全国初中数学九年级竞赛模拟卷（一）九年级全国通用

全国初中数学九年级竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则 的值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中,，以点A为圆心,长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 6．如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．为锐角，当无意义时，则 ． 8．用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图形，已知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为 平方分米． 9．如图，在中，，点P是内的一点，且，，，则 ． 10．已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 11．如图，等边三角形由甲、乙、丙三种型号瓷砖拼成，其中甲型瓷砖是等边三角形，B、D、E三点共线．若，则 ． 12．如图，在中，，三个顶点A，B，C都在反比例函数的图象上，其中点A，C在第一象限，点B在第三象限，过坐标系原点O，交x轴于点D，连接，若，则的值为 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 14．（本题10分）某学校随机选取部分八年级同学进行数学预测卷难度评估，对考试成绩进行统计（成绩均为正数，满分100分）依据数据绘制了如下的统计表和统计图，根据图表解答下列问题： 组别 分数段 频数 频率 1 2 3 4 5 (1)表中的________，________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法求出甲、乙两名同学都被选中频率． 15．（本题10分）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．（本题10分）已知：如图①，在四边形中，对角线相交于点E，点是的中点，且；分别连接平分，且与交于点与相交于点． (1)求证：； (2)如图②，若，求的值； (3)当四边形的周长取最大值时，求的值． 17．（本题10分）如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，连接，的面积为，求线段的长． 18．（本题12分）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)如图，直线与抛物线的一个交点为，与直线交于点，点位于线段上，当时，求的值． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． (3)已知点为抛物线上任意一点，． ①证明：的长度等于点到直线的距离； ②已知点，过点作轴的垂线交轴于点，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学九年级竞赛模拟卷（一） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程和一元二次方程的整数根问题，解题的关键是分二次项系数为0和不为0两种情况讨论，对于二次方程通过因式分解转化为整数解的条件求解． 分（一元一次方程）和（一元二次方程）两种情况；当时，直接求解并判断根是否为整数；当时，因式分解方程，利用根为整数的条件确定的可能取值，进而求出整数，统计符合条件的的个数． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，是整数，故符合条件； 当时，方程为一元二次方程，因式分解得，根为和； ∵根都是整数， ∴为整数，即为整数； ∴为2的约数：； 当时，；当时，；当时，；当时，；均为整数，符合条件； 综上，满足条件的整数为，共5个． 故选：D． 2．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A作 ，交延长线于M， 作于N，根据等腰梯形的性质可得，可证四边形是平行四边形，进而可证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，根据三角形的面积可得，根据正弦的定义即可得解． 【详解】解：过A作 ，交延长线于M，作于N， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用图象的信息即可判断①；利用二次函数的对称性和增减性即可判断②；利用二次函数的最值即可判断③；利用直角三角形函数求得，列出交点式，整理成一般式，即可求得，代入求得a的取值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， ∴①的结论错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． ∴②的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∵点是抛物线上一点， ∴，即， ∴③的结论正确； ∵． ∴， ∵若抛物线与y轴的交点为C，且， ∴，即， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， ∴抛物线一定经过点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴④的结论不正确； 综上，结论正确的有：②③， 故选：B． 4．如图，在中,，以点A为圆心,长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 在中，根据两锐角互余求出的度数；由圆的半径相等得，利用等腰的性质求出的度数；进而求出的度数；再结合等腰的性质求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中， ∴ ∵以点A为圆心，长为半径作圆 ∴（圆的半径相等） 在中，∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中，∵ ∴ ∴ 故选：B． 5．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图，作于H，连接延长交于E，作于F，先证明，得到，，进而证得，得到，推出点G在射线上运动，从而可知当时，的值最小；然后通过角的运算和等角对等边得到，接着利用勾股定理和三角形面积求得，通过证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于H，连接延长交于E，作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴，即为定值， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 6．如图，点是反比例函数的图像上一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点，动点在轴的正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，通过解方程组找到交点坐标，利用三角形的性质确定点即可． 【详解】连接并向两端延长 把代入，得 直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点 解得：或 B在点第四象限 设的解析式为： 把代入得： 解得： 的解析式为： 设直线交轴于点 当时， 解得： （三点共线时，取等号） 当运动到时，线段与线段之差达到最大，点的坐标为 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．为锐角，当无意义时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，特殊角三角函数值的应用，根据分式无意义可得，继而求得的值，再代入，最后根据二次根式的加法可得答案．掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵无意义， ∴，即， ∵为锐角， ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图形，已知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为 平方分米． 【答案】320 【分析】本题主要考查了立体图形的表面积．解决问题的关键是熟练掌握立体图形的三视图，根据三视图的面积计算． 该立体图形有10层，一共有5个面涂上了油漆，上表面的面积等于最底层的上表面的面积，周围四个面全等，均为，取这5个面的面积的和即得． 【详解】从“金字塔”图形的三视图可以看出，涂上油漆部分的总面积为， （平方分米）． 故答案为：320． 9．如图，在中，，点P是内的一点，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用旋转的性质，得出，，，再得到是等边三角形，从而可得，再说明，从而可求得． 【详解】解：将绕点顺时针旋转， ∵，， ∴旋转后与重合，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．已知四边形内接于一圆．若，，，则该圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，，由圆内接四边形和得到，则，再根据垂径定理得到，，，，即可得到和是同一条直线，即在上，再由四边形、、都是矩形，得到，，， 设，半径，则，在和中，由勾股定理得到，解方程计算即可． 【详解】解：分别取、的中点、，连接，过作于，过作于，设圆心为，连接，，，， ∵四边形内接于一圆． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、的中点、， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和是同一条直线，即在上， ∵，，，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，半径，则， 中，，则， 中，，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11．如图，等边三角形由甲、乙、丙三种型号瓷砖拼成，其中甲型瓷砖是等边三角形，B、D、E三点共线．若，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了三角形面积关系，等边三角形的性质，一元二次方程的应用，设，则，则可得，设，则可得，根据面积关系列方程即可解答． 【详解】解：设，则， ， 设，则可得， 根据三角形面积公式可得， 根据图形可得，， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，三个顶点A，B，C都在反比例函数的图象上，其中点A，C在第一象限，点B在第三象限，过坐标系原点O，交x轴于点D，连接，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征（点的横纵坐标之积等于反比例函数的比例系数）、三角形面积与线段比例的转化关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线（过A、B作x轴平行线，过C作y轴平行线）构建直角三角形，利用AB过原点得出的等线段关系转化面积比为线段比（），再结合反比例函数坐标特征设出点的坐标，最后通过证明三角形相似求解线段比． 依据题意，分别过 作 轴的平行线，交过 点平行于 轴的直线相交于 ，易证得 ，即可得出 ，根据平行线分线段定理得出 ，故可设 ，则 ，得出 ，从而得出 ，通过证得 ，得出 ，即可求得结论． 【详解】解：由题意，分别过 作 轴的平行线，交过 点平行于 轴的直线相交于 ，与x轴交于点H． 过坐标系原点 ， ． ． ， ． ． 轴， ． 设 ，则 ， ． ． ． ， ． ． 故答案为： ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，可求出，再根据面积求出点，代入即可得到解析式；（2）根据三角形面积相等进行解题，由于和等底同高，可得到，因为，得到，继而可求出，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）令 解得，即点 又 点的纵坐标为 点 双曲线的解析式为． （2）作轴于点轴于点F，则，由双曲线的对称性可知 和同高，设高为 ， 又， ，则， 即， ， 即的横坐标为 代入得点的坐标为． 14．（本题10分）某学校随机选取部分八年级同学进行数学预测卷难度评估，对考试成绩进行统计（成绩均为正数，满分100分）依据数据绘制了如下的统计表和统计图，根据图表解答下列问题： 组别 分数段 频数 频率 1 2 3 4 5 (1)表中的________，________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法求出甲、乙两名同学都被选中频率． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查求频数与频率，频数分布直方图，利用树状图法求概率： （1）根据频数等于总数乘以频率，频率等于频数除以总数进行求解即可． （2）根据（1）的结论补全频数分布直方图； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：总人数为：， ，，， 故答案为：，，，． （2）解：补全频数分布直方图如图， （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为． 15．（本题10分）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，根据二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系来求解是本题解题的关键， （1）当 时，函数为 ．求出抛物线坐标轴交点坐标，进而求出三角形面积； （2）联立二次函数 与直线 ：，得方程，根据线段与二次函数有两个不同的交点，可得函数，与x轴有两个交点，且和3中间．由此可得得顶点在第一象限，当时，，由此解不等式即可； （3）根据对称轴的位置分类讨论，由当时，的最大值为1，最小值，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当 时，函数为 ． 当时，，解得， 所以，点 ， ， ∴ 当时， ，所以 ． （2）∵点 ， ， ∴直线 函数解析式为 ． 联立二次函数 与直线 ：，得 整理得：， ∵线段与二次函数有两个不同的交点， ∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图： ∴当时，，即 ， 解得： 当时，， 当时，，即 ∴， 综上所述： 的取值范围为 （3）∵当 时， 恒成立， ∴当 时，， ∵的图象开口向下，对称轴是，如图： 此时最大值为 当  时，即 ． 解得：， 当 时，即 ． ，不等式组无解； 当 时，即 ． ，不等式组无解； 综上， 的取值范围为 ． 16．（本题10分）已知：如图①，在四边形中，对角线相交于点E，点是的中点，且；分别连接平分，且与交于点与相交于点． (1)求证：； (2)如图②，若，求的值； (3)当四边形的周长取最大值时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质及角平分线的定义证得，则可得出结论； （2）证明和为等腰直角三角形，得出，证明，由相似三角形的性质可得出结论； （3）设，则，由勾股定理得出，解得：，可用表示四边形的周长，根据二次函数的性质可求出时，四边形有最大值，得出，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，，， ∴， ， ， 平分， ， 又， ， ； （2）解：， ， ， 设， ， ， ； ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． （3）解：， ， ， 设， 则， ， ， 解得：， ， ， 为的中点， 又为的中点， ， 四边形的周长为， ， 时，四边形的周长有最大值为10． ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 17．（本题10分）如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，连接，的面积为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长交于M，连接．由是直径，得，由，得，，故； （2）连接，在上任取一点Q，连接、，设，则，得，故，由圆内接四边形对角互补得，再换算即可； （3）过O作，，过D作．由、均为等腰三角形，得，，换算得，故，证明，得，．换算得的面积的面积，得，，由的面积，得，再计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于M，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，连接，在上任取一点Q，连接、． 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过O作，，过D作． ∵、均为等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积， ∴的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴． 18．（本题12分）抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)如图，直线与抛物线的一个交点为，与直线交于点，点位于线段上，当时，求的值． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． (3)已知点为抛物线上任意一点，． ①证明：的长度等于点到直线的距离； ②已知点，过点作轴的垂线交轴于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析，② 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）设，，推导出，，继而得到，，推导出，求出，或（不符合题意），则，或（不符合题，舍去）， 解得，即可解答； （2）作的垂直平分线，交于点E，交x轴于点D，在线段上取，连接， 证明，与都为等腰直角三角形，得到，，求出，，继而推导出直线的解析式为，设点，得到，求出，则以F为圆心，长为半径与对称轴的交点，即为点P，得到，求解即可； （3）①设点Q的坐标为，求出的长与点到直线的距离，再化简求解即可； ②设点Q到直线的距离为d，则，推导出，则， 根据“三角形两边之差小于第三边”，对于，有，当且仅当S，F，Q三点共线且Q在延长线或延长线上时，等号成立，此时， 则的最小值为，最后推导出的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：在抛物线中，令，则， ∴，即 设，， ∴，， ∴， 将代入，得 ， 将代入，得， ∵， ∴，即， 将代入，得 ，即， ∴， 解得，或（不符合题意）， ∴， 解得， 答：k的值为． （2）作的垂直平分线，交于点E，交x轴于点D，在线段上取，连接，如图 有，，， ， ，与都为等腰直角三角形，且 ，， ∴，， 解得， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 则设点， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴ 由抛物线，得对称轴， 设点， ∵， ∴以F为圆心，长为半径与对称轴的交点，即为点P， ∴， 即， 解得， ∴或 （3）①设点Q的坐标为，由，得 点到直线的距离为， ∴ ， 即， ∴的长度等于点Q到直线的距离． ②如图 由①知，的长度等于点Q到直线的距离． 设点Q到直线的距离为d，则， ∵过点Q作x轴的垂线交x轴于点T， ∴的长度为点Q的纵坐标的绝对值，即， ∴，即， ∴． ∴． 根据“三角形两边之差小于第三边”，对于，有，当且仅当S，F，Q三点共线且Q在延长线或延长线上时，等号成立，此时， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为． ∵的最小值为， ∴的最小值为． 综上，的最小值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $