精品解析：山东省青岛胶州李哥庄中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 （120分，90分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意； B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A为假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B为真命题，符合题意； C、对角线互相平分是四边形是平行四边形，故C为假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D为假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各个判定定理． 3. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. B. 四边形面积不变 C. D. 四边形周长不变 【答案】A 【解析】 【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可． 【详解】解∶ 设两张等宽的纸条的宽为h， ∵纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； ∵在旋转的过程中，在变化， ∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键． 4. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据题意，利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，且， 解得：，且， 则实数m的值可以是2， 故选C． 6. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形．利用三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，因为要使四边形为菱形，所以，则添加的条件是， 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形， 则， ∵，， ∴， 即当时，四边形是菱形． 故选：B． 7. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：现价=原价下调的百分率），正确列出方程是解题关键． 【详解】解：由题意得第一次下调费率后的售价为， 第二次下调费率后的售价为， 得到方程， 故选：D． 8. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为（x-1）张，根据“全班共送了2550张相片”，可得出方程为x（x-1）=2550． 【详解】解：∵全班有x名学生， ∴每名学生应该送的相片为（x-1）张， ∴x（x-1）=2550． 故选：B． 【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x（x-1）不能和握手问题那样除以2，要注意题目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语． 9. 如图，已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的长是( ) A. 5cm B. cm C. (20－10)cm D. (20＋10)cm 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解． 【详解】设BP的长为x，则PC=CQ=10-x 在Rt△ABP中，AP=, 在Rt△PCQ中，PQ=, ∵AP=PQ， ∴, 解得：x1=20−10，x2=20+10＞10（舍去） ∴BP的边长是20−10. 故选C. 【点睛】考查正方形和等边三角形的性质及应用． 10. 如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，再根据点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8得到，再由勾股定理即可计算出的值． 【详解】解：连接，交于M， 四边形是菱形， ， 平行x轴，， ， 点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8， ， ， ． 菱形的边长值为． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若．则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ∵ ， ∵， ， ， 即是等边三角形， 在中 解得： ∴ ∴ 故选：C． 12. 如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，若，四边形的面积为13，则中间空白处的四边形的面积为（ ） A. l B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得四边形是正方形，可得，求出，中间空白处的四边形也是正方形，其面积，即可求解． 【详解】解：由题意得：四边形和四边形是正方形， ∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴中间空白处的四边形的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 【答案】 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，依据矩形的性质即可得到的面积为12，再根据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴矩形的面积为48，， ∴， ∵对角线交于点， ∴的面积为12， ∵ ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为 ___． 【答案】32 【解析】 【分析】由菱形的，可得∠BAD=∠BCD =60°，则在Rt△AOB中根据勾股定理以及30°所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出AB的长，即可求出菱形周长. 【详解】解：如图，连接BD与AC交于O， ∵四边形ABCD为菱形 ∴∠BAD=∠BCD，BD⊥AC，O为AC、BD中点，AB=AD=BC=CD， ∴∠BAD=∠BCD =60° ∴∠BAC=∠BAD=30° 在Rt△AOB中，BO=AB， 设BO=x，根据勾股定理可得： 解得x=4， ∴AB=2x=8， ∴菱形周长=AB+AD+BC+CD=8+8+8+8=32 故答案为：32． 【点睛】本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键． 17. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 18. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 【答案】 如图所示，四边形BEDF为所求菱形， 【解析】 【分析】首先作的角平分线交AC于点D，再过点D分别作BC边和AB边的平行线，即可得出所求菱形． 【详解】解：作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D； （2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形． 证明：∵，， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及角平分线的作法，平行线的性质，平行四边形的判定、菱形的判定等知识点，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 四、解答题 19. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）无实数解 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）整理成一元二次方程的一般式后，根据求根公式求解可得； （2）利用配方法求解即可； （3）整理后，利用因式分解法求解即可； （4）求得根的判别式的值，即可判断原方程无实数解． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 即， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，； 【小问4详解】 解： ，，， ， 原方程无实数解． 20. 已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点． （1）求证：； （2）当______时，四边形是正方形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴； （2） 解：；理由如下： ∵， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】（1）平行四边形，得到，再根据中点，得到，即可； （2）先证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形，判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． 21. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【答案】（1） （2）8 （3）苗圃的面积不能为， 设矩形的面积为， 则， ∵， ∴时，的值最大，最大值为108， ∴苗圃的面积不能为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8． 【小问3详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）当时， 四边形为菱形，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识． （1）根据平行四边形的性质可得，，再结合角度和角平分线的定义可得，问题得解； （2）先证明与是等边三角形，可得，，再证明四边形为平行四边形，根据，可得，问题得解． 【小问1详解】 ∵四边形 是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 时， 四边形为菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由 （1） 得，， ∴与是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 23. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元? 【答案】90元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用日销售量售价），即可找出日销售量与售价，关系式；利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该产品的售价每件应定为元，则销量为件，根据题意，得 ， 整理得：， 解得：， 该产品的进货价为70元件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元件， ∴（不符合题意，舍去） 答：该产品的售价每件应定为90元． 24. 如图，在中，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是过点D作交于点F，连接． （1）当t为何值时，为直角三角形? （2）四边形能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． （3）连接，判断是否存在某一时刻t，使平分若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）7.5或12 （2）四边形能够成为菱形，理由见解答过程； （3）存在，当时，平分 【解析】 【分析】（1）根据，列方程可得结论；分两种情况，①当时，②当时，根据直角三角形角的性质列方程可得结论； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． （3）由（2）得：当时，四边形能够成为菱形，此时，即平分再求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， ，， ， 又∵， ， ， 当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，则， ， ， ，； ②当时，， ， ，， 综上，当或12时，为直角三角形； 【小问2详解】 四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：， ， 又∵， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ，， ， ， ， 当时，四边形能够成为菱形； 【小问3详解】 解：存在， 由（2）得：当时，四边形能够成为菱形， 此时，即平分 当时，平分． 【点睛】本题考查了几何动点问题，还考查了直角三角形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性教学质量检测 九年级数学试题 （120分，90分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. B. 四边形面积不变 C. D. 四边形周长不变 4. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 6. 如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边和对角线的中点，得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了张照片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的长是( ) A. 5cm B. cm C. (20－10)cm D. (20＋10)cm 10. 如图，菱形的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形的边长值为（　　） A. 9 B. C. 6 D. 3 11. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若．则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 12. 如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，若，四边形的面积为13，则中间空白处的四边形的面积为（ ） A. l B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 13. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 14. 如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为___________． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么a的值为______． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为 ___． 17. 如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 18. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 四、解答题 19. 解方程 （1）（公式法） （2）（配方法） （3） （4） 20. 已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点． （1）求证：； （2）当______时，四边形是正方形？请证明你的结论． 21. 教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． （1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； （2）若苗圃的面积为，求x的值； （3）苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 22. 如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由． 23. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元? 24. 如图，在中，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是过点D作交于点F，连接． （1）当t为何值时，为直角三角形? （2）四边形能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． （3）连接，判断是否存在某一时刻t，使平分若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $