专题10 二次函数的实际应用6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题10 二次函数的实际应用 目录 典例详解 类型一、拱桥类 类型二、经济类——“每每问题” 类型三、经济类——二次函数与一次函数综合 类型四、运动类——落地模型 类型五、运动类——最值模型 类型六、面积类 压轴专练 类型一、拱桥类 【例1】如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是 ． 【答案】 【详解】以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系， 则点， 设函数表达式为：， 把点代入得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 设水位下降到B点时，水面宽增加， 则点， 当时，， 则水面应下降的高度是：． 故答案为：1.5m． 【例2】如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 【变式1-1】某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由题知，二次函数过点， ， 解得， 二次函数解析式为， ， 故答案为：． 【变式1-2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)点A、B的坐标分别为：，． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上 ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 【变式1-3】如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)这串彩灯的最大长度为米 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 类型二、经济类——“每每问题” 【例3】端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1)，； (2)A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元． 【详解】（1）解：由题意可得 ， ； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，由题意得： ∴ ， ∴当时，W取得最大值，为6984元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元． 【例4】某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ (3)该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 【答案】(1) (2)网上销售的价格应定为每件55元 (3)当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得， ， 答：网上销售的价格应定为每件55元； （3）解：设总利润为元， ， 当，即时，（元）． 答：当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元． 【变式2-1】某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 【变式2-2】公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 (3)当售价定为55元时利润最大，最大利润为6250元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要使顾客尽可能得到实惠，取， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． （3）解：设利润为w，则 ， ，函数开口向下， ∴当时，w最大，最大利润为6250元． 【变式2-3】2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元 (2)“哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元； （2）解：设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，根据题意得， ， 又利润率不低于且不高于， ， ， ， 在对称轴右侧随的增大而减小， 时，元， “哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元． 类型三、经济类——二次函数与一次函数综合 【例5】某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为50元/件，在销售过程中发现销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系．物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润w最大？此时的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入，得，解得：． ∵该服饰每件售价不得超过90元， ∴ ∴y与x之间的函数表达式为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 【例6】某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值： (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，利润的最大值为31500元 (3)在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得24000元的利润，护眼贴的销售单价为70元/盒 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将表格中数据分别代入中， 得， 解得， ∴， ∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的， ∴，即， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴利润的最大值为31500元； （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 由(2)可知，， ∴， 将代入中， ∴， 解得或， ∵， ∴， 答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得24 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为70元/盒． 【变式3-1】毛泽东故居景区有一店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)，当每件售价为25元时，每天销售利润最大，最大利润为225元 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为, 由题意得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 由题意得， ∴自变量的取值范围为， （2）解：由题意得， ∵，， ∴当时，W有最大值，最大值为225． 答：当每件售价为25元时，每天销售利润最大，最大利润为225元． 【变式3-2】“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件． (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）． (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 【答案】(1)105 (2) (3)售价每件应定为95元，电商每天可盈利最大，最大值为1250元 【详解】（1）解：∵商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． ∴当销售量为30件时，日销售量增加件，则售价降低元， ∴当销售量为30件时，产品售价为元/件， 故答案为：． （2）解：据题意得：， ∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件， ∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为； （3）解：设电商每天可盈利元， 由题意得，， ∵，， 当时，取最大值1250， ∴当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元． 答：当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元． 【变式3-3】某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 【答案】(1)； (2)线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 由表格可知，当，，当，， ∴，解得：， ∴与的函数解析式； （2）解：当线下销量为个时，线上销量为（个），设全部售完后获得的利润为w元， 根据题意得 ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ∴，解得， ∵， ∴线上销售符合要求， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时线下销售量为（个），线上销售量为个， 答：线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 类型四、运动类——落地模型 【例7】如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，小球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线：的一部分．解答下列问题： (1)求小球到达的最高点的坐标； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)小球M能飞过这棵树，理由见解析 【详解】（1）解：， ∵， ∴最高点的坐标为； （2）解：小球M能飞过这棵树，理由如下： 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴小球M能飞过这棵树． 【例8】如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为．      (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)球能越过球网，球会出界，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得． 故答案为：2； （2）球能越过球网，球会出界，理由如下： 若，时，结合（1）可知该函数解析式为， 当时，可有， ∵， ∴球能越过球网； 当时，可有， ∵， ∴球会出界； （3）根据当球要过网且不擦网而过时，①， 根据当球刚好落在边界时，②， 由②得③， 将③代入①得， 解得． 【变式4-1】如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 【变式4-2】某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 【答案】(1)； (2)抛物线型水柱会落入该圆形水池内，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 由题意得，点的横坐标为3， 将代入，得， 点的坐标为； （2）解：抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 理由如下： 抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高， 设抛物线的函数表达式为， 由（1）知，点的坐标为，将代入中， 得， 解得，（舍去）， 抛物线的函数表达式为． 当水柱落在地面上时，，将代入中， 得， 解得（舍去），， ， 抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 【变式4-3】【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 类型五、运动类——最值模型 【例9】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为． 应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔． (1)写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少? (2)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度． 【答案】(1)，当时，有最大值为 (2) 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，即， ∵，， ∴当时，有最大值为， 即当时，有最大值为； （2）解：设垫高的高度为， 则， ∵ 当时，， ∴， ∴垫高． 【例10】在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】(1)；4 (2)不能，前进或后退 【详解】（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 【变式5-1】高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)10米 【详解】（1）解：以小美击球点O为坐标原点，则顶点为； 设抛物线的解析式为． 把原点代入中得：， 解得， 则抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设为，则为， 由题得： 解得 ，， ， ， 把代入中得， 小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点 （3）解：由题知，， 设直线的解析式为 把，代入得：， 解得：， ∴． ∴ ， ∵， ∴时，有最大值10米． 【变式5-2】如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析， (2)圆形浇灌区域的最大面积为 【详解】（1）解：如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，垂直于为轴建立平面直角坐标系，此时点，，顶点坐标为． 设抛物线的表达式为． 将点代入，得，解得， 抛物线的表达式为． （2）， 当时，圆形浇灌区域的面积最大． 当时，即将抛物线向上平移1.5个单位长度，得到的新抛物线的表达式为． 令，则，解得，（舍去）， 以点为圆心，为半径的圆形浇灌区域的面积为， 圆形浇灌区域的最大面积为． 【变式5-3】如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． (1)求n的值； (2)若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不同意．理由见解析 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：①当时，， ， ， ∴将点代入=， 得， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为； ②不同意．理由： 设与之间的距离为h， ， ， 当时，， 又当小球运动到小山坡AB的坡顶正上方时，，此时， ∴嘉淇的观点不正确． 类型六、面积类 【例11】综合与实践 数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究． 如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，． (1)操作判断  与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______． (2)性质探究  当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米． (3)拓展应用  设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置． 【答案】(1)相等；垂直；相等 (2)见解析 (3)（），当时，存在最小值． 【详解】（1）由折叠得， ∴ 又∵ ∴，即 又∵ ∴ ∴； 由折叠得，垂直 如图所示，过点F作于点I ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴与的关系是相等，飞行路径与折线的位置关系是垂直，飞行路径与折线的数量关系是相等； （2）过点B作 由（1）知 ， ， ， ， ∴的周长； （3）过点F作 设 在中 ∴当时，S存在最小值． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键． 【例12】小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． (1)请求出b和n的值； (2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； (3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)的面积最大时，点P的坐标为． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得：，； （2）解：联立得， 解得，， 当时为原点，舍去， 将代入得， ∴点M的坐标为； （3）解：过P点作y轴的平行线，交线段于Q． ∵M的坐标为， ∴直线的解析式为：， ∴设，，， ， ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积最大．此时点P的坐标为． 【变式6-1】在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角(墙角两边 和 足够长)，用长的篱笆围成一个矩形劳动基地(篱笆只围和两边)，设，则． (1)求 y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形劳动基地的面积为时,求的长； (3)如果在点 P 处有一棵树(不考虑粗细)，它与墙 和 的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部(含边界)，试求矩形劳动基地面积的最大值． 【答案】(1) (2)长为或 (3)矩形劳动基地最大值为 【详解】（1）由题意得， ， y与x之间的关系式是； （2）令， 则 ， 解得或， 长为或； （3）点P在矩形内部， ， 解得， ， 当时，y取最大值为， 答：矩形劳动基地最大值为． 【变式6-2】为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为．    (1)当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①求x的取值范围； ②如何分配甲乙两种花卉的种植面积，才能使得植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)①，②甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元 【详解】（1）解：当时，， 当时，设， 把代入得：， 解得：， ， ； （2）解：①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为， ∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴， 解得， ②当时，， ， ∴当时，w最小，最小为（元）， 当时，， ，对称轴为直线，且， 时，w取最小值，最小为（元）， ， ∴当时，w取最小值，最小为5625元， 此时， 答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元． 【变式6-3】许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点．设抛物线表达式为．       (1)求a和c的值； (2)在某次打开过程中，发现伞面边缘E，F分别在伞骨，的延长线上，求直径所在圆的面积． 【答案】(1)， (2)平方分米 【详解】（1）∵， ∴， 把和代入， 得，解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：， 解得：，或， ∴点F坐标为； 抛物线的对称轴是y轴， ∴点E的坐标为， ∴（分米）． 直径所在圆的面积为：平方分米． 1．小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 【答案】D 【详解】解：∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为，即小明投掷实心球的成绩为． 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元．以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，每盆植 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植 株． 【答案】 7 7或9 【详解】解：设每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元， 则根据题意得：， ∵a为偶数，， ∴当时，取得最大值， （株）； ∵当时， 当时，， 当时，， ∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株． 故答案为：7，7或9． 4．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1)； (2)当为，为时，矩形场地的面积为 (3)当时，矩形场地的面积最大为 【分析】 【详解】（1）由可知边所用篱笆为， ∴， ∴， 墙的长度不超过， ， ； （2）在中， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ， 当为，为时，矩形场地的面积为； （3），且， 当时，y取最大值，即矩形场地的面积最大为． 5．怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为． (1)设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值； (2)若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值． 【答案】(1)35000元 (2)当时，取得最小值，最小值为30200元 【分析】 【详解】（1）解：①当时， ， ， 当时，取得最大值，最大值为35000元. ②当时， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为31800元， ， 的最大值为35000元． （2）解：由题意，得， 解得， 又， ， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为30200元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的增减性求最值，利用配方法求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及其性质是解题的关键． 6．一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为， 设水流抛物线的解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴水流抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意舍去）， ∴， ∴水流喷出的最远距离为 （3）解：令得， 解得，，（舍去） ∴当抛物线经过点F时， 此时点C的横坐标为， ∴， 当抛物线经过点E时， 此时点C的横坐标为， ∴， 综上可知，时，水杯可以接到水． 7．一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【答案】(1) (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为； (3)应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，采用最大功率灌溉时，抛物线的顶点坐标为， 设喷出的抛物线形水柱的解析式为， 将代入， 得，解得， 此时抛物线形水柱的解析式为； （2）解：设坡面的函数解析式为，由坡度为可知， 当时， ，即， ∴坡面的函数解析式为， 令， 解得，， 又∵， ∴， 设抛物线上一点， 如图，过点P向x轴作垂线，交于点Q，则， ∴， 其中， ∵，其中， ∴当时，最大，最大值为， 答：水柱与坡面之间的最大铅直高度为； （3）解：设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 将代入，得， ∴， 将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 8．某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为元时，可获得最大月利润，最大月利润为元 (3)销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利 【分析】 【详解】（1）解：（1）①当时，根据题意得， 整理得：， ②时，根据题意得， 整理得， 综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：． （2）解：由（1）得：， ∴，开口向下，有最大值， ∴对称轴为：， ∴当时，取最大值， （元） 答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元． （3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利， ∴，即． ∵令， ∴解得，， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， ∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利． 9．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 10．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点， 可设该抛物线的表达式为，代入点， ， 解得， 轨道AB所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得． 由题意，易得． ， ， ． 设点，则点， ． 设轨道两侧需要的支架材料的长度为， ． 当时，的最小值为． 答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m． 11．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)18元； (3)售价为28元时，每天获利最大为2210元． 【分析】 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把代入得： ， 解得：， y与x的函数关系式为：； （2）解：根据题意知，， 整理得： 解得：或， 要让消费者得到实惠， ， 答：该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为18元； （3）解：设该超市每天获利W元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，W随x的增大而增大， 时，W最大值（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 12．投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， 解得：， 篮球飞行路线的表达式为：； （2）解：作于点，则，四边形是矩形， ， 由题意得：， ， 设点的坐标为，      解得：，不合题意，舍去， ， 由题意得：， ， ， 答：投篮机支架的长度为米； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数的实际应用 目录 典例详解 类型一、拱桥类 类型二、经济类——“每每问题” 类型三、经济类——二次函数与一次函数综合 类型四、运动类——落地模型 类型五、运动类——最值模型 类型六、面积类 压轴专练 类型一、拱桥类 【例1】如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是 ． 【例2】如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【变式1-1】某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度 ． 【变式1-2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【变式1-3】如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 类型二、经济类——“每每问题” 【例3】端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） (1)若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式； (2)物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【例4】某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ (3)该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 【变式2-1】某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【变式2-2】公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ (3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【变式2-3】2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 类型三、经济类——二次函数与一次函数综合 【例5】某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为50元/件，在销售过程中发现销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系．物价部门规定：该服饰每件售价不得超过90元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润w最大？此时的最大利润为多少元？ 【例6】某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值： (3)若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 【变式3-1】毛泽东故居景区有一店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式3-2】“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件． (2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）． (3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？ 【变式3-3】某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 类型四、运动类——落地模型 【例7】如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，小球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线：的一部分．解答下列问题： (1)求小球到达的最高点的坐标； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【例8】如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为．      (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【变式4-1】如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【变式4-2】某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 【变式4-3】【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 类型五、运动类——最值模型 【例9】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为（单位：），如果在离水面竖直距离为（单位：）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）（单位：）与的关系式为． 应用思考：现用高度为的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离处开一个小孔． (1)写出与的关系式；并求出当为何值时，射程有最大值，最大射程是多少? (2)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程达到，求垫高的高度． 【例10】在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【变式5-1】高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离米，，洞口C距离坡脚A的距离米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米． (1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式； (2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由； (3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度． 【变式5-2】如图1，这是一款智能浇灌系统，水管垂直于地面并可以随意调节高度（的最大高度不超过1.5m）．浇灌花木时，喷头P会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流的落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流的落地点形成一个以点O为圆心，为半径的圆形浇灌区域（区域内均能被浇灌到）．当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2所示的抛物线．经测量，，水流最高时距离地面0.1m． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)当调节水管的高度时，圆形浇灌区域的面积会发生变化，请你求出圆形浇灌区域的最大面积．（结果保留π） 【变式5-3】如图，小山坡可近似的看成抛物线的一部分，建立恰当的平面直角坐标系，A的坐标为，一小球从离A点3米的点C处以一定的方向弹出，小球的飞行路线为抛物线的一部分，落在山坡的点D处（点D在小山坡的坡顶的右侧）． (1)求n的值； (2)若点D到的距离为12米． ①求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）； ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡的坡顶正上方时，小球到小山坡的竖直距离最大”，你同意嘉淇的观点吗，说明理由． 类型六、面积类 【例11】综合与实践 数学兴趣小组对无人机飞行轨迹进行数学建模探究． 如图所示，现有一架无人机在边长为6米的正方形空域内飞行．无人机从边上的点起飞（不与，重合）．飞行轨迹形成折线，将正方形沿翻折，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，连接，． (1)操作判断  与的关系是______，飞行路径与折线的位置关系是______，飞行路径与折线的数量关系是______． (2)性质探究  当起飞点在边上移动时：求证：的周长恒定为12米． (3)拓展应用  设米，无人机信号反射区域的面积为，求出与的函数关系式．为保证信号强度，反射区域面积需最小化，求的最小值及对应的起飞位置． 【例12】小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． (1)请求出b和n的值； (2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； (3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标． 【变式6-1】在“校园劳动节”活动中，某劳动小组借助如图所示的直角墙角(墙角两边 和 足够长)，用长的篱笆围成一个矩形劳动基地(篱笆只围和两边)，设，则． (1)求 y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当矩形劳动基地的面积为时,求的长； (3)如果在点 P 处有一棵树(不考虑粗细)，它与墙 和 的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形劳动基地内部(含边界)，试求矩形劳动基地面积的最大值． 【变式6-2】为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为．    (1)当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①求x的取值范围； ②如何分配甲乙两种花卉的种植面积，才能使得植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【变式6-3】许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点．设抛物线表达式为．       (1)求a和c的值； (2)在某次打开过程中，发现伞面边缘E，F分别在伞骨，的延长线上，求直径所在圆的面积． 1．小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 2．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 3．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元．以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，每盆植 株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植 株． 4．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)怎样围才能使矩形场地的面积为？ (3)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 5．怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为，种草所需费用（元）与的函数解析式为；栽花所需费用（元）与的函数关系式为． (1)设这块空地的绿化总费用为（元），请利用与的函数关系式，帮社区求出的最大值； (2)若种草部分的面积不少于，栽花部分的面积不少于，请求出的最小值． 6．一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 7．一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 8．某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]． (1)求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？ (3)销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？ 9．赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 10．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 11．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元千克，如果售价为20元千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元千克）之间存在一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天要获得利润810元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定为多少元？ (3)若樱桃的售价不得高于28元千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 12．投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $