； （3）平分，平分，∴， ∴， ∵，∴；故答案为：； 【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴； 如图3，∵平分，平分，∴， ∴， ∵，∴． 例9（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∵射线是的角平分线，∴， ∴，则．故答案为：． 例10．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，∴， 同理，， ∴， ∴． 1．（24-25·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°， ∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选D． 2.（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线，∴． ∵，∴，． ∵平分，∴，∴； 综上可知或．故选：A． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∴ ， 又，，∴，故选：C． 4．（24-25七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，， 是的平分线，．故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴，故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，，∴， ∵将顺时针旋转（）得到，∴， 分两种情况：如图，当是的三分线，且时， ∴，∴， ∴，∴，即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴，∴，∴，即的值为； 综上所述，的值为或． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴. 当射线在外时，如图2，∵，， ∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴.综上所述：或故答案为：或． 7．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法：①已知，则M点是线段的中点：②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：；③如图甲，射线分别平分，若，则；其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【详解】解：∵，∴M点是线段的中点，故①正确； ∵把一个周角7等分，∴计算每份的结果为， ，， ∴计算每份的结果（精确到秒）为：，故②正确； ∵射线平分，∴设， ∵平分，平分∴，， ∵平分，∴， ∵，∴，解得：， ∴，故③错误，故答案为：①②． 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：∵平分，，， ∴______=______，∴_______=_____， ∵平分，∴_______=______， ∴_______=________． 【答案】，40，，90，，45，，85 【详解】解：∵平分，，， ∴，∴， ∵平分，∴，∴， 故答案为：，40，，90，，45，，85． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，平分，平分，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：因为平分，平分，所以，． 因为，所以，所以． 10．（24-25七年级上·湖南·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若比多，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，因为平分，所以， 又因为平分．所以． 所以， 因为，所以． （2）解：由（1）可知，． 因为比多，所以，① 因为，②由① +②得：，所以． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∵，∴，∴的度数为：； （2）∵是的平分线，，∴， ∵，∴， ∵是的平分线，∴，∴的度数为：． 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：，∵射线和射线分别平分和． ， ，即； （3）解：，， 又 ∵，， ． 13．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 【答案】（1）22；；（2）①；②，理由见解析；（3）D 【详解】解：（1）C，D分别是，的中点， ， ，又， ，， ； C，D分别是，的中点，， ，又， ，， ，故答案为：22；； （2）①由条件可知， ， ，， ，． ②，理由如下：， ； （3）在以上问题的解决过程中，我们会发现角的规律和线段的是一样的，所以运用了类比思想，故选：D． 14．（24-25七年级上·甘肃·期末）【问题背景】如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】（1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析 【详解】解：（1）是直角，，， 是的平分线，是的平分线， ，，； （2）同理（1），， ，，； （3）与α有关，与β无关，，理由如下：同理（1），， ，，． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．(3)从（1）（2）的结果，你能看出什么规律吗？ 【答案】(1)(2)(3)见解析 【详解】（1）因为平分，平分，所以 ．因为，所以． （2）由（1）得． 因为，所以． （3）若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分， 则． 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示． (1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________； (2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)90(2) 【详解】（1）解：，，，故答案为：90； （2）解：，， ，平分，平分，，， ． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点． (1)若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由； (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数． 【答案】(1)16(2)当线段在线段上运动时，线段长度不变为，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，点为的中点，， 点为的中点，，， ，故答案为：16． （2）解：当线段在线段上运动时，线段长度不变，始终为，理由如下： ，， 点、分别是、的中点，， ，． 当线段在线段上运动时，线段长度不变，； （3）解：设，，、分别平分和， ，，， ，，， ，． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值． 【答案】(1)(2)的度数为或(3)的值为或或 【详解】（1）解：已知，∴，则， ∵是的“绝配角”，∴，∴， 解得，，故答案为：； （2）解：如图所示，当在内部时， 由（1）可得，，∴， ∵，∴，∴； 如图所示，当在外部时， ∴，∴， ∵是的“绝配角”，∴， ∴，解得，，∴， ∵，∴，∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“绝配角”， ∴，∴， 由题意可得，，， ∵平分，平分，∴，， ①当未转够，即时，如图所示， ∴，，整理得，，解得，； ②当转够，即时， 由题意可得，转了，，∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴，∴，∴， 整理得，，解得，； ③当时，若时，，射线旋转超过，，超过， 转了，转了，如图所示， ∴，，∵平分，平分， ∴，， ∵，∴，整理得，， 解得，；综上所述，的值为或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $