第二十六章二次函数（单元测试·提升卷）数学沪教版五四制九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 二次函数·提升能力 建议用时：100分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 3．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 9．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 10．无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点 ． 11．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 12．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 13．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 14． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 15．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 16．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 17．如图，在梯形中，，，，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．若点P在线段上运动时，点E总在线段上，则m的取值范围是 ． 18．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则 ． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 22．已知抛物线过点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线． (1)求此抛物线的表达式及点D的坐标； (2)连接，求证：； (3)点P在y轴上，且与相似，求点P的坐标． 23．某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 25．小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章 二次函数·提升能力 建议用时：100分钟，满分：150分 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 2．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【解析】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 3．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 4．如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【解析】解：∵图象可知该抛物线开口向上，与y轴的交点位于x轴下方， ∴，． 又∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵与关于对称，时， ∴时，， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 故④正确． ∴有①③④正确． 故选：D． 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 6．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 2、 填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【解析】解：∵将抛物线向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：． ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 【答案】 【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线为，即 ， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，． 故答案为：． 9．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 10．无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点 ． 【答案】 【解析】解：二次函数解析式可化为， 令，则， ∴， ∴无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点， 故答案为：． 11．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 12．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【解析】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【解析】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 14． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 15．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【解析】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 16．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【答案】 【解析】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 17．如图，在梯形中，，，，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．若点P在线段上运动时，点E总在线段上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵， 设，，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴，整理得， ∴ ， ∴当时，y取最大值，最大值为， ∵当时，解得，故的最大值为； 又∵， ∴； 故答案为. 18．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则 ． 【答案】 【解析】解：，两点为一对“点”， ，且点，都在二次函数图象上． 将点的坐标代入二次函数， 得， 解得． 二次函数的表达式为． 二次函数图象的对称轴为直线， 当时， ， 顶点纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， ， ． 当时， ， 点的纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， 此时不成立，含去． 综上所述，． 故答案为：． 3、 解答题（本大题共7小题，共78分） 19．已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：将，代入二次函数的解析式中， 得， ∴； （2）∵函数图象经过点， ∴将该点坐标代入，得，即， ∴，即， ，即， 又∵，， ∴，，解得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【解析】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)抛物线的顶点D位于内，a的取值范围是 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为且， 将点C的坐标（0，3）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设交y轴于点E，    ∵、， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵点P在第三象限， ∴， 设直线的解析式为：且， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线和二次函数相交时：， 解得：，， 代入一次函数可得交点坐标为或， ∵点P在第三象限， ∴； （3）解：∵抛物线经过A、B两点， ∴对称轴是：直线， 由、，可得直线的解析式为：， 可知当时，， 设抛物线的解析式为且， 令可得其顶点坐标为， 当顶点坐标刚好在直线上时可得：，则， 由图可知当抛物线的顶点D位于内时，其顶点纵坐标取值范围：， ∴； 22．已知抛物线过点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线． (1)求此抛物线的表达式及点D的坐标； (2)连接，求证：； (3)点P在y轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2)见解析 (3)点P的坐标是 【解析】（1）解：抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得，    抛物线的表达式为， 当时，， 点D的坐标为； （2）证明：如图，过D作轴， 点D的坐标为， 在中； 将代入，得：， 点B的坐标为， 在中； ， ； （3）解：∵与相似，而为直角三角形， ∴也为直角三角形， ∴情况1：若， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 但此时，， ∴， 又， ∴与不相似， ∴此时点P不存在． 情况2：如图，若，作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 此时，，，且， ∴与相似， 即当时，使得与相似． 情况3：若， 设，则， 即， 得， ∵， ∴无解， ∴点P不存在． 综上所述，点P的坐标是． 23．某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少l件 (2)定价为或元 (3)定价元 【解析】（1）解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少l件； （2）解：设每件产品涨价元，则销售价为元，日销售量为件， 依题意得，， 解得，，， ∴每件产品涨价或元，即定价为或元时，每日盈利可达到； （3）解：设每日盈利元，每件产品涨价元， 依题意得，， ∵， ∴当时，盈利最大， ∴每件商品定价为元时，每日盈利可达到最大值元． 24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解：如图： ∵顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， 将点代入，， 解得， ∴； （2）解：∵P点横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 直线的解析式为， ∴， ∵轴， ∴， 解得或（舍）； ∵点Q的坐标为， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴Q点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到M点， ∴A点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∵点N与点Q的纵坐标之和为0， ∴， 解得； （4）解：过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 25．小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【解析】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章·提升能力（参考答案） 一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B 0 0 B 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分) 7.(-2,-2) 8.月 9.y=-2(x-2)2-1 10.(-1,5) 11.a>3 12.4 13.（±2,4)或(2,2) 14.34% 15.写 16.827 17.0<m≤23 18. 三、解答题（共9小题，共78分） 19(10分). 【解析】(1)解：将x=0,y=4代入二次函数的解析式y=x2+bx+b2中， 得b2=4, ∴b=士2；(4分) (2)函数图象经过点(a,1), 将该点坐标代入，得a2+ab+b2=1,即a2+b2=1-ab, :a2+2ab+b2=1+ab,即(a+b)2=1+ab,(6分) a2-2ab+b2=1-3ab,即(a-b)2=1-3ab, 又(a+b)2≥0，(a-b)2≥0， 1/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1+ab≥0,1-3ab≥0，解得-1≤ab≤3(8分) .t ab-a2-b2, t=ab-(a2+b2)=ab-(1-ab)=2ab-1, ”1≤ab≤ -2≤2ab≤号 -3≤2ab-1≤号 -3≤t≤-京(10分) 20.(10分) 【解析】(1)解：将点A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得-1-b+3=0, 解得b=2;(4分) (2)解：过点M作MH⊥AB于点H. Y M B H 令x=0,则y=3, .C(0,3),(6分) ∠MAB=∠AC0,∠AHM=∠C0A=90°， ∴△AHM~△COA, 2=册=号(8分) 设M(t,-t2+2t+3),则MH=-t2+2t+3,AH=t+1, t+1=3(-t2+2t+3), 整理，得3t2-5t-8=0, 由32-5t-8=0,得1=-1（舍，t2= ·点M的横坐标为(10分) 2/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 21.(10分) 【解析】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1)且a≠0， 将点C的坐标(0,3)代入得：-3a=3, 解得：a=-1, 抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1)=-x2+2x+3;(2分) (2)解：如图1，设PB交y轴于点E, A E 图1 B(3,0)、C(0,3), .0B=0C=3, 2C0B=90°， ∠0CB=L0BC=45°，(4分) 又~LACB=∠PBC, :.∠ACB-∠OCB=∠PBC-∠OBC,即∠OCA=∠PBO, az0CA=an4PB0,即2-86， 写- 0E=1, ~点P在第三象限， E(0,-1),(6分) 设直线PB的解析式为：y=kx+b且k≠0， 把BE(0,-1)和B(3,0)代入得：{3+b0, 解得： 直线PB的解析式为：y=-1, 当直线PB和二次函数相交时：x-1=-x2+2x+3, 3/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：1=3，x2=-3 代入一次函数可得交点坐标为P(3,0)或P(-,-), ~点P在第三象限， P(-音-》(8分) (3)解：抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点， 对称轴是：直线x=1+3=1, 2 由B(3,0)、C(0,3),可得直线BC的解析式为：y=-x+3, 可知当x=1时，y=2,(9分) 设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1)且a≠0， 令x=1可得其顶点坐标为(1，-4a, 当顶点坐标刚好在直线BC上时可得：-4a=2,则a=-2 由图可知当抛物线的顶点D位于△B0C内时，其顶点纵坐标取值范围：0<-4a<2, <a<0,(10分) 22.(10分) 【解析】(1)解：抛物线y=ax2-x+c过点A(-6,0),对称轴是直线x=-2, (36a+6+c=0 -1 =-2’ 2a 解得a- 1 (c=34, 抛物线的表达式为y=-2-x+3, 当x=-2时，y=-4×(-2)2-(-2)+3=4, .点D的坐标为(-2,4)；(2分) (2)证明：如图，过D作DH⊥x轴， D A HO 点D的坐标为(-2,4)， 4/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△Di0中an∠A0D=8册==2： 将x=0代入y=2-x+3,得：y=3, 点B的坐标为(0,3)， :在△A0B中a2AB0=8胎-合=2： 'tanAOD=tan∠ABO, .∠A0D=∠AB0;(4分) (3)解：~△ADP与△AOB相似，而△AOB为直角三角形， .△ADP也为直角三角形， ∴情况1：若∠DAP=90°， D(-2,4),A(-6,0), ..DH AH=4, ∴∠DA0=45°， .∠0AP=45°， P(0,6), 但此时AD=VAH2+DHZ=42,AP=VA02+P02=6V2, AD 2 那=3 器= .△ADP与△AOB不相似， 此时点P不存在.(6分) 情况2：如图，若∠ADP=90°，作PE1DH于点E, D HO D(-2,4,A(-6,0), .∠ADH=45°， .∠HDP=45°， PE⊥DH, 5/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DEP是等腰直角三角形， .DE =PE OH=2, .0P=EH=DH-DE=4-2=2, ∴P(0,2), 此时，器=是-专岩=且ADp=A0B, ·.△ADP与△AOB相似， 即当P(0,2)时，使得△ADP与△AOB相似.(8分) 情况3：若LAPD=90°， 设P(0,),则AP2+PD2=AD2, 即36+t2+4+(t-4)2=32, 得t2-4t+12=0, A<0, 无解， …点P不存在， 综上所述，点P的坐标是(0,2).(10分) 23.(12分) 【答案】(1)售价每上涨1元，日销售量就减少1件 (2)定价为150或170元 (3)定价160元 【解析】(1)解：由表格可知，售价每上涨1元，日销售量就减少1件；(2分) (2)解：设每件产品涨价x元，则销售价为(130+x)元，日销售量为(70-x)件， 依题意得，(130+x-120)(70-x)=1500, 解得，x1=20,x2=40, 每件产品涨价20或40元，即定价为150或170元时，每日盈利可达到1500；(7分) (3)解：设每日盈利w元，每件产品涨价m元， 依题意得，w=(130+m-120)(70-m=-m2+60m+700=-(m-30)2+1600, .a=-1<0, ∴当m=30时，盈利最大， 每件商品定价为160元时，每日盈利可达到最大值1600元.（12分) 6/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 24.(12分) 【解析】(1)解：如图： VA H G A 顶点A的横坐标为1， -2b=1, b=-2, y=x2-2x+c, 将点(3,1)代入，9-6+c=1, 解得c=-2, y=x2-2x-2;(3分) (2)解：P点横坐标为m, P(m,m2-2m-2), 设直线PQ的解析式为y=kx+b', m62子。 k=m2-2m-3 解得 -m+1 b'=m2-2m-2-mm2-2m-3)’ -m+1 直线PQ的解析式为y=m3-2m3x+m2-2m-2-mm2-2m-》, -m+1 -m+1 ∴M(1,2m2-4m-5), QM⊥y轴， .2m2-4m-5=1, 解得m=3或m=-1(舍)： 点Q的坐标为(2m-1,1), Q(5,1);(6分) (3)解：~四边形AQMN是平行四边形， 719 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Q点向左平移-2m+2个单位长度，向上平移2m2-4m-6个单位长度得到M点， ∴4点向左平移-2m+2个单位长度，向上平移2m2-4m-6个单位长度得到N(3-2m,2m2-4m-9), 点N与点Q的纵坐标之和为0， .1+2m2-4m-9=0, 解得m=1±V5;(9分) (4)解：过点Q作HGIy轴，过点M作MH⊥HG交于H点，过点A作AG⊥HG交于G点，如图： A LMQA=90°， .∠MQH+∠AQG=90° LMQH+∠QMH=90°， ∴.∠AQG=∠QMH, ∴.△MHQ~△QGA, 器-0即-m9 4 2m-2 解得：m=1±22.(12分) 25,(14分) 【解析】(1)解：将点A(0,④，B(8,4分别代入y=2+bx+c(0≤x≤8)中， 当x=0时，c=4,当x=8时，-6×82+8b+c=4, 解得，b=子c=4, y=22++4=60x-42+5, 对称轴为直线x=4;(4分) (2)解①投影可由第一条彩虹向右平移m千米，向上平移n千米得到，投影左端点为点C,右端点为点 D,太阳光穿过点B(8,4和点D,落在前置摄像头上， ∴设D(8+m,4+n),设直线0B:y=kx(k≠0)， B(8,4), 8/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4=8趾，解得k=月 直线0By=X, 1 ~点D在直线OB上， 4+n=(8+m), m=2n;(8分) ②第一条彩虹的解折式为：y=品2+字+4=之x-42+5, …对称轴为直线x=4, 1 投影的解析式为：y=-16(x-4-m)2+5+n, 把无人机（看做一点P),无人机在原彩虹的对称轴上， c(m-元m2+m+4)（10分) 在直线x=4上取点M,作直线MB,令直线MB平行于x轴，过点D作DN⊥MB于N, D B 0 ..BN=m,BM=4 器- 0=12分) DN平行于PM, .△BMP△BND 职-器即- m=5 c(5,78) 投影的解折式为：y=己x-4m2+5+n=乙-452+5+总=之x-9列2+ .(14分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十六章·提升能力 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 3．下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为直线，下列判断中：①；②；③；④．其中正确的结论序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 5．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得新抛物线的顶点为，与轴交点为，则 ． 9．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 10．无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点 ． 11．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 12．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 13．在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 14． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 16．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 17．如图，在梯形中，，，，，，P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过P作交所在直线于E．若点P在线段上运动时，点E总在线段上，则m的取值范围是 ． 18．约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 22．已知抛物线过点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴是直线． (1)求此抛物线的表达式及点D的坐标； (2)连接，求证：； (3)点P在y轴上，且与相似，求点P的坐标． 23．某种新产品进价是元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系． 每件售价（元） 每日销售量（件） (1)请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系； (2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划：每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到； (3)每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到最大值？ 24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 25．小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $