专题11 二次函数的平移、对称、旋转问题4大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题11二次函数的平移、对称、旋转问题 目录 典例详解 类型一、平移问题 类型二、对称问题 类型三、翻折问题 类型四、旋转问题 压轴专练 类型一、平移问题 平移方向 一般式（） 顶点式（） 口诀 左移个单位 左加 右移个单位 右减 上移个单位 上加 下移个单位 下减 【例1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．阴影部分的面积为4 D．若，则 【例2】若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为 ． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【变式1-3】二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点． (1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点． 类型二、对称问题 【例3】已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小値3 D．最大值3 【例4】感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为 ．    【变式2-1】设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【变式2-2】把二次函数的图象关于y轴对称，再向右平移1个单位长度后得到的图象的表达式为 ． 【变式2-3】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 类型三、翻折问题 变换方式 变换后解析式 口诀 沿x轴翻折 变号，不变 沿y轴翻折 变号，不变 【例5】定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值y的取值范围是 ①求a和b的值； ②将该抛物线在间的部分记为G，将G在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求t的取值范围． 【变式3-1】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 【变式3-3】如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴是，线段平行于轴，交抛物线于点，抛物线与轴交于点、点，连接，交于点，交轴于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在坐标平面内找点，使与全等（找出所有符合条件的点，并直接写出你所找出的点的坐标）； (3)将沿翻折，与部分重叠，求重叠部分的面积． 类型四、旋转问题 变换方式 变换后解析式 口诀 绕顶点旋转180° 变号，不变 绕原点旋转180° 均变号 【例7】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值． (3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标． 【变式4-1】如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．现将抛物线：，绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，则t的值为 ． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 【变式4-3】如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 2．如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 4．如图，抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    6．如图，两点在一次函数与二次函数的图象上．    (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量x的取值范围为_________． (3)所求的抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为_________． 7．已知二次函数，点，在该二次函数图象上． (1)若， ①求该二次函数的解析式； ②若二次函数图象交轴于点，求的面积． (2)若，点在二次函数的图象上，将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线，探究直线与抛物线的交点个数． 8．已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________； (3)抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； (4)将该抛物线在间的部分记为G，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，直接写出t的取值范围． 10．如图，对称轴为的抛物线经过，，与轴正半轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)是否为轴上方抛物线上使以为底边的三角形面积最大的点？请说明理由． (3)在对称轴上求出点，使线段绕点旋转后，点的对应点恰在抛物线上． 11．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二次函数的平移、对称、旋转问题 目录 典例详解 类型一、平移问题 类型二、对称问题 类型三、翻折问题 类型四、旋转问题 压轴专练 类型一、平移问题 平移方向 一般式（） 顶点式（） 口诀 左移个单位 左加 右移个单位 右减 上移个单位 上加 下移个单位 下减 【例1】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．阴影部分的面积为4 D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，故A不正确； ∵时，， ∴，故B不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴阴影部分是平行四边形，且平行四边形的底是2， ∵函数顶点C的纵坐标为， ∴最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：，故C正确； ∵，， ∴，故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，平行四边形的性质等知识，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 【例2】若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点，抛物线的对称轴为直线， ∵将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后得到点D， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵的周长最小， ∴点在直线上， 将代入可得， ∴． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小， ∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 【变式1-3】二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点． (1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点． 【答案】(1)；当时， (2)新抛物线与坐标轴的交点为，， 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为， 抛物线过， ， 解得． ，即． 关于直线的对称点为， 当时，； （2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位， 则新图象顶点为， 由顶点式，可得， 当时，； 当时，， 新抛物线与坐标轴的交点为，，． 类型二、对称问题 【例3】已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小値3 D．最大值3 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，顶点坐标为， ∴顶点坐标关于x轴对称点的坐标为， ∴新二次函数的关系式为， 当时，新二次函数有最小值． 故选：B． 【例4】感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为 ．    【答案】 【详解】解：设任意点关于直线对称的点，交于，过作轴于，过作轴于，连接，，则，，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设二次函数的图象上有任意一点，则点与关于直线对称的点为，若两图象相交于，，，四点， ∴二次函数的图象与关于直线对称的图象解析式为，， 联立，两个方程相减后整理得， ∴或， 当时，联立，解得或， ∴，， ∴， 当时，联立，解得或， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式2-1】设一次函数的图象为，二次函数图象的对称轴为l，则关于l对称的图形对应的函数关系式为 ． 【答案】 【详解】解：对于， 当时，；当时，则，解得； ∴经过点和， ∵二次函数图象的对称轴为l， ∴l为直线， ∴点和关于l对称的点坐标分别为和， ∵是关于l对称的图形， ∴是一次函数，且经过点和， 设的函数关系式为， 代入点和，得， 解得， ∴的函数关系式为， 故答案为：． 【变式2-2】把二次函数的图象关于y轴对称，再向右平移1个单位长度后得到的图象的表达式为 ． 【答案】 【详解】∵二次函数的顶点坐标为， ∴关于y轴对称的二次函数的顶点坐标为 ∴再向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为， ∴所得函数解析式为． 故答案为： 【变式2-3】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2)； (3)． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 顶点坐标是， ，， 二次函数解析式为， 又点在二次函数图象上，将点代入，即， 解得， 二次函数解析式为 （2）解：当时，， 当时，， 二次函数对称轴为，开口向上， 当，随的增大而减小；当，随的增大而增大； 在，取得最小值为， 当时，． （3）解： 关于轴对称的函数图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数， 二次函数关于轴对称的图象所对应的函数表达式为． 类型三、翻折问题 变换方式 变换后解析式 口诀 沿x轴翻折 变号，不变 沿y轴翻折 变号，不变 【例5】定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 【例6】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线______； (2)当时，函数值y的取值范围是 ①求a和b的值； ②将该抛物线在间的部分记为G，将G在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【详解】（1）解：由题意得，函数的对称轴是直线 故答案为； （2）①由题意，函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为 ， 抛物线的表达式为： ， 当时，y取最大值． ∴， ②设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是函数所处的位置，图象Q为区域， 点，点，则点， 当点在点H下方时，， 函数Q的最高点为H，最低点为N， 当点在点H上方时， 同理可得：； 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【变式3-1】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 【变式3-2】二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 【变式3-3】如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴是，线段平行于轴，交抛物线于点，抛物线与轴交于点、点，连接，交于点，交轴于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在坐标平面内找点，使与全等（找出所有符合条件的点，并直接写出你所找出的点的坐标）； (3)将沿翻折，与部分重叠，求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)、、 (3) 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴ ∵对称轴是，即：， ∴根据对称轴公式， ∴， 解得， ∴二次函数； （2）令，即， 解得或， ∴，， ∵轴，， ∴点纵坐标为， 又∵对称轴为：，设点坐标为， ∴(对称轴是两点横坐标的中点)， 解得：， ∴， 则，， ， ， 中，，，； 中，； 分情况讨论： 当时，，，，此时； 当时，，，，此时； 当时，，，，此时； 当时，，，，此时； 综上可得：使与全等的点的坐标为、、； （3）如图，沿翻折，对称点，交于点，与部分重叠，重叠部分是一个三角形，即， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴， ∵将沿翻折，与部分重叠，重叠部分是一个三角形，即， 同理：由，， 可得：直线的解析式为， 联立直线与的方程， 得，解得， ∴ 翻折后，设关于(轴)的对称点为， 同理：由，， 得：直线的解析式为， 直线与直线的交点， 联立得，解得，即点， 同理：由，， 得，直线的解析式为， 直线与的交点， 联立得，解得， ∴， 即：的高为点的横坐标， ∴， 即重叠部分的面积为． 类型四、旋转问题 变换方式 变换后解析式 口诀 绕顶点旋转180° 变号，不变 绕原点旋转180° 均变号 【例7】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于函数， 令，得， ． 令，得， ， ， ， ，． ， ， ， 故选：B． 【例8】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求，两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值． (3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组得，， 解得，， ∴； （2）解：直线向上平移个单位长度后的解析式为， ∵平移后的直线与抛物线仅有1个公共点， ∴，整理得，， ∴， 解得，； （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立直线于抛物线为方程得，， 解得，， ∴． 【变式4-1】如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．现将抛物线：，绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，则t的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：抛物线：的顶点； 由于抛物线是抛物线绕点旋转所得，所以抛物线、的顶点关于点P对称， ∴抛物线的顶点坐标； 已知抛物线和抛物线相关联，那么点必在抛物线的函数图象上，即： ， 解得：、， 故答案为：3或． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵直线：与轴相交于点， 当时，，解得， ∴； （2）解;∵直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将点，代入得 ， 解得：， ∴ （3）解：∵ ∴的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大， ∵把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象， ∴的顶点坐标为：， ∴，对称轴为直线， ∵图象的对称轴与x轴交点坐标为， ∴，则的顶点坐标为：， 当时，函数最大值为，最小值为， ∴，，， ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴的顶点坐标为： ， ∴． 【变式4-3】如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为， 顶点的坐标为， 令，得， 解得：或， 点，， 过点作轴，则 ∴ ∴ 故选：D． 2．如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一段抛物线与x轴交于，两点，顶点为； 将绕点旋转得到，则的顶点为； ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∵设，，均为正数， ∴点，在第四象限， 根据对称性可知：， ∵， ∴， 即， 故选：D． 3．将抛物线在轴上方的部分记为，在轴上及其下方的部分记为，将沿轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为．若直线与恰有个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：把二次函数整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是， 翻折后可得图象，如下图所示， 由图象可知，当时，图象与有两个交点， 当时，图象与有两个交点． 综上所述，的取值范围为 或． 故答案为：或． 4．如图，抛物线与轴交于点A，（点A在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：中，令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴，， ∴，． 由对称性知，C、B、三点共线， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a，应满足关系式． 故选C． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为 ．    【答案】 【详解】解：由，解得或， ∴，， ∴， 连接，    设， ∵点关于直线对称， ∴，， 把、代入得， ， 得，， 整理得，， 即， ∴， 把代入得，， 整理得，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，两点在一次函数与二次函数的图象上．    (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量x的取值范围为_________． (3)所求的抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为_________． 【答案】(1)，二次函数解析式为 (2) (3) 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； 把、代入， 得：， 解得， 所以二次函数解析式为； （2）解：根据题意和函数图象可得：当时，， 故答案为：； （3）解：根据题意，可得抛物线的值不变， 将原抛物线变形可得， 则抛物线的顶点坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， 抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，轴对称变化，熟知二次函数关于轴对称之后的值不变，是解题的关键． 7．已知二次函数，点，在该二次函数图象上． (1)若， ①求该二次函数的解析式； ②若二次函数图象交轴于点，求的面积． (2)若，点在二次函数的图象上，将二次函数的图象向上平移3个单位得到抛物线，探究直线与抛物线的交点个数． 【答案】(1)；8 (2)当时，，直线与抛物线C有两个交点；当时，，直线与抛物线C有一个交点；当时，，直线与抛物线C没有交点． 【详解】（1）①已知，，， 又在二次函数上， 所以，解得， 所以二次函数的解析式的解析式为； ②由，令，得，所以， 又，， 则，点到的距离为8， ； （2），则， 点在二次函数的图象上， 所以，移项得， 则， 再向上平移3个单位得， 又点，在该二次函数图象上， 所以， 两式相加得，即， 将代入，得到， 所以直线的解析式为， 联立直线与抛物线C的方程， ， 消元得， ， 令，即， 化简得， 解得，又, 当时，，直线与抛物线C有两个交点； 当时，，直线与抛物线C有一个交点； 当时，，直线与抛物线C没有交点． 8．已知抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），它的对称轴为直线l，顶点C的坐标是． (1)该抛物线的表达式是 ，点A和点B的坐标分别是 ． (2)与关于直线l上一点P位似，且位似比为2，、、分别是点A、B、C的对应点，且点、也在（1）中的抛物线上，求出满足条件的P点坐标； (3)与关于原点位似，且位似比为2，D、E、F分别是点A、B、C的对应点．若将（1）中的抛物线沿x轴、y轴左右、上下平移后得到抛物线恰好经过点D、E，请你说说如何平移可以满足要求． 【答案】(1)；， (2)点P的坐标为或 (3)原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可以满足要求． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点C的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为． 令，则，解得，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵与关于直线l上一点P位似，且位似比为2， ∴， ①如图，若与关于点P成位似， ∵点，点在抛物线上， ∴点，点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入抛物线，得， ∴，， 设对称轴与的交点为点D，与的交点为点， 则 ∵若与关于点P成位似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ②如图，若与关于点P成位似， 由①同理可得，，， ∵，即， ∴， ∴， ∴ 综上所述，点P的坐标为或． （3）解：∵与关于原点位似，且位似比为2， 且，， ∴，， 或，，． ①当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． ②当，，时， 经过平移，经过点，的抛物线解析式为， ∵原抛物线为， ∴原抛物线向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可满足要求． 综上所述，原抛物线向右平移3个单位长度，向下平移12个单位长度，或向左平移9个单位长度，向下平移12个单位长度可以满足要求． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，位似，中心对称，二次函数图形的平移等，掌握位似与中心对称，运用分类讨论思想是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________； (3)抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； (4)将该抛物线在间的部分记为G，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4) 【详解】（1）解：根据题意得：函数的对称轴为： ， 将点代入得， 解得：， 故解析式为：， 故答案为：； （2）∵抛物线的对称轴为，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，顶点坐标为， ， 解得：， 故点P的坐标为 或； （4）． 设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是函数所处的位置，图象Q为区域， 点，点，则点 当点在点H下方或与H重合时，函数Q的最高点为H，最低点为N， 则，，依题意得： ． 解得， 当点在点H上方时，函数Q的最高点为点，最低点为N， 则，，依题意得： ． 解得． 若，的取值范围．综上所述：． 10．如图，对称轴为的抛物线经过，，与轴正半轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)是否为轴上方抛物线上使以为底边的三角形面积最大的点？请说明理由． (3)在对称轴上求出点，使线段绕点旋转后，点的对应点恰在抛物线上． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)点的坐标为，，， 【详解】（1）解：由对称轴可设抛物线为．则： ， 解得， 抛物线的解析式为． 即． （2）解：B是使以为底边的三角形面积最大的点； 由，得， 或． ， 设直线为， 则， 解得，， 直线为， 设与平行，与抛物线只有一个公共点的直线l为， 由， 得， 由， 解得， 直线l的解析式为，经过点． 是使以为底边的三角形面积最大的点． （3）解：①利用对称和斜边上的中线构图． 如图1，当时，，． 此时符合； 显然，符合． ②利用互余和全等构图． 如图2，当时， ，，， 设，则， ， ， 代入解析式，得， 整理，得． 解得或， ； ③利用一线三等角构图． 如图2，当时， ，，， 设，则， ， 代入解析式，得， 整理，得， 解得或， ； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 11．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $