精品解析：辽宁省大连市甘井子区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（A卷）

2025-2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（A） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 6. 将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线与x轴有公共点，则a的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ） A. 40海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 ___． 12. 在中，，，则的度数是______． 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 14. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 15. 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形的边在线段上，点在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，则抛物线平移的距离为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 18. 如图，，两点在二次函数与一次函数图像上． （1）求的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使时，自变量的取值范围 　　． 19. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0．1米）（参考数据：，，，，，） 20. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 21. 如图，在中，是上的高，， （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23. 抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性随堂练习 九年级数学（A） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间为120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求三角函数,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键. 根据图形找到对边和邻边，利用勾股定理求出斜边，根据正弦的定义进行解答即可. 【详解】解：如图， 在中， ∴ ， 故选：A 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 河堤横断面如图所示，米，迎水坡的坡度是1：2（坡度是坡面的铅直高度与水平宽度之比），则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 【答案】D 【解析】 【分析】中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，即，通过解直角三角形可得答案. 【详解】解：∵迎水坡的坡度是1：2， ∴，而， ∴（米）． 故选D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记坡度的含义是解本题的关键. 6. 将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线，即可作答． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得， 故选：C． 7. 若抛物线与x轴有公共点，则a的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可确定．再根据抛物线与x轴有公共点，可知与其相关的一元二次方程有实数解，最后根据一元二次方程根的判别式列出关于a的不等式，求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴有公共点， ∴方程有实数根，且， ∴， 解得：． 综上可知a的取值范围是且． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数与一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数等知识．理解二次函数图象与x轴有交点，则其相应一元二次方程有实数解是解题关键． 8. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ） A. 40海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【详解】∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向， ∴∠BAP=37°， ∵AP=40海里， ∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里； 故选D． 9. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法使方程左边成为完全平方式的形式即可． 【详解】解：∵方程, ∴配方需加于两边, 得, 即. ∴变形后结果为． 故选：C. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．由抛物线开口方向判断①结论；由对称轴可判断②结论；由函数的对称性和增减性判断③结论；由抛物线的对称性即可判断④结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ，①结论正确； 抛物线的顶点为， 对称轴为直线， ， ，②结论正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点为， 另一个交点为， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ，③结论正确； 抛物线与轴的交点为，且轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 若点在此抛物线上且，则或，④结论错误； 即正确结论的序号是①②③， 故选：C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，然后求出y的值，即可以得到与y轴的交点坐标． 【详解】令 则 抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的特点（）是解题的关键． 12. 在中，，，则的度数是______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 14. 长是4米的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了______米 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BO，再利用30°的直角三角形的性质得到CO，再利用勾股定理求出DO，相减可得BD． 【详解】解：由题意知： AB=CD=4，∠AOB=90°，∠BAO=45°，∠DCO=60°， ∴AO=BO， 在△AOB中，， 解得：AO=BO=， ∵∠DCO=60°， ∴∠CDO=30°， ∴CO=CD=2， ∴DO=, ∴BD=DO-BO=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解实际情境，灵活运用勾股定理． 15. 如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形的边在线段上，点在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，则抛物线平移的距离为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数的性质，平移变换，掌握相关图形的性质和平移的性质是解题的关键． 连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到点P是的中点，求得，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点P，连接，取的中点Q，连接， ，抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， ， 直线平分矩形的面积， 直线过点P， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 点P是的中点， ， ， ，， 抛物线向右平移的距离是3个单位． 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程化为 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为 ∴或 ∴，． 17. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴． ∴． ∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=． ∴DE=CE﹣CD=． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键． 18. 如图，，两点在二次函数与一次函数图像上． （1）求的值和二次函数的解析式． （2）请直接写出使时，自变量的取值范围 　　． 【答案】（1），二次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，利用图像法解不等式， （1）将代入可求出的值；将，代入可得关于，的方程组，求解即可； （2）结合图像可得出符合的的值； 熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，图像法解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得：， ∵，两点在二次函数的图像上， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴，二次函数的解析式为； 【小问2详解】 由图像可知，当时，二次函数的图像在一次函数图像的下方， ∴当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 19. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为2米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端B到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到0．1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）真空管上端B到水平线的距离为 （2）安装热水器的铁架水平横管的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，利用进行求解即可； （2）利用，求出的长，根据，以及，求出的长度，再根据，求出的长，再用即可求出的长度． 【小问1详解】 解：过点作交于点， 由题意，得：， ∴； ∴真空管上端B到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：安装热水器的铁架水平横管的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 20. 如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，是上的高，， （1）求证：； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是上的高， ∴， ∴，， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，垂直定义，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于，所以根据正切和余弦的概念证明； （）设，，然后利用题目已知条件解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 23. 抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，点O是坐标原点，． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B画直线，交抛物线于点D，交y轴正半轴于点E． ①若点C与点E之间的距离为m，点D的横坐标为n，求m与n之间的数量关系； ②过点A作的平行线交直线于点F，当时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点D的坐标为 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数表达式及二次函数图象与性质． （1）用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）①先求出，则，即可得出结论；②先求，作轴，取中点N，连接，则是的中位线，进而求出F点的坐标为，代入直线解析式求出结论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴负半轴交于点C，点B坐标为，． ∴C点坐标为， 将，代入抛物线解析式，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图1，点D的横坐标为n，则D点坐标为，点B坐标为， ∴设，代入B，D两点坐标, ， 解得：， ， ∴， ∴， 即； ②∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴令，解得或， ∴A点坐标为， ∵， 设直线的解析式为， 把点代入解析式，得， ∵， ∴设直线的解析式为， 把A点坐标代入上式，得：， ∴， ∴， ∵， ∴点F是的中点， 作轴，取中点N，连接， ∴是的中位线，如图2所示， 设D点坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴F点的坐标为， ∵点F在直线上， ∴将点F坐标代入中， 得：， 解得（舍去）或， ∴点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $